ریاضی، آنطور که گاهی به نظر می رسد، علم خسته کننده ای نیست. برای کسانی که مشتاق درک آن نیستند، چیزهای جالب زیادی دارد، اگرچه گاهی اوقات غیرقابل درک است. امروز در مورد یکی از رایج ترین و ساده ترین مباحث ریاضیات یا بهتر است بگوییم حوزه آن که در آستانه جبر و هندسه است صحبت خواهیم کرد. بیایید در مورد خطوط و معادلات آنها صحبت کنیم. به نظر می رسد این یک موضوع مدرسه خسته کننده است که چیز جالب و جدیدی را وعده نمی دهد. اما اینطور نیست و در این مقاله سعی می کنیم دیدگاه خود را به شما ثابت کنیم. قبل از رفتن به جالب ترین و توصیف معادله یک خط مستقیم از طریق دو نقطه، به تاریخچه همه این اندازه گیری ها می پردازیم و سپس در می یابیم که چرا این همه ضروری بود و چرا اکنون دانش فرمول های زیر نمی تواند باشد. صدمه دیده است.
تاریخ
حتی در دوران باستان، ریاضیدانان به ساختارهای هندسی و انواع نمودارها علاقه داشتند. امروز دشوار است که بگوییم چه کسی برای اولین بار معادله یک خط مستقیم را از طریق دو نقطه بدست آورد. اما می توان فرض کرد که این شخص اقلیدس بوده است -دانشمند و فیلسوف یونان باستان. او بود که در رساله "آغاز" خود اساس هندسه اقلیدسی آینده را به وجود آورد. اکنون این بخش از ریاضیات مبنای نمایش هندسی جهان در نظر گرفته می شود و در مدرسه تدریس می شود. اما شایان ذکر است که هندسه اقلیدسی فقط در سطح کلان در بعد سه بعدی ما عمل می کند. اگر فضا را در نظر بگیریم، همیشه نمی‌توان به کمک آن همه پدیده‌هایی را که در آنجا رخ می‌دهند تصور کرد.
بعد از اقلیدس دانشمندان دیگری بودند. و آنچه را که او کشف و نوشته بود به کمال رساندند و درک کردند. در پایان، یک منطقه پایدار از هندسه معلوم شد که در آن همه چیز هنوز تزلزل ناپذیر است. و هزاران سال است که ثابت شده است که معادله یک خط مستقیم از دو نقطه بسیار آسان و ساده است. اما قبل از اینکه توضیح دهیم چگونه این کار را انجام دهیم، اجازه دهید چند نظریه را مورد بحث قرار دهیم.
نظریه
خط مستقیم یک پاره بی نهایت در هر دو جهت است که می توان آن را به تعداد نامتناهی پاره با هر طولی تقسیم کرد. برای نشان دادن یک خط مستقیم، اغلب از نمودارها استفاده می شود. علاوه بر این، نمودارها می توانند در هر دو سیستم مختصات دو بعدی و سه بعدی باشند. و با توجه به مختصات نقاط متعلق به خود ساخته می شوند. به هر حال، اگر یک خط مستقیم را در نظر بگیریم، می بینیم که از تعداد بی نهایت نقطه تشکیل شده است.
با این حال، چیزی وجود دارد که در آن یک خط مستقیم با انواع دیگر خطوط بسیار متفاوت است. این معادله اوست به طور کلی، برخلاف مثلاً معادله یک دایره، بسیار ساده است. مطمئناً هر کدام از ما در مدرسه آن را پشت سر گذاشتیم. ولیبا این حال، اجازه دهید شکل کلی آن را بنویسیم: y=kx+b. در بخش بعدی، به طور مفصل به معنای هر یک از این حروف و چگونگی حل این معادله ساده از یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می کند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
معادله خط
برابری که در بالا ارائه شد معادله خط مستقیمی است که ما به آن نیاز داریم. شایان ذکر است که منظور در اینجا چیست. همانطور که ممکن است حدس بزنید، y و x مختصات هر نقطه از خط هستند. به طور کلی، این معادله تنها به این دلیل وجود دارد که هر نقطه از هر خط مستقیم تمایل به ارتباط با نقاط دیگر دارد و بنابراین قانونی وجود دارد که یک مختصات را به مختصات دیگر مرتبط می کند. این قانون تعیین می کند که چگونه معادله یک خط مستقیم از دو نقطه داده شده به نظر می رسد.
چرا دقیقاً دو نقطه؟ همه اینها به این دلیل است که حداقل تعداد نقاط مورد نیاز برای ساخت یک خط مستقیم در فضای دو بعدی دو است. اگر یک فضای سه بعدی بگیریم، تعداد نقاط مورد نیاز برای ایجاد یک خط مستقیم نیز برابر با دو خواهد بود، زیرا سه نقطه قبلاً یک صفحه را تشکیل می دهند.
همچنین یک قضیه وجود دارد که ثابت می کند می توان یک خط مستقیم را از هر دو نقطه رسم کرد. این واقعیت را می توان در عمل با اتصال دو نقطه تصادفی روی نمودار با یک خط کش بررسی کرد.
حالا به یک مثال خاص نگاه می کنیم و نشان می دهیم که چگونه می توان این معادله بدنام یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده می گذرد حل کرد.
مثال
دو نکته را در نظر بگیریدکه برای ایجاد یک خط مستقیم نیاز دارید. بیایید مختصات آنها را تنظیم کنیم، برای مثال، M1(2;1) و M2(3;2). همانطور که از دوره مدرسه می دانیم، مختصات اول مقدار در امتداد محور OX و مختصات دوم مقدار در امتداد محور OY است. در بالا، معادله یک خط مستقیم از دو نقطه ارائه شد و برای اینکه بتوانیم پارامترهای گمشده k و b را پیدا کنیم، باید یک سیستم دو معادله بسازیم. در واقع، از دو معادله تشکیل شده است که هر کدام شامل دو ثابت مجهول ما خواهد بود:
1=2k+b
2=3k+b
اکنون مهمترین چیز باقی می ماند: حل این سیستم. این کار کاملاً ساده انجام می شود. ابتدا b را از معادله اول بیان می کنیم: b=1-2k. حالا باید تساوی حاصل را جایگزین معادله دوم کنیم. این کار با جایگزینی b با برابری که دریافت کردیم انجام می شود:
2=3k+1-2k
1=k;
اکنون که می دانیم مقدار ضریب k چقدر است، زمان آن رسیده است که مقدار ثابت بعدی - b را دریابیم. این حتی آسان تر نیز می شود. از آنجایی که ما وابستگی b را به k می دانیم، می توانیم مقدار دومی را در معادله اول جایگزین کنیم و مقدار مجهول را پیدا کنیم:
b=1-21=-1.
با دانستن هر دو ضرایب، اکنون می‌توانیم آنها را در معادله کلی اصلی یک خط مستقیم از دو نقطه جایگزین کنیم. بنابراین، برای مثال ما، معادله زیر را بدست می آوریم: y=x-1. این برابری مطلوبی است که باید به دست می آوردیم.
قبل از رفتن به نتیجه، اجازه دهید کاربرد این بخش از ریاضیات در زندگی روزمره را مورد بحث قرار دهیم.
برنامه
به این ترتیب، معادله یک خط مستقیم از بین دو نقطه کاربرد پیدا نمی کند. اما این بدان معنا نیست که ما به آن نیاز نداریم. در فیزیک و ریاضیمعادلات خطوط و خواصی که از آنها به دست می آید بسیار فعال استفاده می شود. شاید حتی متوجه آن نشوید، اما ریاضیات در اطراف ما وجود دارد. و حتی موضوعات به ظاهر غیرقابل توجهی مانند معادله یک خط مستقیم از طریق دو نقطه بسیار مفید هستند و اغلب در یک سطح اساسی به کار می روند. اگر در نگاه اول به نظر می رسد که این نمی تواند در هیچ کجا مفید باشد، در اشتباه هستید. ریاضیات تفکر منطقی را توسعه می دهد، که هرگز اضافی نخواهد بود.
نتیجه گیری
اکنون که متوجه شدیم چگونه از دو نقطه داده شده خطوط را رسم کنیم، پاسخ دادن به هر سؤال مرتبط با آن برای ما آسان است. به عنوان مثال، اگر معلم به شما بگوید: "معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه عبور می کند بنویسید"، انجام این کار برای شما دشوار نخواهد بود. امیدواریم این مقاله برای شما مفید بوده باشد.
