سیستم های اعداد - چیست؟ حتی بدون دانستن پاسخ این سوال، هر یک از ما به طور غیرارادی از سیستم های اعداد در زندگی خود استفاده می کنیم و به آن شک نمی کنیم. درست است، جمع! یعنی نه یک، بلکه چندین. قبل از ارائه مثال هایی از سیستم های اعداد غیر موقعیتی، اجازه دهید این موضوع را درک کنیم، اجازه دهید در مورد سیستم های موقعیتی نیز صحبت کنیم.
فاکتور مورد نیاز
از زمان های قدیم، مردم نیاز به شمارش داشتند، یعنی به طور شهودی دریافتند که باید به نحوی دید کمی از چیزها و رویدادها را بیان کنند. مغز پیشنهاد کرد که استفاده از اشیاء برای شمارش ضروری است. انگشتان همیشه راحت ترین بوده اند، و این قابل درک است، زیرا آنها همیشه در دسترس هستند (به استثنای موارد نادر).
بنابراین نمایندگان باستانی نژاد بشر مجبور بودند انگشتان خود را به معنای واقعی کلمه خم کنند - مثلاً تعداد ماموت های کشته شده را نشان دهند. چنین عناصری از حساب کاربری هنوز نام ندارند، بلکه فقط یک تصویر بصری، یک مقایسه دارند.
سیستم های اعداد موقعیتی مدرن
سیستم اعداد روشی (روشی) برای نمایش مقادیر و مقادیر کمی با استفاده از علائم خاص (نمادها یا حروف) است.
لازم است قبل از آوردن مثال هایی از سیستم های اعداد غیر موقعیتی بدانیم که چه چیزی در شمارش موقعیتی و غیر موقعیتی است. سیستم های اعداد موقعیتی زیادی وجود دارد. اکنون موارد زیر در زمینه های مختلف دانش مورد استفاده قرار می گیرند: دودویی (شامل تنها دو عنصر مهم: 0 و 1)، هگزا دسیمال (تعداد کاراکترها - 6)، اکتال (نویسه ها - 8)، اثنی عشر (دوازده کاراکتر)، هگزا دسیمال (شامل شانزده کاراکتر). شخصیت ها). علاوه بر این، هر ردیف از کاراکترها در سیستم ها از صفر شروع می شود. فن‌آوری‌های رایانه‌ای مدرن مبتنی بر استفاده از کدهای باینری - سیستم اعداد موقعیتی باینری هستند.
سیستم اعداد اعشاری
موقعیت وجود موقعیت های قابل توجه به درجات مختلف است که علائم عدد روی آنها قرار دارد. این را می توان با استفاده از مثال سیستم اعداد اعشاری به بهترین نحو نشان داد. از این گذشته ، ما از کودکی به استفاده از آن عادت کرده ایم. در این سیستم ده علامت وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. عدد 327 را در نظر بگیرید. سه علامت دارد: 3، 2، 7. هر کدام از آنها در موقعیت (مکان) خودش. هفت موقعیتی را می گیرد که برای مقادیر منفرد (واحد)، دو - ده و سه - صدها در نظر گرفته شده است. از آنجایی که عدد سه رقمی است، بنابراین، تنها سه موقعیت در آن وجود دارد.
بر اساس موارد فوق، اینیک عدد اعشاری سه رقمی را می توان به صورت زیر توصیف کرد: سه صد، دو ده و هفت واحد. علاوه بر این، اهمیت (اهمیت) موقعیت ها از چپ به راست، از یک موقعیت ضعیف (یک) تا یک قوی تر (صدها) شمرده می شود.
ما در سیستم اعداد موقعیتی اعشاری احساس راحتی می کنیم. ما ده انگشت روی دستانمان داریم و همینطور روی پاهایمان. پنج به علاوه پنج - بنابراین، به لطف انگشتان، ما به راحتی از کودکی یک دوجین را تصور می کنیم. به همین دلیل است که یادگیری جدول ضرب پنج و ده برای کودکان آسان است. و همچنین یادگیری نحوه شمارش اسکناس‌ها که اغلب مضربی هستند (یعنی بدون باقیمانده تقسیم می‌شوند) بر پنج و ده بسیار آسان است.
سایر سیستم های اعداد موقعیتی
در کمال تعجب بسیاری باید گفت که نه تنها در سیستم شمارش اعشاری، مغز ما به انجام برخی محاسبات عادت دارد. تا به حال، بشر از سیستم های اعداد شش و دوازده اعشاری استفاده می کرده است. یعنی در چنین سیستمی فقط شش کاراکتر (به صورت هگزادسیمال) وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5. در اثنی عشر دوازده عدد از آنها وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6. ، 7، 8، 9، A، B، که در آن A - نشان دهنده عدد 10 است، B - عدد 11 (زیرا علامت باید یک باشد).
خودتان قضاوت کنید. ما زمان را در شش می شماریم، نه؟ یک ساعت شصت دقیقه (شش ده)، یک روز بیست و چهار ساعت (دو ضربدر دوازده)، یک سال دوازده ماه است و … همه فواصل زمانی به راحتی در سری های شش و دوازده اعشاری جای می گیرند. اما ما آنقدر به آن عادت کرده ایم که هنگام شمارش زمان حتی به آن فکر نمی کنیم.
سیستم های اعداد غیر موقعیتی. Unary
لازم است تعریف شود که چیست - یک سیستم اعداد غیر موقعیتی. این چنین سیستم نشانه ای است که در آن هیچ موقعیتی برای علائم یک عدد وجود ندارد، یا اصل "خواندن" یک عدد به موقعیت بستگی ندارد. همچنین قوانین خاص خود را برای نوشتن یا محاسبه دارد.
بیایید نمونه هایی از سیستم های اعداد غیر موقعیتی را بیان کنیم. برگردیم به دوران باستان. مردم به یک حساب کاربری نیاز داشتند و به ساده ترین اختراع رسیدند - گره. سیستم اعداد غیر موقعیتی گرهی است. یک مورد (یک کیسه برنج، یک گاو نر، یک انبار کاه و غیره) مثلاً هنگام خرید یا فروش می شمردند و روی یک رشته گره می زدند.
در نتیجه، به همان اندازه گره روی طناب ایجاد شد که کیسه های برنج خریداری شد (به عنوان مثال). اما همچنین می تواند بریدگی هایی روی یک چوب چوبی، روی یک تخته سنگ و غیره باشد. چنین سیستم عددی به عنوان گره ای شناخته شد. او یک نام دوم دارد - unary، یا مجرد ("uno" در لاتین به معنی "یک" است).
آشکار می شود که این سیستم اعداد غیر موقعیتی است. به هر حال، وقتی آن (مقام) تنها یکی است، از چه نوع موقعیت هایی می توان صحبت کرد! به اندازه کافی عجیب، در برخی از نقاط زمین، سیستم اعداد غیر موقعیتی یکنواخت هنوز در حال استفاده است.
همچنین، سیستم های اعداد غیر موقعیتی عبارتند از:
- Roman (حروف برای نوشتن اعداد استفاده می شود - حروف لاتین)؛
- مصر باستان (شبیه به رومی، نمادها نیز استفاده می شد)؛
- الفبایی (حروف الفبا استفاده شد)؛
- بابلی (خط میخی - مستقیم استفاده می شود و"گوه" معکوس)؛
- یونانی (به عنوان حروف الفبا نیز نامیده می شود).
سیستم اعداد رومی
امپراتوری روم باستان، و همچنین علم آن، بسیار مترقی بود. رومیان بسیاری از اختراعات مفید علم و هنر از جمله سیستم شمارش خود را به جهان ارائه کردند. دویست سال پیش، از اعداد رومی برای نشان دادن مقادیر در اسناد تجاری استفاده می شد (بنابراین از جعل اجتناب شد).
شماره رومی نمونه ای از یک سیستم اعداد غیر موقعیتی است، ما اکنون آن را می دانیم. همچنین، سیستم رومی به طور فعال استفاده می شود، اما نه برای محاسبات ریاضی، بلکه برای اقدامات با تمرکز محدود. به عنوان مثال، با کمک اعداد رومی، مرسوم است که تاریخ ها، قرن ها، تعداد جلدها، بخش ها و فصل های تاریخی را در انتشارات کتاب تعیین می کنند. علائم رومی اغلب برای تزئین صفحه ساعت استفاده می شود. و همچنین شماره گذاری رومی نمونه ای از یک سیستم اعداد غیر موقعیتی است.
رومی ها اعداد را با حروف لاتین نشان می دادند. علاوه بر این، آنها اعداد را طبق قوانین خاصی یادداشت کردند. لیستی از نمادهای کلیدی در سیستم اعداد رومی وجود دارد که با کمک آنها همه اعداد بدون استثنا نوشته شده اند.
| عدد (اعشاری) | عدد رومی (حروف الفبای لاتین) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
قوانین نوشتن اعداد
عدد مورد نیاز با جمع علائم (حروف لاتین) و محاسبه مجموع آنها به دست آمد. بیایید در نظر بگیریم که علائم به طور نمادین در سیستم رومی چگونه نوشته می شوند و چگونه باید "خوانده شوند". بیایید قوانین اصلی تشکیل اعداد را در سیستم اعداد غیر موقعیتی رومی فهرست کنیم.
- عدد چهار - IV از دو کاراکتر (I، V - یک و پنج) تشکیل شده است. با کم کردن علامت کوچکتر از بزرگتر اگر در سمت چپ باشد به دست می آید. هنگامی که علامت کوچکتر در سمت راست قرار دارد، باید اضافه کنید، سپس عدد شش را دریافت می کنید - VI.
- اضافه کردن دو علامت یکسان در کنار یکدیگر ضروری است. به عنوان مثال: SS 200 است (C برابر 100)، یا XX 20 است.
- اگر اولین علامت یک عدد از علامت دوم کمتر باشد، نویسه سوم در این ردیف می تواند کاراکتری باشد که مقدار آن حتی کمتر از اولین باشد. برای جلوگیری از سردرگمی، در اینجا یک مثال وجود دارد: CDX - 410 (به صورت اعشاری).
- برخی اعداد بزرگ را می توان به روش های مختلف نشان داد که یکی از معایب سیستم شمارش رومی است. در اینجا چند مثال آورده شده است: MVM (رومی)=1000 + (1000 - 5)=1995 (اعشار) یا MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. و این همه ماجرا نیست.
ترفندهای حسابی
سیستم اعداد غیر موقعیتی گاهی اوقات مجموعه ای پیچیده از قوانین برای تشکیل اعداد، پردازش آنها (اعمال روی آنها) است. عملیات حسابی در سیستم های اعداد غیر موقعیتی آسان نیستبرای افراد مدرن ما به ریاضیدانان روم باستان حسادت نمی کنیم!
نمونه ای از جمع. بیایید سعی کنیم دو عدد را اضافه کنیم: XIX + XXVI=XXXV، این کار در دو مرحله انجام می شود:
- اول - کسرهای کوچکتر اعداد را بردارید و جمع کنید: IX + VI=XV (I بعد از V و I قبل از X یکدیگر را «نابود می‌کنند».
- دوم - کسرهای بزرگ دو عدد را اضافه کنید: X + XX=XXX.
تفریق تا حدودی پیچیده تر است. عددی که باید کاهش یابد باید به عناصر تشکیل دهنده آن تقسیم شود و سپس کاراکترهای تکراری در تعداد کم شده و کم شوند. 263 را از 500 کم کنید:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
ضرب اعداد رومی. ضمناً لازم به ذکر است که رومی‌ها نشانه‌هایی از عملیات حسابی نداشتند، آنها را فقط با کلمات نشان می‌دادند.
عدد مضاعف باید در هر نماد جداگانه ضرب ضرب می شد و در نتیجه چندین محصول باید اضافه می شد. چند جمله ای ها به این صورت ضرب می شوند.
در مورد تقسیم، این فرآیند در سیستم اعداد رومی دشوارترین بود و باقی می ماند. در اینجا از چرتکه روم باستان استفاده می شد. برای کار با او، مردم به طور ویژه آموزش دیده بودند (و نه همه افراد موفق به تسلط بر چنین علمی شدند).
درباره مضرات سیستم های غیر موقعیتی
همانطور که در بالا ذکر شد، سیستم های اعداد غیر موقعیتی دارای معایبی هستند، مشکلاتی در استفاده. Unary برای شمارش ساده به اندازه کافی ساده است، اما برای محاسبات حسابی و پیچیده، اینطور نیستبه اندازه کافی خوب است.
در رومی قوانین یکسانی برای تشکیل اعداد بزرگ وجود ندارد و سردرگمی به وجود می آید و همچنین محاسبات در آن بسیار دشوار است. همچنین، بزرگترین عددی که رومیان باستان می توانستند با روش خود بنویسند 100000 بود.
