تمایز و ادغام: تعریف، مفهوم، اشکال

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-08 04:56

تمایز و یکپارچه سازی معادله ای مشتق از مشتقات است. دومی، اگر به خواص ریاضی پایبند باشیم، به معمولی و خصوصی تقسیم می شوند. مشتقات نرخ تغییر را نشان می دهند و معادله دیفرانسیل رابطه بین کمیتی را توصیف می کند که به طور مداوم در طول فرآیند حل تغییر می کند و متغیرهای جدیدی را تشکیل می دهد.

یک استاد دانشگاه می تواند به راحتی عملیات پیچیده را با انتگرال ها هدایت کند، آنها را به یک کل واحد تبدیل کند و سپس حساب دیفرانسیل و انتگرال را با روش معکوس اثبات کند. با این حال، توانایی یادآوری سریع جزئیات فرمول های پیچیده برای همه در دسترس نیست، بنابراین توصیه می شود حافظه خود را تازه کنید یا مطالب جدیدی را کشف کنید.

معنا و کاربرد اصلی

در ادبیات علمی، مشتق به عنوان نرخی که تابع تبدیل یک تابع بر اساس یکی از متغیرهای آن است، تعریف می شود. تمایز ماهیت حساب دیفرانسیل و انتگرال است که می توان آن را با آغاز جستجوی مماس بر یک نقطه مقایسه کرد. همانطور که می دانید دومی انواع مختلفی دارد وبرای جستجو به فرمول های محاسباتی نیاز دارد. فرض کنید باید شیب مماس بر نمودار را در نقطه P پیدا کنید. چگونه این کار را انجام دهیم؟ کافی است یک نوار کمانی شکل را از میان شی مشخص شده بکشیم و آن را بالا بیاوریم تا یک خط تقسیم به دست آوریم.

یک تابع f در x در نقطه x=a قابل تفکیک نامیده می شود اگر مشتق f '(a) در هر تعیین دامنه آن وجود داشته باشد. بیایید یک مثال را نشان دهیم:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

برای اینکه معادله را در معرض تمایز و ادغام توابع قرار دهیم تا مکان آن در هر نقطه x ممکن شود، نباید آن را قطع کرد. با ساختن یک تصویر شماتیک از قبل، می توانید اعتبار عبارت را تأیید کنید. به همین دلیل است که دامنه f'(x) با وجود محدودیت های آن تعریف می شود.

فرض کنید که y=f(x) تابعی از x است، سپس مشتق f(x) به صورت dy/dx داده می شود. همچنین به عنوان یک معادله خطی تعریف می شود، جایی که لازم است داده های لازم را در y پیدا کنید.

اما، اگر در حالت اول به دنبال مشتق y باشیم، در مورد بعدی باید f(x) از x را پیدا کنیم.

d/dx × (f(x)) l_a یا df/dx l_a

در نتیجه، تعیین نرخ تغییر تابع f(x) نسبت به x در نقطه ای که روی سطح آن قرار دارد.

اگر مشتق f' را که در حوزه خود قابل تمایز است بدانیم، می توانیم مقدار f آن را پیدا کنیم. در حساب انتگرال، f را ضد مشتق یا ابتدایی تابع f می نامیم. روش محاسبه آن به عنوان ضد تمایز شناخته می شود.یا ادغام.

انواع و اشکال

معادله ای با یک یا چند عبارت که مشتقات متغیر وابسته را نسبت به مستقل شامل می شود به عنوان دیفرانسیل شناخته می شود. به عبارت دیگر، شامل مجموعه ای از مقادیر عددی، معمولی یا خصوصی است که در فرآیند حل تغییر می کند.

در حال حاضر، انواع زیر از معادلات دیفرانسیل وجود دارد.

معمولی. یک برابری ساده که مستقیماً به یک متغیر وابسته است:

dy/dx + 5x=5y

مشتقات جزئی:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d^۲ y/dt²

بالاترین ضریب. این گونه با مشارکت در ترتیب معادله دیفرانسیل مشخص می شود، همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است، جایی که برابر با 3 است. این تعداد بالاترین تعداد موجود در نظر گرفته می شود:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

توابع می توانند اشکال مختلفی داشته باشند، با این حال، ترجیحاً از یک نقل قول با فرمول های ادغام و تمایز مشخصه استفاده شود.

y'=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

خطی. متغیر در معادله به توان یک افزایش می یابد. نمودار این نوع تابع معمولاً یک خط مستقیم است. به عنوان مثال، (3x + 5)، اما (x³ + 4x^{2) از این نوع نیست زیرا به راه حل متفاوتی نیاز دارد.}

dy/dx + xy=5x

غیرخطی. هرگونه ادغام و تمایز سری ها با راه های دوگانه برای به دست آوردن برابری - به شکل در نظر گرفته شده مراجعه کنید:

d²y/dx^{2 - ln y=10}

روش هایی برای به دست آوردن سریع نتایج

برای فهمیدن چگونگی کنار آمدن و استفاده از دانش به دست آمده در عمل، نگاه کردن به فرم کافی نیست. در حال حاضر، چندین راه برای حل معادله دیفرانسیل وجود دارد.

این است:

1. جداسازی متغیر. زمانی اجرا می شود که بتوان مثال را به صورت dy / dx=f(y) g(x) رسم کرد. ویژگی خاص در این واقعیت نهفته است که f و g توابعی هستند که به مقادیر آنها تعلق دارند. به این دلیل، مسئله باید تبدیل شود: 1/ f(y) dy=g(x) dx. و فقط پس از آن به مورد بعدی بروید.
2. روش عامل یکپارچه. زمانی استفاده می شود که مثال dy / dx + p(x) y=q(x) باشد، جایی که p و q فقط توابعی از x هستند.

محاسبات دیفرانسیل مرتبه اول شبیه y'+ P(x) y=Q(x) هستند زیرا حاوی توابع ضروری و مشتق y هستند. افزایش بعدی نام بر اساس همان اصل عمل می کند. برای مثال، مشتقات یک تابع ناشناخته ممکن است خصوصی و معمولی باشند.

انتگرال نامعین

اگر سرعت دوچرخه خود را هنگام سواری به شما داده شود، بسته به زمان - آیا می توانید مسافت طی شده را با استفاده از دقیقه های صرف شده محاسبه کنید؟ این کار به نظر یک بار طاقت فرسا است، اما انتگرال هاکمک کنید تا با این ویژگی‌ها به بهترین نحو ممکن کنار بیایید و به نتیجه برسید.

ادبیات علمی تاکید می کند که آنها طرف دیگر تمایز هستند. در واقع، ادغام روشی برای اضافه کردن چیزها به یکدیگر است. این ذرات را به یکدیگر متصل می کند و چیزی جدید ایجاد می کند - کل. نکته اصلی در هر مثال مشابه یافتن انتگرال های نامعین و بررسی نتایج ادغام با تمایز است. این به جلوگیری از اشتباهات غیر ضروری کمک می کند.

اگر می خواهید مساحت هر منحنی تصادفی را پیدا کنید، به عنوان مثال، y=f(x)، از این روش استفاده کنید. به یاد داشته باشید که فقط توجه شما را از اشتباه نجات می دهد.

فرمول های محلول

بنابراین، پس از آشنایی با مفهوم اساسی تمایز و یکپارچگی - محاسبه معکوس از طریق توابع، لازم است به طور خلاصه برخی از اصول اولیه را مرور کنیم. آنها در زیر فهرست شده اند.

قوانین اساسی محاسبه

توابع یکپارچه مانند f (x) به راحتی می توانند به برابری ترجمه شوند اگر معادله به صورت:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

در اینجا F (x) ضد مشتق یا بدوی نامیده می شود. f(x) - انتگرال. dx - به عنوان یک عامل عددی اضافی عمل می کند. C یک ثابت یکپارچه یا دلخواه است. x - بسته به طرف برابری عمل می کند.

از عبارت بالا می توان نتیجه گرفت که یکپارچه سازی و تمایز سری ها دو فرآیند متضاد هستند. آنها با هم به عنوان یکی از انواع عملیات مورد نظر عمل می کنندگرفتن نتیجه نهایی بر روی خود معادله.

اکنون که درباره ویژگی های حساب دیفرانسیل و انتگرال بیشتر می دانیم، توصیه می شود تفاوت های اولیه لازم برای درک بیشتر را برجسته کنیم:

1. تمایز و ادغام می توانند به طور همزمان قوانین خطی بودن را برآورده کنند.
2. عملیات با هدف یافتن دقیق‌ترین راه‌حل انجام می‌شوند، با این حال، محدودیت‌هایی را برای تعیین آنها به همراه دارند.
3. هنگام افتراق یک مثال چند جمله ای، نتیجه 1 کمتر از درجه تابع است، در حالی که در مورد یکپارچه سازی، نتیجه به دست آمده به دیگری تبدیل می شود که برعکس عمل می کند.
4. دو نوع محلول، همانطور که قبلا ذکر شد، مخالف یکدیگر هستند. آنها با استفاده از فرمول های ادغام و تمایز محاسبه می شوند.
5. مشتق هر تابع منحصر به فرد است، اما، از سوی دیگر، دو انتگرال، در یک مثال، ممکن است با یک ثابت متفاوت باشند. این قانون است که مشکل اصلی را در طول اجرای وظایف نشان می دهد.
6. وقتی با مشتقات سروکار داریم، می توانیم مشتقات را در یک نقطه در نظر بگیریم. مانند انتگرال ها، توابع را در یک بازه ارائه می کنند.
7. از نظر هندسی، مشتق نرخ تغییر یک کمیت را نسبت به مقدار دیگر توصیف می کند، در حالی که انتگرال نامعین یک منحنی را نشان می دهد. در یک جهت موازی قرار گرفته است، و همچنین دارای مماس هایی است که خطوط ناهموار با سایر خطوط متعامد بر محور معرف متغیر متقاطع می شوند.

روشهای اضافه

اگر با نحوه اعمال جمع مشکل داریدعملیات ریاضی تمایز ادغام، شما باید به دقت خود را با فرمول های اساسی آشنا کنید. آنها یک بدیهیات در تدریس هستند، بنابراین از آنها در همه جا استفاده می شود. لطفاً توجه داشته باشید، وقتی برای مثال‌های خودتان اعمال می‌شود، فرمول‌ها فقط در صورتی صحیح هستند که با i=1 شروع شوند.

راه حل قطعه به قطعه

گاهی اوقات یک تابع برای رسیدن به نتیجه نهایی و برآورده کردن شرایط برابری به یک رویکرد غیر استاندارد نیاز دارد. ادغام و تمایز سری ها بر اساس هویت است که با: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

الگوریتم تکنیک در نظر گرفته شده به این صورت است:

1. یک تابع یکپارچه را به عنوان حاصل ضرب دو عبارت بیان کنید. بیایید یکی از آنها را با f (x) و دیگری g' (x) را نشان دهیم.
2. اکنون به شناسایی دو فرمول دیگر که می توانند در پاراگراف اول اعمال شوند، ادامه دهید. خط تغییر خواهد کرد. با تمایز، f'(x) را تبدیل می کنیم تا عبارات f(x) را به دست آوریم. بیایید به قسمت دیگر برویم - g (x) در g'(x) یکپارچه شده است. در این صورت dx به شکل اصلی خود باقی می ماند و استفاده نمی شود.
3. عبارات دریافتی را به صورت قسمتی در فرمول وارد کنید. این روند را کامل می‌کند، و اکنون می‌توانید سعی کنید انتگرال جدید را در سمت راست ارزیابی کنید، زیرا درک آن بسیار آسان‌تر شده است.

پیش از این، این روش شامل ادغام قطعات با استفاده از یک ماتریس بود. این روش موفقیت آمیز بود، اما زمان زیادی را صرف کرد، زیرا در حال حاضر کمتر در موارد خاص استفاده می شودمواردی که یافتن راه حل تقریبا غیرممکن است. برای انجام این کار، فقط f و g را در خط اول قرار دهید و f ' و g را در خط دوم محاسبه کنید.

چرا به یکپارچه سازی توسط قطعات نیاز داریم؟

موقعیت ها متفاوت اتفاق می افتد. گاهی اوقات راه حل ها بسیار دشوارتر از نگاه اول هستند. بنابراین، لازم است مشکلات اصلی را که اغلب در ادغام ترم به ترم و تمایز سری های توان با آن مواجه می شوند، مشخص کنیم. دو قانون اساسی را در نظر بگیرید.

اول، بخشی را که قصد داریم ادغام کنیم، یعنی بخشی که برای g '(x) انتخاب شده است، باید بتوانیم آن را تبدیل کنیم. مهم است که این کار را در اسرع وقت انجام دهید. نکته این است که ادغام پیچیده برای g به ندرت منجر به بهبود انتگرال می شود و پیچیدگی را افزایش می دهد. همه اینها بر آزادی اعمال ما در هنگام تصمیم گیری تأثیر منفی می گذارد و همچنین به قدرت ها، سینوس ها و کسینوس ها بستگی دارد. ممکن است یافتن پاسخ درست زمان بر باشد، اما به جای پاسخ گیج کننده، به پاسخ درست منجر شود.

ثانیاً، هر چیز دیگری، یعنی بخشی که قصد داریم آن را متمایز کنیم و F را نشان دهیم، باید پس از تبدیل به طور قابل توجهی برجسته شود. پس از یک روش ساده، متوجه خواهیم شد که انتگرال جدید ساده تر از نسخه قبلی خود خواهد بود.

بنابراین، وقتی دو قانون را ترکیب می کنیم و از آن برای حل استفاده می کنیم، این فرصت را به دست می آوریم که از تمایز و یکپارچگی توابع قدرت استفاده کنیم، که منطقی به نظر می رسد.

همچنین راهی برای حذف x وجود دارد که به شما امکان می دهد به طور موثر از تبدیل ها در موارد مختلف استفاده کنید.موقعیت ها برای مثال، ما به راحتی می‌توانیم با ضرب یک تابع در یک چند جمله‌ای، آن را با تمایز لغو کنیم.

∫ x^{2 گناه(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

برای f توان x را می گیریم (در حالت کلی تر، چند جمله ای)، و همچنین از g استفاده می کنیم. بدیهی است که هر تمایز درجه عدد را یک عدد کاهش می دهد، بنابراین، اگر در مثال به اندازه کافی زیاد باشد، ادغام ترم به ترم را چندین بار اعمال کنید. این به صرفه جویی در زمان کمک می کند.

پیچیدگی برخی معادلات

در این مورد ما در مورد تمایز و ادغام سری های قدرت صحبت می کنیم. تابع را می توان طوری در نظر گرفت که گویی x مساحت فاصله همگرایی نقاط است. درست است، این روش برای همه مناسب نیست. واقعیت این است که هر تابعی را می توان به صورت سری توانی بیان کرد که به یک ساختار خطی تبدیل می شود و بالعکس.

برای مثال، با توجه به e_{x. ما می توانیم آن را به عنوان یک معادله بیان کنیم که در واقع فقط یک چند جمله ای نامتناهی است. سری توان با محاسبه آسان است، اما همیشه کارآمد نیست.}

انتگرال معین به عنوان حد مجموع

به ادغام و تمایز گرافیکی زیر نگاه کنید.

برای درک آسان یک تابع پیچیده، کافی است آن را به طور کامل درک کنید. بیایید منطقه PRSQP بین منحنی y=f (x)، محور x و مختصات "x=a" و "x=b" را تخمین بزنیم. اکنون بازه [a, b] را به زیر بازه های مساوی 'n' تقسیم کنید که با علامت زیر نشان داده می شود.بنابراین:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂]، [x₂، x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Where x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h، x₃=a + 3h….. x_r=a + rh و x =b=a + nh یا n=(b - a) / h. (یک).

توجه داشته باشید که به صورت n → ∞ h → 0.

فضای PRSQP در نظر گرفته شده، مجموع همه زیر دامنه‌های "n" است، که در آن هر کدام بر اساس یک حد متوسط تعریف شده است [x_r-1، x_{r]، r=1، 2، 3…n. با رویکرد درست، این توابع را می توان برای یک راه حل سریع متمایز و یکپارچه کرد.}

حالا به ABDM در تصویر نگاه کنید. بر اساس آن، توصیه می‌شود در مورد مناطق زیر مشاهده کنید: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

همچنین توجه داشته باشید که وقتی h → 0 یا x_r - x_{r-1 → 0، هر سه ناحیه تقریباً با یکدیگر برابر می شوند دوست بنابراین، ما داریم:}

s =h [f(x₀) + f(x_۱) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

یا S =h [f(x₁) + f(x_۲) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

در این مورد، s و S نشان‌دهنده مجموع مساحت همه مستطیل‌های پایین و بالایی هستند که بالاتر از فواصل [х. _r–1، x_{r] به ترتیب برای r=1، 2، 3، …، n. برای در نظر گرفتن این موضوع، معادله (1) را می توان به صورت بازنویسی کردفرم:}

s منطقه ۶۳۲۲۳۱ (PRSQP) < S_{… (4)}

علاوه بر این، فرض بر این است که مقادیر حدی (2) و (3) در هر دو مورد یکسان هستند و فقط ناحیه زیر منحنی مشترک است. در نتیجه، ما داریم:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=مناطق PRSQP=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

مساحت نیز حد فاصله بین مستطیل های زیر منحنی و بالای منحنی است. برای راحتی، باید به ارتفاع شکل، برابر با منحنی لبه سمت چپ هر زیر بازه توجه کنید. بنابراین، معادله در نسخه نهایی بازنویسی می شود:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

یا ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

نتیجه گیری

تمایز و ادغام با تعدادی ویژگی، فرمول و تغییرات متضاد با یکدیگر تفاوت دارند. یکی بدون کمک نمی تواند به دیگری تبدیل شود. اگر تمایز به یافتن مشتق کمک کند، ادغام عمل کاملا متفاوتی را انجام می دهد. او برخی از بخش‌ها را اضافه می‌کند، می‌تواند با کاهش آنها به درجات کمک کند یا با ساده‌سازی مثال را بهبود بخشد.

همچنین برای آزمایش معادلات متمایز استفاده می شود. به عبارت دیگر، آنها به عنوان یک موجود واحد عمل می کنند که نمی توانند به طور جداگانه همزیستی کنند، زیرا مکمل یکدیگر هستند. با استفاده از قوانین، دانستن بسیاری از تکنیک ها، اکنون حل آن تضمین شده استوظایف چالش برانگیز.