یکی از بدیهیات هندسه بیان می کند که از طریق هر دو نقطه می توان یک خط مستقیم را رسم کرد. این بدیهیات گواهی می دهد که یک عبارت عددی منحصر به فرد وجود دارد که به طور منحصر به فرد شی هندسی یک بعدی مشخص شده را توصیف می کند. در مقاله این سوال را در نظر بگیرید که چگونه معادله خط مستقیمی را که از دو نقطه می گذرد بنویسیم.
نقطه و خط چیست؟
قبل از بررسی مسئله ساختن یک معادله در فضا و روی صفحه که از یک جفت نقطه مختلف می گذرد، باید اجسام هندسی مشخص شده را تعریف کرد.
یک نقطه به طور منحصر به فرد توسط مجموعه ای از مختصات در یک سیستم معین از محورهای مختصات تعیین می شود. علاوه بر آنها، هیچ ویژگی دیگری برای نقطه وجود ندارد. او یک شیء صفر بعدی است.
هنگامی که در مورد یک خط مستقیم صحبت می شود، هر فرد خطی را تصور می کند که روی یک صفحه کاغذ سفید به تصویر کشیده شده است. در عین حال می توان یک تعریف هندسی دقیق ارائه داداین شی یک خط مستقیم مجموعه ای از نقاط است که اتصال هر یک از آنها با سایرین مجموعه ای از بردارهای موازی را به دست می دهد.
این تعریف هنگام تنظیم معادله برداری یک خط مستقیم استفاده می شود که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.
از آنجایی که هر خطی را می توان با قطعه ای با طول دلخواه علامت گذاری کرد، گفته می شود که یک شی هندسی یک بعدی است.
تابع بردار عدد
معادله ای که از دو نقطه یک خط مستقیم عبور می کند را می توان به اشکال مختلف نوشت. در فضاهای سه‌بعدی و دو بعدی، عبارت عددی اصلی و قابل فهم یک بردار است.
فرض کنید که بخش هدایت شده u¯(a; b; c) وجود دارد. در فضای سه بعدی، بردار u¯ می تواند از هر نقطه شروع شود، بنابراین مختصات آن مجموعه بی نهایتی از بردارهای موازی را تعریف می کند. با این حال، اگر نقطه خاصی را انتخاب کنیم (x0; y0; z0) و قرار دهیم آن را به عنوان آغاز بردار u¯، سپس، با ضرب این بردار در یک عدد واقعی دلخواه λ، می توان تمام نقاط یک خط مستقیم را در فضا بدست آورد. یعنی معادله برداری به صورت زیر نوشته می شود:
(x; y; z)=(x0؛ y0؛ z0) + λ(a; b; c)
بدیهی است که برای مورد روی صفحه، تابع عددی به شکل:
است.
(x; y)=(x0؛ y0) + λ(a; b)
مزیت این نوع معادله نسبت به سایرین (در بخش‌ها، متعارف،شکل کلی) در این واقعیت نهفته است که به صراحت مختصات بردار جهت را در بر می گیرد. دومی اغلب برای تعیین موازی یا عمود بودن خطوط استفاده می شود.
عمومی در بخش ها و تابع متعارف برای یک خط مستقیم در فضای دو بعدی
هنگام حل مسائل، گاهی لازم است معادله خط مستقیمی را که از دو نقطه عبور می کند، به شکل مشخص و مشخص بنویسید. بنابراین، راه های دیگری برای تعیین این شی هندسی در فضای دو بعدی باید ارائه شود (برای سادگی، حالت را در صفحه در نظر می گیریم).
بیایید با یک معادله کلی شروع کنیم. این شکل دارد:
Ax + By + C=0
به عنوان یک قاعده، در صفحه معادله یک خط مستقیم به این شکل نوشته می شود، فقط y به صراحت از طریق x تعریف می شود.
حالا عبارت بالا را به صورت زیر تبدیل کنید:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
این عبارت معادله در پاره ها نامیده می شود، زیرا مخرج هر متغیر نشان می دهد که چه مدت پاره خط در محور مختصات مربوطه نسبت به نقطه شروع قطع می شود (0; 0).
باید مثالی از معادله متعارف را بیاوریم. برای انجام این کار، برابری برداری را به صراحت می نویسیم:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
بیایید پارامتر λ را از اینجا بیان کنیم و برابری های حاصل را برابر کنیم:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
آخرین تساوی معادله به شکل متعارف یا متقارن نامیده می شود.
هر یک از آنها را می توان به بردار تبدیل کرد و بالعکس.
معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می کند: تکنیک تلفیقی
بازگشت به سوال مقاله. فرض کنید دو نقطه در فضا وجود دارد:
M(x1؛ y1؛ z1) و N (x 2؛ y2؛ z2)
تنها خط مستقیم از آنها می گذرد که معادله آن به صورت برداری بسیار آسان است. برای انجام این کار، مختصات بخش هدایت شده MN¯ را محاسبه می کنیم، داریم:
MN¯=N - M=(x2-x1؛ y2- y1؛ z2-z1)
حدس زدن اینکه این بردار راهنمای خط مستقیمی باشد که باید معادله آن بدست آید دشوار نیست. با دانستن اینکه از M و N نیز عبور می کند، می توانید از مختصات هر یک از آنها برای یک عبارت برداری استفاده کنید. سپس معادله مورد نظر به شکل
در می آید
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1؛ y1؛ z1) + λ(x2-x1؛ y2-y1 ؛ z2-z1)
برای حالت در فضای دو بعدی، یک برابری مشابه را بدون مشارکت متغیر z به دست می آوریم.
به محض اینکه برابری برداری برای خط نوشته شد، می توان آن را به هر شکل دیگری که سؤال مسئله نیاز دارد ترجمه کرد.
وظیفه:یک معادله کلی بنویسید
مشخص است که یک خط مستقیم از نقاطی با مختصات (-1; 4) و (3; 2) می گذرد. لازم است معادله یک خط مستقیم که از آنها می گذرد به صورت کلی بسازیم و y را بر حسب x بیان کنیم.
برای حل مسئله، ابتدا معادله را به صورت برداری می نویسیم. مختصات بردار (راهنما) عبارتند از:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
پس شکل برداری معادله خط مستقیم به صورت زیر است:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
باقی می ماند که آن را به شکل کلی به شکل y(x) بنویسیم. ما این برابری را به صراحت بازنویسی می کنیم، پارامتر λ را بیان می کنیم و آن را از معادله حذف می کنیم:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
از معادله متعارف حاصل، y را بیان می کنیم و به پاسخ سؤال می رسیم:
y=-0.5x + 3.5
اعتبار این برابری را می توان با جایگزین کردن مختصات نقاط مشخص شده در بیان مسئله بررسی کرد.
مسئله: یک خط مستقیم که از مرکز بخش می گذرد
حالا بیایید یک مشکل جالب را حل کنیم. فرض کنید دو نقطه M(2; 1) و N(5; 0) داده شده است. مشخص است که یک خط مستقیم از وسط قطعه ای که نقاط را به هم متصل می کند و بر آن عمود است می گذرد. معادله خط مستقیمی را که از وسط پاره پاره می گذرد به صورت برداری بنویسید.
با محاسبه مختصات این مرکز و تعیین بردار جهت می توان عبارت عددی مورد نظر را تشکیل داد.پاره یک زاویه 90 می سازد o.
نقطه میانی بخش این است:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
حالا اجازه دهید مختصات بردار MN¯ را محاسبه کنیم:
MN¯=N - M=(3; -1)
از آنجایی که بردار جهت خط مورد نظر عمود بر MN¯ است، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. این به شما امکان می دهد مختصات مجهول (a; b) بردار فرمان را محاسبه کنید:
a3 - b=0=>
b=3a
حالا معادله برداری را بنویسید:
(x; y)=(3، 5؛ 0، 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3، 5؛ 0، 5) + β(1; 3)
در اینجا ما محصول aλ را با یک پارامتر جدید β جایگزین کردیم.
بنابراین، ما معادله خط مستقیمی را که از مرکز پاره پاره می گذرد ساخته ایم.
