مشتق کسینوس با قیاس با مشتق سینوس یافت می شود، اساس برهان، تعریف حد تابع است. می توانید از روش دیگری استفاده کنید، با استفاده از فرمول های کاهش مثلثاتی برای کسینوس و سینوس زاویه ها. یک تابع را بر حسب تابع دیگر بیان کنید - کسینوس بر حسب سینوس، و سینوس را با یک آرگومان مختلط متمایز کنید.
نمونه اول استخراج فرمول (Cos(x))' را در نظر بگیرید
به آرگومان x تابع y=Cos(x) یک افزایش بسیار ناچیز Δx بدهید. با یک مقدار جدید آرگومان х+Δх، مقدار جدیدی از تابع Cos(х+Δх) را به دست می آوریم. سپس تابع افزایش Δy برابر است با Cos(х+Δx)-Cos(x).
نسبت افزایش تابع به Δх خواهد بود: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. بیایید تبدیل‌های یکسانی را در صورت‌دهنده کسر حاصل انجام دهیم. فرمول تفاوت کسینوس زاویه ها را به خاطر بیاورید، حاصل حاصل ضرب -2Sin (Δx / 2) ضربدر Sin (x + Δx / 2) خواهد بود. ما حد حد نصاب این محصول را روی Δx می یابیم زیرا Δx به سمت صفر میل می کند. معروف است که اولی(به آن شگفت انگیز می گویند) حد lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) برابر با 1 است و حد -Sin(x+Δx/2) برابر با -Sin(x) به عنوان Δx است. به سمت صفر میل می کند. نتیجه را بنویسید: مشتق (Cos(x))' برابر است با - Sin(x).
برخی افراد راه دوم را برای استخراج همان فرمول ترجیح می دهند
از درس مثلثات مشخص می شود: Cos(x) برابر Sin(0, 5 ∏-x) است، به طور مشابه Sin(x) برابر است با Cos(0, 5 ∏-x). سپس یک تابع پیچیده را متمایز می کنیم - سینوس زاویه اضافی (به جای کسینوس x). مشتق سینوس x برابر با کسینوس X است. ما به فرمول دوم Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) می رویم تا کسینوس را با سینوس جایگزین کنیم، با در نظر گرفتن اینکه (0.5 ∏-x)'=-1. اکنون -Sin(x).
بنابراین، مشتق کسینوس پیدا می شود، y'=-Sin(x) برای تابع y=Cos(x).
مشتق کسینوس مربع
یک مثال رایج که در آن از مشتق کسینوس استفاده می شود. تابع y=Cos2(x) سخت است. ابتدا دیفرانسیل تابع توان را با توان 2 پیدا می کنیم، 2·Cos(x) خواهد بود، سپس آن را در مشتق (Cos(x))' ضرب می کنیم که برابر با -Sin(x) است. y'=-2 Cos(x) Sin(x) بدست می آوریم. وقتی فرمول Sin(2x)، سینوس یک زاویه مضاعف را اعمال می کنیم، ساده شده نهایی را دریافت می کنیمanswer y'=-Sin(2x)
توابع هایپربولیک
آنها در مطالعه بسیاری از رشته های فنی استفاده می شوند: برای مثال در ریاضیات، آنها محاسبه انتگرال ها، حل معادلات دیفرانسیل را تسهیل می کنند. آنها بر حسب توابع مثلثاتی با خیالی بیان می شوندآرگومان، بنابراین کسینوس هذلولی ch(x)=Cos(i x)، جایی که i واحد خیالی است، سینوس هذلولی sh(x)=Sin(i x).
مشتق کسینوس هذلولی به سادگی محاسبه می شود.
تابع y=(ex+e-x را در نظر بگیرید) /2، این و کسینوس هذلولی ch(x) است. از قانون برای یافتن مشتق مجموع دو عبارت استفاده می کنیم، قانون خارج کردن عامل ثابت (Const) از علامت مشتق. دومین جمله 0.5 e-x یک تابع پیچیده است (مشتق آن -0.5 e-x است)، 0.5 eх است. - ترم اول (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' را می توان نوشت به روشی دیگر: (0، 5 ex+0، 5 e-xx)'=0، 5 e x-0, 5 e-x، زیرا مشتق (e - x)' برابر است -1 برابر e-x. نتیجه یک تفاوت است و این سینوس هذلولی sh(x) است.
خروجی: (ch(x))'=sh(x).
بیایید به مثالی از نحوه مشتق تابع y=ch را محاسبه کنید (x3+1).
براساس قانون تمایز کسینوس هذلولی با آرگومان مختلط y'=sh(x 3+1) (x 3+1)'، جایی که (x3+1)'=3 x 2+0.
پاسخ: مشتق این تابع 3 x2sh(x3+1) است..
مشتقات جدولی توابع در نظر گرفته شده y=ch(x) و y=Cos(x)
هنگام حل مثال ها، نیازی به تمایز هر بار طبق طرح پیشنهادی نیست، کافی است از استنتاج استفاده کنید.
مثال. تابع y=را متمایز کنیدCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). محاسبه آسان (استفاده از داده های جدولی)، y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
