مطالعه توابع و نمودارهای آنها موضوعی است که در چارچوب برنامه درسی دبیرستان به آن توجه ویژه ای شده است. برخی از مبانی آنالیز ریاضی - تمایز - در سطح نیمرخ آزمون ریاضی گنجانده شده است. برخی از دانش آموزان با این موضوع مشکل دارند، زیرا نمودارهای تابع و مشتق را با هم اشتباه می گیرند و همچنین الگوریتم ها را فراموش می کنند. این مقاله به انواع اصلی وظایف و نحوه حل آنها می پردازد.
مقدار تابع چیست؟
یک تابع ریاضی یک معادله خاص است. بین اعداد رابطه برقرار می کند. تابع به مقدار آرگومان بستگی دارد.
مقدار تابع طبق فرمول داده شده محاسبه می شود. برای انجام این کار، هر آرگومان مربوط به محدوده مقادیر معتبر در این فرمول را به جای x جایگزین کنید و عملیات ریاضی لازم را انجام دهید. چی؟
چگونه می توانید کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید،با استفاده از تابع نمودار؟
نمایش گرافیکی وابستگی یک تابع به آرگومان، نمودار تابع نامیده می شود. بر روی صفحه ای با یک قطعه واحد مشخص ساخته شده است، جایی که مقدار یک متغیر یا آرگومان در امتداد محور ابسیسا افقی و مقدار تابع مربوطه در امتداد محور ارتین عمودی رسم می شود.
هر چه مقدار آرگومان بیشتر باشد، بیشتر در سمت راست در نمودار قرار می گیرد. و هر چه مقدار خود تابع بزرگتر باشد، نقطه بالاتر است.
این چه می گوید؟ کوچکترین مقدار تابع، نقطه ای خواهد بود که کمترین مقدار در نمودار قرار دارد. برای پیدا کردن آن در یک بخش نمودار، به:نیاز دارید
1) انتهای این بخش را پیدا کرده و علامت گذاری کنید.
2) به صورت بصری تعیین کنید که کدام نقطه در این بخش کمترین قرار دارد.
3) در پاسخ، مقدار عددی آن را یادداشت کنید، که می‌توان آن را با نمایش یک نقطه روی محور y تعیین کرد.
نقاط افراطی در نمودار مشتق. کجا نگاه کنیم؟
اما، هنگام حل مسائل، گاهی اوقات نموداری نه از یک تابع، بلکه از مشتق آن داده می شود. برای جلوگیری از اشتباه احمقانه تصادفی، بهتر است شرایط را با دقت بخوانید، زیرا بستگی به این دارد که کجا باید به دنبال نقاط افراطی باشید.
بنابراین، مشتق نرخ آنی افزایش تابع است. طبق تعریف هندسی، مشتق مربوط به شیب مماس است که مستقیماً به نقطه داده شده کشیده می شود.
مشخص است که در نقاط انتهایی مماس موازی با محور Ox است.این به این معنی است که شیب آن 0. است
از این می توان نتیجه گرفت که در نقاط منتهی مشتق روی محور x قرار دارد یا ناپدید می شود. اما علاوه بر این، در این نقاط، تابع جهت خود را تغییر می دهد. یعنی پس از یک دوره افزایش، شروع به کاهش می کند و بر این اساس مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند. یا برعکس.
اگر مشتق از مثبت منفی شود، این حداکثر نقطه است. اگر از منفی مثبت شود - حداقل امتیاز.
مهم: اگر نیاز به تعیین حداقل یا حداکثر نقطه در کار دارید، در پاسخ باید مقدار مربوطه را در امتداد محور آبسیسا بنویسید. اما اگر باید مقدار تابع را پیدا کنید، ابتدا باید مقدار مربوط به آرگومان را در تابع جایگزین کرده و آن را محاسبه کنید.
چگونه با استفاده از مشتق نقاط اکسترموم را پیدا کنیم؟
نمونه های در نظر گرفته شده عمدتاً به تکلیف شماره 7 امتحان اشاره دارد که شامل کار با نمودار یک مشتق یا یک ضد مشتق است. اما وظیفه 12 USE - برای یافتن کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه (گاهی اوقات بزرگترین) - بدون هیچ نقشه ای انجام می شود و به مهارت های اساسی در تجزیه و تحلیل ریاضی نیاز دارد.
برای انجام آن، باید بتوانید نقاط اکسترموم را با استفاده از مشتق پیدا کنید. الگوریتم برای یافتن آنها به شرح زیر است:
- مشتق یک تابع را پیدا کنید.
- آن را روی صفر تنظیم کنید.
- ریشه های معادله را بیابید.
- بررسی کنید که آیا نقاط به‌دست‌آمده نقاط افراطی یا عطفی هستند.
برای این کار، یک نمودار بکشید و ادامه دهیدفواصل حاصل، نشانه های مشتق را با جایگزین کردن اعداد متعلق به بخش ها به مشتق تعیین می کند. اگر هنگام حل معادله، ریشه های چند برابری را دریافت کردید، اینها نقاط عطف هستند.
با استفاده از قضایا، مشخص کنید که کدام نقاط حداقل و کدام حداکثر هستند
محاسبه کوچکترین مقدار یک تابع با استفاده از مشتق
با این حال، با انجام تمام این اقدامات، مقادیر حداقل و حداکثر نقاط را در امتداد محور x خواهیم یافت. اما چگونه می توان کوچکترین مقدار یک تابع را در یک قطعه پیدا کرد؟
برای یافتن عددی که با تابع در یک نقطه خاص مطابقت دارد چه باید کرد؟ شما باید مقدار آرگومان را در این فرمول جایگزین کنید.
نقاط حداقل و حداکثر مربوط به کوچکترین و بزرگترین مقدار تابع در بخش است. بنابراین، برای یافتن مقدار تابع، باید تابع را با استفاده از مقادیر x به دست آمده محاسبه کنید.
مهم! اگر کار از شما می خواهد که یک نقطه حداقل یا حداکثر را مشخص کنید، در پاسخ باید مقدار مربوطه را در امتداد محور x بنویسید. اما اگر باید مقدار تابع را پیدا کنید، ابتدا باید مقدار مربوط به آرگومان را با تابع جایگزین کنید و عملیات ریاضی لازم را انجام دهید.
اگر در این بخش پایینی وجود نداشته باشد چه کاری باید انجام دهم؟
اما چگونه می توان کوچکترین مقدار یک تابع را در یک قطعه بدون نقطه اکسترموم پیدا کرد؟
این بدان معناست که تابع به طور یکنواخت روی آن کاهش یا افزایش می یابد. سپس باید مقدار نقاط انتهایی این بخش را با تابع جایگزین کنید. دو راه وجود دارد.
1) با محاسبهمشتق و فواصلی که در آنها مثبت یا منفی است، برای نتیجه گیری اینکه آیا تابع در یک بخش معین در حال کاهش یا افزایش است.
مطابق با آنها، یک مقدار بیشتر یا کمتر از آرگومان را در تابع جایگزین کنید.
2) به سادگی هر دو نقطه را در تابع جایگزین کنید و مقادیر تابع حاصل را مقایسه کنید.
در کدام وظایف یافتن مشتق اختیاری است
به عنوان یک قاعده، در تکالیف USE، هنوز باید مشتق را پیدا کنید. فقط چند مورد استثنا وجود دارد.
1) Parabola.
راس سهمی با فرمول پیدا می شود.
اگر < 0 باشد، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند. و اوج آن حداکثر نقطه است.
اگر > 0 باشد، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت شوند، راس آن حداقل نقطه است.
پس از محاسبه نقطه رأس سهمی، باید مقدار آن را با تابع جایگزین کرده و مقدار مربوط به تابع را محاسبه کنید.
2) تابع y=tg x. یا y=ctg x.
این توابع به طور یکنواخت در حال افزایش هستند. بنابراین، هر چه مقدار آرگومان بیشتر باشد، ارزش خود تابع نیز بیشتر است. در مرحله بعد، نحوه یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک بخش را با مثال بررسی خواهیم کرد.
انواع اصلی وظایف
Task: بزرگترین یا کوچکترین مقدار تابع. مثال در نمودار.
در تصویر نمودار مشتق تابع f (x) را در بازه [-6; 6]. در کدام نقطه از بخش [-3; 3] f(x) کوچکترین مقدار را می گیرد؟
بنابراین، برای شروع، باید بخش مشخص شده را انتخاب کنید. روی آن، تابع یک بار یک مقدار صفر می گیرد و علامت خود را تغییر می دهد - این نقطه افراطی است. از آنجایی که مشتق از منفی مثبت می شود، به این معنی است که این حداقل نقطه تابع است. این نقطه با مقدار آرگومان 2 مطابقت دارد.
پاسخ: 2.
به دیدن نمونه ها ادامه دهید. وظیفه: بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را در بخش پیدا کنید.
کوچکترین مقدار تابع y=(x - 8) ex-7 در بازه [6; 8].
1. مشتق یک تابع مختلط را بگیرید.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. مشتق حاصل را با صفر برابر کنید و معادله را حل کنید.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0، یا ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0، بدون ریشه
3. مقدار نقاط انتهایی و همچنین ریشه های معادله را جایگزین کنید.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
پاسخ: -1.
بنابراین، در این مقاله، تئوری اصلی در مورد چگونگی یافتن کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه، که برای حل موفقیت آمیز وظایف USE در ریاضیات تخصصی ضروری است، در نظر گرفته شد. همچنین عناصر ریاضیتجزیه و تحلیل هنگام حل تکالیف قسمت C امتحان استفاده می شود، اما بدیهی است که آنها سطح متفاوتی از پیچیدگی را نشان می دهند و الگوریتم های راه حل های آنها به سختی در چارچوب یک ماده قرار می گیرند.
