توانایی کار با عبارات عددی حاوی ریشه مربع برای حل موفقیت آمیز تعدادی از مسائل از OGE و USE ضروری است. در این امتحانات، معمولاً درک اولیه از اینکه استخراج ریشه چیست و چگونه در عمل انجام می شود، کافی است.
تعریف
ریشه n-امین عدد X یک عدد x است که برابری آن درست است: xn =X.
پیدا کردن مقدار یک عبارت با ریشه به معنای یافتن x داده شده X و n است.
ریشه دوم یا همان ریشه دوم X - عدد x که برابری برای آن برقرار است: x2 =X.
تعیین: ∛Х. در اینجا 3 درجه ریشه است، X بیان ریشه است. علامت '√' اغلب رادیکال نامیده می شود.
اگر عدد بالای ریشه نشان دهنده درجه نیست، پیش فرض آن درجه 2 است.
در یک دوره مدرسه برای درجه های حتی، معمولاً ریشه های منفی و عبارات رادیکال در نظر گرفته نمی شوند. مثلاً وجود ندارد√-2، و برای عبارت √4، پاسخ صحیح 2 است، با وجود این که (-2)2 نیز برابر با 4 است.
عقلانی بودن و غیرمنطقی بودن ریشه ها
ساده ترین کار ممکن با ریشه این است که ارزش یک عبارت را پیدا کنید یا آن را برای عقلانیت آزمایش کنید.
برای مثال، مقادیر √25 را محاسبه کنید. ∛8; ∛-125:
- √25=5 زیرا 52 =25;
- ∛8=2 زیرا 23 =8;
- ∛ - 125=-5 از (-5)3 =-125.
پاسخ در مثال های داده شده اعداد گویا هستند.
هنگام کار با عباراتی که حاوی ثابت و متغیر تحت اللفظی نیستند، توصیه می شود همیشه چنین بررسی را با استفاده از عملیات معکوس افزایش به توان طبیعی انجام دهید. یافتن عدد x به توان n برابر است با محاسبه حاصل ضرب n عامل x.
عبارات زیادی با ریشه وجود دارد که مقدار آنها غیر منطقی است، یعنی به صورت یک کسر نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شود.
طبق تعریف، گویا آنهایی هستند که می توانند به صورت کسری مشترک بیان شوند، و غیرمنطقی ها همه اعداد حقیقی دیگر هستند.
اینها عبارتند از √24، √0، 1، √101.
اگر کتاب مسئله می گوید: مقدار عبارت را با ریشه 2، 3، 5، 6، 7 و غیره، یعنی از اعداد طبیعی که در جدول مربع ها وجود ندارد، بیابید. ، سپس پاسخ صحیح این است که √ 2 ممکن است وجود داشته باشد (مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد).
ارزیابی
در مشکلات بایک پاسخ باز، اگر نمی توان مقدار یک عبارت را با ریشه پیدا کرد و آن را به عنوان یک عدد گویا نوشت، نتیجه باید به صورت رادیکال باقی بماند.
برخی تکالیف ممکن است نیاز به ارزیابی داشته باشند. برای مثال 6 و √37 را مقایسه کنید. راه حل مستلزم مربع کردن هر دو عدد و مقایسه نتایج است. از دو عدد، عددی که مربع آن بزرگتر است، بزرگتر است. این قانون برای همه اعداد مثبت کار می کند:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- means √37 > 6.
به همین ترتیب، مسائلی حل می شوند که در آنها چندین عدد باید به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب شوند.
مثال: 5، √6، √48، √√64 را به ترتیب صعودی مرتب کنید.
پس از مربع کردن، داریم: 25، 6، 48، √64. می‌توان همه اعداد را دوباره مربع کرد تا با 64 √ مقایسه کرد، اما با عدد گویا 8 برابری می‌کند.
ساده کردن عبارت
این اتفاق می افتد که یافتن مقدار یک عبارت با ریشه غیرممکن است، بنابراین باید آن را ساده کرد. فرمول زیر به این امر کمک می کند:
√ab=√a√b.
ریشه حاصل ضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب ریشه آنها. این عملیات همچنین به توانایی فاکتورسازی یک عدد نیاز دارد.
در مرحله اولیه برای سرعت بخشیدن به کار توصیه می شود جدولی از اعداد اول و مربع ها را در دست داشته باشید. این جداول با مکرراستفاده در آینده به خاطر سپرده خواهد شد.
به عنوان مثال، √242 یک عدد غیر منطقی است، می توانید آن را به این صورت تبدیل کنید:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
معمولاً نتیجه به صورت 11√2 نوشته می شود (بخوانید: یازده ریشه از دو).
اگر دشوار است فوراً ببینید که یک عدد باید به کدام دو عامل تجزیه شود تا بتوان از یکی از آنها یک ریشه طبیعی استخراج کرد، می توانید از تجزیه کامل به عوامل اول استفاده کنید. اگر عدد اول یکسان دو بار در بسط رخ دهد، از علامت ریشه خارج می شود. وقتی فاکتورهای زیادی وجود دارد، می توانید ریشه را در چند مرحله استخراج کنید.
مثال: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). عدد 2 در بسط 2 بار رخ می دهد (در واقع، بیش از دو بار، اما ما همچنان به دو مورد اول در گسترش علاقه مند هستیم).
آن را از زیر علامت ریشه خارج می کنیم:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
همان عمل را تکرار کنید:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
در عبارت رادیکال باقیمانده، 2 و 3 یک بار رخ می دهند، بنابراین باید فاکتور 5 را حذف کنیم:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
و انجام عملیات حسابی:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
بنابراین، √2400=20√6 را دریافت می کنیم.
اگر وظیفه به صراحت بیان نمی کند: "مقدار عبارت را با یک جذر پیدا کنید"، سپس انتخاب،به چه شکلی باید پاسخ را گذاشت (این که آیا ریشه را از زیر رادیکال استخراج کنیم یا خیر) برای دانش آموز باقی می ماند و ممکن است به حل مشکل بستگی داشته باشد.
در ابتدا، الزامات زیادی برای طراحی وظایف، محاسبه، اعم از شفاهی یا کتبی، بدون استفاده از ابزار فنی اعمال می شود.
فقط پس از تسلط خوب بر قواعد کار با عبارات عددی غیرمنطقی، منطقی است که به سمت عبارات تحت اللفظی دشوارتر و حل معادلات غیرمنطقی و محاسبه دامنه مقادیر ممکن عبارت زیر برویم. رادیکال.
دانشجویان در آزمون دولتی واحد ریاضی و همچنین در سال اول دانشگاه های تخصصی هنگام مطالعه آنالیز ریاضی و رشته های مرتبط با این نوع مشکلات مواجه می شوند.
