احتمالاً مفهوم مشتق از دوران مدرسه برای هر یک از ما آشناست. معمولا دانش آموزان در درک این موضوع، بدون شک، مشکل بسیار مهمی دارند. این به طور فعال در زمینه های مختلف زندگی مردم استفاده می شود و بسیاری از پیشرفت های مهندسی دقیقاً بر اساس محاسبات ریاضی به دست آمده با استفاده از مشتق است. اما قبل از اینکه به تحلیل مشتقات اعداد، نحوه محاسبه آنها و اینکه کجا برای ما مفید هستند، بپردازیم، اجازه دهید در تاریخ غوطه ور شویم.
تاریخ
مفهوم مشتق که اساس تحلیل ریاضی است، (بهتر است بگوییم "اختراع"، زیرا به این شکل در طبیعت وجود نداشت) توسط اسحاق نیوتن، که همه ما او را می شناسیم، کشف شد. از کشف قانون گرانش جهانی. این او بود که برای اولین بار این مفهوم را در فیزیک برای پیوند دادن ماهیت سرعت و شتاب اجسام به کار برد. و بسیاری از دانشمندان هنوز نیوتن را به خاطر این اختراع باشکوه تحسین می کنند، زیرا در واقع او اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کرد، در واقع اساس یک حوزه کامل از ریاضیات به نام "حساب حساب". اگر در آن زمان جایزه نوبل، نیوتن آن را به احتمال زیاد چندین بار دریافت می کرد.
نه بدون دیگر ذهن های بزرگ. به جز نیوتننابغه های برجسته ریاضی مانند لئونارد اویلر، لوئیس لاگرانژ و گوتفرید لایبنیتس بر روی توسعه مشتق و انتگرال کار کردند. به لطف آنها است که ما نظریه حساب دیفرانسیل را به شکلی که تا به امروز وجود دارد دریافت کرده ایم. به هر حال، این لایب نیتس بود که معنای هندسی مشتق را کشف کرد، که معلوم شد چیزی جز مماس شیب مماس بر نمودار تابع نیست.
مشتقات اعداد چیست؟ بیایید کمی آنچه را که در مدرسه از سر گذرانده ایم تکرار کنیم.
مشتق چیست؟
این مفهوم را می توان به چند روش مختلف تعریف کرد. ساده ترین توضیح این است که مشتق نرخ تغییر تابع است. نموداری از تابع y از x را تصور کنید. اگر مستقیم نباشد، در نمودار دارای منحنی هایی است، دوره های افزایش و کاهش. اگر فاصله بی نهایت کوچکی از این نمودار بگیریم، یک پاره خط مستقیم خواهد بود. بنابراین، نسبت اندازه این قطعه بی نهایت کوچک در امتداد مختصات y به اندازه در امتداد مختصات x مشتق این تابع در یک نقطه معین خواهد بود. اگر تابع را به عنوان یک کل در نظر بگیریم، نه در یک نقطه خاص، یک تابع مشتق، یعنی وابستگی معینی از y به x به دست خواهیم آورد.
علاوه بر این، علاوه بر معنای فیزیکی مشتق به عنوان نرخ تغییر یک تابع، یک معنای هندسی نیز وجود دارد. ما اکنون در مورد او صحبت خواهیم کرد.
حس هندسی
مشتقات اعداد به خودی خود عدد معینی را نشان می دهند که بدون درک صحیح، حامل آن نیست.فایده ای ندارد معلوم می شود که مشتق نه تنها میزان رشد یا کاهش تابع را نشان می دهد، بلکه مماس شیب مماس بر نمودار تابع را در یک نقطه مشخص نیز نشان می دهد. تعریف خیلی واضحی نیست. بیایید آن را با جزئیات بیشتر تجزیه و تحلیل کنیم. فرض کنید یک نمودار از یک تابع داریم (برای علاقه، یک منحنی بگیریم). دارای تعداد بی نهایت نقطه است، اما مناطقی وجود دارد که تنها یک نقطه دارای حداکثر یا حداقل است. از طریق هر نقطه ای می توان خطی را رسم کرد که بر نمودار تابع در آن نقطه عمود باشد. چنین خطی مماس نامیده خواهد شد. فرض کنید آن را تا تقاطع با محور OX گذراندیم. بنابراین، زاویه به دست آمده بین مماس و محور OX توسط مشتق تعیین می شود. به عبارت دقیق تر، مماس این زاویه برابر با آن خواهد بود.
بیایید کمی در مورد موارد خاص صحبت کنیم و مشتقات اعداد را تجزیه و تحلیل کنیم.
موارد ویژه
همانطور که قبلاً گفتیم، مشتقات اعداد مقادیر مشتق در یک نقطه خاص هستند. برای مثال، بیایید تابع y=x2 را در نظر بگیریم. مشتق x یک عدد و در حالت کلی تابعی برابر با 2x است. اگر ما نیاز به محاسبه مشتق داشته باشیم، مثلاً، در نقطه x0=1، آنگاه y'(1)=21=2 را دریافت می کنیم. همه چیز بسیار ساده است. یک مورد جالب مشتق یک عدد مختلط است. ما به توضیح مفصلی در مورد اینکه عدد مختلط چیست نمی پردازیم. بیایید بگوییم که این عددی است که شامل واحد فرضی است - عددی که مربع آن -1 است. محاسبه چنین مشتقی فقط در صورت موارد زیر امکان پذیر استشرایط:
1) باید مشتقات جزئی مرتبه اول اجزای واقعی و خیالی با توجه به Y و X وجود داشته باشد.
2) شرایط کوشی-ریمان مرتبط با برابری مشتقات جزئی شرح داده شده در پاراگراف اول برآورده شده است.
یک مورد جالب دیگر، اگرچه به پیچیدگی مورد قبلی نیست، مشتق یک عدد منفی است. در واقع هر عدد منفی را می توان به صورت یک عدد مثبت ضرب در 1- نشان داد. خوب، مشتق ثابت و تابع برابر است با ثابت ضرب در مشتق تابع.
یادگیری در مورد نقش مشتق در زندگی روزمره جالب خواهد بود و این همان چیزی است که اکنون در مورد آن بحث خواهیم کرد.
برنامه
احتمالاً هر یک از ما حداقل یک بار در زندگی خود فکر می کنیم که ریاضیات بعید است برای او مفید باشد. و چنین چیز پیچیده ای به عنوان مشتق، احتمالاً هیچ کاربردی ندارد. در واقع، ریاضیات یک علم بنیادی است و تمام ثمرات آن عمدتاً توسط فیزیک، شیمی، نجوم و حتی اقتصاد ایجاد می شود. مشتق آغازی برای تجزیه و تحلیل ریاضی بود که به ما توانایی نتیجه گیری از نمودارهای توابع را داد و یاد گرفتیم که قوانین طبیعت را تفسیر کنیم و به لطف آن آنها را به نفع خود تبدیل کنیم.
نتیجه گیری
البته، ممکن است همه در زندگی واقعی به مشتق نیاز نداشته باشند. اما ریاضیات منطق را توسعه می دهد که مطمئناً مورد نیاز خواهد بود. بی جهت نیست که ریاضیات را ملکه علوم می نامند: این ریاضیات پایه و اساس درک سایر حوزه های دانش را تشکیل می دهد.
