سینماتیک بخشی از فیزیک است که قوانین حرکت اجسام را در نظر می گیرد. تفاوت آن با دینامیک این است که نیروهای وارد بر جسم متحرک را در نظر نمی گیرد. این مقاله به مسئله سینماتیک حرکت چرخشی اختصاص دارد.
حرکت چرخشی و تفاوت آن با حرکت رو به جلو
اگر به اجسام متحرک اطراف توجه کنید، می بینید که آنها یا در یک خط مستقیم حرکت می کنند (ماشین در جاده در حال حرکت است، هواپیما در آسمان در حال پرواز است) یا در یک دایره (همان ماشین وارد یک پیچ، چرخش چرخ). انواع پیچیده‌تر حرکت اجسام را می‌توان به عنوان اولین تقریب به ترکیبی از دو نوع ذکر شده تقلیل داد.
حرکت پیشرونده شامل تغییر مختصات فضایی بدن است. در این حالت اغلب به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفته می شود (ابعاد هندسی در نظر گرفته نمی شود).
حرکت چرخشی نوعی حرکت است که در آنسیستم در یک دایره حول یک محور حرکت می کند. علاوه بر این، جسم در این مورد به ندرت به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفته می شود، اغلب از تقریب دیگری استفاده می شود - یک بدن کاملاً سفت و سخت. دومی به این معنی است که نیروهای کشسانی که بین اتم های بدن اعمال می شود نادیده گرفته می شود و فرض می شود که ابعاد هندسی سیستم در طول چرخش تغییر نمی کند. ساده ترین حالت یک محور ثابت است.
سینماتیک حرکت انتقالی و چرخشی از همان قوانین نیوتن تبعیت می کند. برای توصیف هر دو نوع حرکت از مقادیر فیزیکی مشابهی استفاده می شود.
چه کمیت ها حرکت را در فیزیک توصیف می کنند؟
سینماتیک حرکت چرخشی و انتقالی از سه کمیت اساسی استفاده می کند:
- مسیری که طی شد. ما آن را با حرف L برای انتقال و θ - برای حرکت چرخشی نشان می دهیم.
- سرعت. برای حالت خطی، معمولاً با حرف لاتین v، برای حرکت در مسیر دایره ای - با حرف یونانی ω نوشته می شود.
- شتاب. برای یک مسیر خطی و دایره ای، به ترتیب از نمادهای a و α استفاده می شود.
مفهوم مسیر نیز اغلب استفاده می شود. اما برای انواع حرکت اجسام مورد بررسی، این مفهوم بی اهمیت می شود، زیرا حرکت انتقالی با یک مسیر خطی و چرخشی با یک دایره مشخص می شود.
سرعت خطی و زاویه ای
بیایید سینماتیک حرکت چرخشی یک نقطه مادی را شروع کنیم.از مفهوم سرعت مشاهده می شود. مشخص است که برای حرکت انتقالی اجسام، این مقدار توصیف می کند که در هر واحد زمان بر کدام مسیر غلبه خواهد شد، یعنی:
v=L / t
V بر حسب متر بر ثانیه اندازه گیری می شود. برای چرخش، در نظر گرفتن این سرعت خطی ناخوشایند است، زیرا به فاصله تا محور چرخش بستگی دارد. یک ویژگی کمی متفاوت معرفی شده است:
ω=θ / t
این یکی از فرمول های اصلی سینماتیک حرکت دورانی است. این نشان می دهد که کل سیستم در چه زاویه ای به دور یک محور ثابت در زمان t می چرخد.
هر دو فرمول بالا روند فیزیکی یکسانی از سرعت حرکت را منعکس می کنند. فقط برای حالت خطی فاصله مهم است و برای حالت دایره ای زاویه چرخش.
هر دو فرمول با یکدیگر تعامل دارند. بیایید این ارتباط را بدست آوریم. اگر θ را به رادیان بیان کنیم، آنگاه یک نقطه مادی که در فاصله R از محور می چرخد، با یک دور چرخش، مسیر L=2piR را طی می کند. عبارت سرعت خطی به شکل زیر خواهد بود:
v=L / t=2piR / t
اما نسبت 2پی رادیان به زمان t چیزی جز سرعت زاویه ای نیست. سپس دریافت می کنیم:
v=ωR
از اینجا می توان دریافت که هرچه سرعت خطی v بیشتر و شعاع چرخش R کوچکتر باشد، سرعت زاویه ای ω بیشتر است.
شتاب خطی و زاویه ای
یکی دیگر از ویژگی های مهم در سینماتیک حرکت دورانی یک نقطه مادی، شتاب زاویه ای است. قبل از اینکه با او آشنا شویم، بیاییدفرمول یک مقدار خطی مشابه:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
اولین عبارت شتاب لحظه ای را منعکس می کند (dt ->0)، در حالی که فرمول دوم اگر سرعت به طور یکنواخت در طول زمان Δt تغییر کند مناسب است. شتاب به دست آمده در نوع دوم متوسط نامیده می شود.
با توجه به شباهت کمیت هایی که حرکت خطی و چرخشی را توصیف می کنند، برای شتاب زاویه ای می توانیم بنویسیم:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
تفسیر این فرمول ها دقیقاً مشابه حالت خطی است. تنها تفاوت این است که a نشان می دهد که سرعت در واحد زمان چند متر در ثانیه تغییر می کند، و α نشان می دهد که سرعت زاویه ای در همان بازه زمانی چند رادیان در ثانیه تغییر می کند.
بیایید ارتباط بین این شتاب ها را پیدا کنیم. با جایگزینی مقدار v، که بر حسب ω بیان شده است، به هر یک از دو برابری α، می‌گیریم:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
نتیجه می شود که هرچه شعاع چرخش کوچکتر و شتاب خطی بیشتر باشد، مقدار α بیشتر است.
مسافت طی شده و زاویه چرخش
باقی مانده است که آخرین فرمول از سه کمیت اساسی در سینماتیک حرکت چرخشی حول یک محور ثابت - برای زاویه چرخش - ارائه دهیم. همانطور که در پاراگراف های قبلی، ابتدا فرمول حرکت یکنواخت یکنواخت شتاب شده را می نویسیم، داریم:
L=v0 t + a t2 / 2
قیاس کامل با حرکت چرخشی به فرمول زیر برای آن منجر می شود:
θ=ω0 t + αt2 / 2
آخرین عبارت به شما امکان می دهد زاویه چرخش را برای هر زمان t بدست آورید. توجه داشته باشید که محیط 2پی رادیان (≈ 6.3 رادیان) است. اگر در نتیجه حل مسئله، مقدار θ بیشتر از مقدار مشخص شده باشد، بدن بیش از یک دور حول محور انجام داده است.
فرمول رابطه بین L و θ با جایگزین کردن مقادیر مربوط به ω0و α از طریق مشخصه های خطی به دست می آید:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
عبارت به دست آمده معنای خود زاویه θ را به رادیان منعکس می کند. اگر θ=1 راد، L=R، یعنی زاویه یک رادیان روی کمانی به طول یک شعاع قرار دارد.
نمونه ای از حل مسئله
بیایید مشکل سینماتیک چرخشی زیر را حل کنیم: می دانیم که ماشین با سرعت 70 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. با دانستن اینکه قطر چرخ آن D=0.4 متر است، باید مقدار ω را برای آن تعیین کرد و همچنین تعداد دورهایی را که ماشین در طی مسافت 1 کیلومتر انجام می دهد تعیین کرد.
برای یافتن سرعت زاویه ای، کافی است داده های شناخته شده را با فرمول مربوط به سرعت خطی جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0، 2=97، 222 راد در ثانیه.
به طور مشابه برای زاویه θ که چرخ پس از عبور به آن می چرخد1 کیلومتر، دریافت می کنیم:
θ=L / R=1000 / 0، 2=5000 رادی.
با توجه به اینکه یک دور 6.2832 رادیان است، تعداد دور چرخ را که با این زاویه مطابقت دارد بدست می آوریم:
n=θ / 6، 2832=5000 / 6، 2832=795، 77 نوبت.
با استفاده از فرمول های مقاله به سوالات پاسخ دادیم. همچنین می‌توان مشکل را به روش دیگری حل کرد: زمانی را که ماشین 1 کیلومتر طی می‌کند محاسبه کرده و آن را در فرمول زاویه چرخش جایگزین کنید، که از آن می‌توانیم سرعت زاویه‌ای ω را بدست آوریم. پاسخ پیدا شد.
