ماتریس: روش گاوس. محاسبه ماتریس گاوس: مثال

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

جبر خطی که در دانشگاه ها در تخصص های مختلف تدریس می شود، موضوعات پیچیده زیادی را با هم ترکیب می کند. برخی از آنها به ماتریس ها و همچنین حل سیستم های معادلات خطی با روش های گاوس و گاوس-جردن مربوط می شوند. همه دانش آموزان موفق به درک این موضوعات نمی شوند، الگوریتم هایی برای حل مسائل مختلف. بیایید با هم ماتریس ها و روش های گاوس و گاوس اردن را درک کنیم.

مفاهیم اساسی

یک ماتریس در جبر خطی آرایه مستطیلی از عناصر است (جدول). در زیر مجموعه ای از عناصر محصور در پرانتز وجود دارد. اینها ماتریس هستند. از مثال بالا می توان دریافت که عناصر موجود در آرایه های مستطیلی فقط اعداد نیستند. ماتریس می تواند شامل توابع ریاضی، نمادهای جبری باشد.

برای درک برخی مفاهیم، بیایید یک ماتریس A از عناصر a_ij بسازیم. ایندکس ها فقط حروف نیستند: i تعداد سطر در جدول است و j تعداد ستونی است که در ناحیه تقاطع آن عنصر قرار دارد.a_ij. بنابراین، می بینیم که ماتریسی از عناصر داریم مانند a₁₁، a₂₁، a₁₂، a ₂₂ و غیره حرف n تعداد ستون‌ها و حرف m نشان‌دهنده تعداد ردیف‌ها است. نماد m × n نشان دهنده بعد ماتریس است. این مفهومی است که تعداد ردیف‌ها و ستون‌ها را در یک آرایه مستطیلی از عناصر تعریف می‌کند.

در صورت تمایل، ماتریس باید چندین ستون و ردیف داشته باشد. با ابعاد 1×n آرایه عناصر تک ردیفی و با بعد m×1 آرایه تک ستونی است. هنگامی که تعداد سطرها و تعداد ستون ها برابر باشد، ماتریس مربع نامیده می شود. هر ماتریس مربع دارای یک تعیین کننده (دت A) است. این عبارت به عددی اشاره دارد که به ماتریس A اختصاص داده شده است.

چند مفهوم مهم دیگر که برای حل موفقیت آمیز ماتریس ها باید به خاطر بسپارید، قطرهای اصلی و فرعی هستند. مورب اصلی یک ماتریس، قطری است که از گوشه بالا سمت چپ به گوشه سمت راست جدول پایین می رود. مورب کناری از گوشه سمت چپ از پایین به گوشه سمت راست به بالا می رود.

نمایش ماتریس پلکانی

به تصویر زیر نگاه کنید. روی آن یک ماتریس و یک نمودار خواهید دید. بیایید ابتدا به ماتریس بپردازیم. در جبر خطی به این نوع ماتریس ماتریس پله ای می گویند. این یک ویژگی دارد: اگر a_ij اولین عنصر غیر صفر در ردیف i است، سپس همه عناصر دیگر از ماتریس زیر و سمت چپ a_ij ، تهی هستند (یعنی، همه آن عناصری که می توان به آنها نام حرف _kl داد، که در آن k>i وl<j).

حالا نمودار را در نظر بگیرید. شکل پلکانی ماتریس را منعکس می کند. این طرح 3 نوع سلول را نشان می دهد. هر نوع نشان دهنده عناصر خاصی است:

• سلول های خالی - عناصر صفر ماتریس؛
• سلول های سایه دار عناصر دلخواه هستند که می توانند هم صفر و هم غیرصفر باشند؛

مربع‌های سیاه

• عناصر غیر صفر هستند که به آنها عناصر گوشه‌ای، "گام‌ها" گفته می‌شود (در ماتریس نشان داده شده در کنار آنها، چنین عناصری اعداد -1، 5، 3، 8 هستند).

هنگام حل ماتریس، گاهی اوقات نتیجه این است که "طول" مرحله بزرگتر از 1 است. این مجاز است. فقط "ارتفاع" پله ها مهم است. در یک ماتریس گام، این پارامتر باید همیشه برابر با یک باشد.

کاهش ماتریس به فرم پله

هر ماتریس مستطیلی را می توان به شکل پله ای تبدیل کرد. این از طریق دگرگونی های ابتدایی انجام می شود. آنها عبارتند از:

• بازآرایی رشته ها;
• افزودن یک خط دیگر به یک خط، در صورت لزوم ضرب در مقداری (شما همچنین می توانید عملیات تفریق را انجام دهید).

بیایید تحولات ابتدایی را در حل یک مشکل خاص در نظر بگیریم. شکل زیر ماتریس A را نشان می دهد که باید به شکل پلکانی کاهش یابد.

برای حل مشکل، الگوریتم را دنبال می کنیم:

• انجام تبدیلات روی یک ماتریس با راحت استاولین عنصر در گوشه سمت چپ بالا (یعنی عنصر "پیشرو") 1 یا -1 است. در مورد ما، اولین عنصر در ردیف بالا 2 است، بنابراین بیایید ردیف اول و دوم را با هم عوض کنیم.
• بیایید عملیات تفریق را انجام دهیم که روی ردیف‌های 2، 3 و 4 تأثیر می‌گذارد. باید در ستون اول زیر عنصر «پیشرو» صفرها را دریافت کنیم. برای رسیدن به این نتیجه: از عناصر خط شماره 2، عناصر خط شماره 1 را به ترتیب در 2 کم می کنیم. از عناصر خط شماره 3 به ترتیب عناصر خط شماره 1 را در 4 کم می کنیم. از عناصر خط شماره 4 عناصر خط شماره 1 را به ترتیب کم می کنیم.
• بعد، با یک ماتریس کوتاه (بدون ستون 1 و بدون ردیف 1) کار خواهیم کرد. عنصر جدید "پیشرو" که در تقاطع ستون دوم و ردیف دوم ایستاده است برابر با -1 است. نیازی به تنظیم مجدد خطوط نیست، بنابراین ستون اول و ردیف اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. بیایید عملیات تفریق را انجام دهیم تا در ستون دوم زیر عنصر "پیشرو" صفر به دست آوریم: از عناصر خط سوم به ترتیب عناصر خط دوم را در 3 کم می کنیم. عناصر خط دوم ضرب در 2 را از عناصر خط چهارم کم کنید.
• باقی مانده است که خط آخر را تغییر دهیم. عناصر ردیف سوم را به ترتیب از عناصر آن کم می کنیم. بنابراین، ما یک ماتریس پلکانی دریافت کردیم.

کاهش ماتریس ها به شکل پله ای در حل سیستم های معادلات خطی (SLE) با روش گاوس استفاده می شود. قبل از بررسی این روش، اجازه دهید برخی از اصطلاحات مربوط به SLN را درک کنیم.

ماتریس ها و سیستم های معادلات خطی

ماتریس در علوم مختلف استفاده می شود. برای مثال، با استفاده از جداول اعداد، می توانید معادلات خطی ترکیب شده در یک سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید. ابتدا با چند اصطلاح و تعاریف آنها آشنا می شویم و همچنین می بینیم که چگونه از سیستمی که چندین معادله خطی را ترکیب می کند یک ماتریس تشکیل می شود.

SLU – چندین معادله جبری ترکیبی با مجهولات توان اول و بدون شرایط محصول.

راه حل

SLE - مقادیر یافت شده مجهولات که جایگزین آن معادلات در سیستم به هویت تبدیل می شوند.

SLE مشترک سیستمی از معادلات است که حداقل یک راه حل دارد.

SLE ناسازگار سیستمی از معادلات است که هیچ راه حلی ندارد.

چگونه یک ماتریس بر اساس سیستمی که معادلات خطی را ترکیب می کند تشکیل می شود؟ مفاهیمی به عنوان ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم وجود دارد. برای به دست آوردن ماتریس اصلی سیستم باید تمام ضرایب مجهولات را در جدول قرار داد. ماتریس گسترش یافته با اضافه کردن یک ستون از عبارت های آزاد به ماتریس اصلی به دست می آید (شامل عناصر شناخته شده ای است که هر معادله در سیستم با آنها برابر است). با مطالعه تصویر زیر می توانید کل این روند را درک کنید.

اولین چیزی که در تصویر می بینیم سیستمی است که شامل معادلات خطی است. عناصر آن: a_ij - ضرایب عددی، x_j - مقادیر مجهول، b_i - شرایط ثابت (که در آن i=1، 2، …، m، و j=1، 2، …، n). عنصر دوم در تصویر ماتریس اصلی ضرایب است. از هر معادله، ضرایب در یک ردیف نوشته می شود. در نتیجه به تعداد معادلات سیستم، ردیف در ماتریس وجود دارد. تعداد ستون ها برابر است با بیشترین تعداد ضرایب در هر معادله. عنصر سوم در تصویر یک ماتریس تقویت شده با ستونی از عبارت های آزاد است.

اطلاعات کلی در مورد روش گاوس

در جبر خطی، روش گاوس روش کلاسیک حل SLE است. این نام کارل فردریش گاوس، که در قرن 18-19 می زیسته است. این یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران است. ماهیت روش گاوس انجام تبدیل های ابتدایی بر روی یک سیستم معادلات جبری خطی است. با کمک تبدیل ها، SLE به یک سیستم معادل یک شکل مثلثی (پله ای) کاهش می یابد که همه متغیرها را می توان از آن یافت.

شایان ذکر است که کارل فردریش گاوس کاشف روش کلاسیک حل یک سیستم معادلات خطی نیست. این روش خیلی زودتر اختراع شد. اولین توصیف آن در دایره المعارف دانش ریاضیدانان چینی باستان به نام "ریاضیات در 9 کتاب" آمده است.

نمونه ای از حل SLE با روش گاوس

بیایید حل سیستم ها را با روش گاوس در یک مثال خاص در نظر بگیریم. ما با SLU نشان داده شده در تصویر کار خواهیم کرد.

الگوریتم حل:

1. سیستم را با حرکت مستقیم روش گاوس به یک فرم پله ای کاهش می دهیم، اما ابتداما یک ماتریس بسط یافته از ضرایب عددی و اعضای آزاد تشکیل خواهیم داد.
2. برای حل ماتریس با استفاده از روش گاوسی (یعنی آن را به شکل پلکانی برسانید)، از عناصر ردیف دوم و سوم، عناصر ردیف اول را به ترتیب کم می کنیم. در ستون اول زیر عنصر "پیشرو" صفر می گیریم. در مرحله بعد، خط دوم و سوم را در مکان هایی برای راحتی تغییر می دهیم. به عناصر ردیف آخر، عناصر ردیف دوم را به ترتیب در 3 ضرب کنید.
3. در نتیجه محاسبه ماتریس با روش گاوس، یک آرایه پلکانی از عناصر به دست آوردیم. بر اساس آن، سیستم جدیدی از معادلات خطی را تشکیل خواهیم داد. با روند معکوس روش گاوس، مقادیر عبارات مجهول را پیدا می کنیم. از آخرین معادله خطی می توان دریافت که x₃ برابر با 1 است. این مقدار را در خط دوم سیستم جایگزین می کنیم. معادله x₂ - 4=-4 را دریافت می کنید. بنابراین x₂ برابر با 0 است. x₂ و x₃ را در اولین معادله سیستم جایگزین کنید: x1 _{+ 0 +3=2. عبارت مجهول -1 است.}

جواب: با استفاده از ماتریس، روش گاوسی، مقادیر مجهولات را پیدا کردیم. x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

روش گاوس-اردن

در جبر خطی نیز چیزی به نام روش گاوس-جردن وجود دارد. این اصلاح روش گاوسی در نظر گرفته می شود و برای یافتن ماتریس معکوس، محاسبه اصطلاحات مجهول سیستم های مربعی معادلات خطی جبری استفاده می شود. روش گاوس-جردن از این نظر راحت است که حل SLE را در یک مرحله (بدون استفاده از مستقیم و معکوس می‌کند).حرکت می کند).

بیایید با اصطلاح "ماتریس معکوس" شروع کنیم. فرض کنید یک ماتریس A داریم. معکوس آن ماتریس A^-1 خواهد بود، در حالی که شرط لزوماً برآورده می شود: A × A^-1=A -1 ^{× A=E، یعنی حاصل ضرب این ماتریس ها برابر با ماتریس هویت است (عناصر مورب اصلی ماتریس هویت یک هستند و عناصر باقیمانده صفر هستند).}

نکته مهم: در جبر خطی قضیه ای در مورد وجود یک ماتریس معکوس وجود دارد. شرط کافی و ضروری برای وجود ماتریس A^-1 غیر مفرد بودن ماتریس A است.

مراحل اساسی که روش گاوس-جردن بر آن استوار است:

1. به سطر اول یک ماتریس خاص نگاه کنید. اگر مقدار اول برابر با صفر نباشد، روش گاوس-جردن را می توان شروع کرد. اگر مکان اول 0 است، سطرها را عوض کنید تا عنصر اول مقداری غیر صفر داشته باشد (مطلوب است که عدد به یک نزدیکتر باشد).
2. همه عناصر ردیف اول را بر عدد اول تقسیم کنید. در نهایت رشته ای خواهید داشت که با یک شروع می شود.
3. از خط دوم، خط اول ضرب در عنصر اول سطر دوم را کم کنید، یعنی در پایان خطی خواهید داشت که از صفر شروع می شود. همین کار را برای بقیه خطوط انجام دهید. هر خط را بر اولین عنصر غیرصفر آن تقسیم کنید تا به صورت مورب 1 بدست آورید.
4. در نتیجه، ماتریس مثلثی بالایی را با استفاده از روش گاوس - جردن دریافت خواهید کرد. در آن، مورب اصلی با واحدها نشان داده می شود. گوشه پایین با صفر پر شده است، وگوشه بالایی - مقادیر مختلف.
5. از خط ماقبل آخر، آخرین سطر ضرب در ضریب لازم را کم کنید. شما باید یک رشته با صفر و یک بگیرید. برای بقیه خطوط، همین عمل را تکرار کنید. پس از همه تبدیل ها، ماتریس هویت به دست می آید.

نمونه ای از یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش گاوس-جردن

برای محاسبه ماتریس معکوس، باید ماتریس تقویت شده A|E را بنویسید و تبدیل های لازم را انجام دهید. بیایید یک مثال ساده را در نظر بگیریم. شکل زیر ماتریس A را نشان می دهد.

راه حل:

1. ابتدا، بیایید تعیین کننده ماتریس را با استفاده از روش گاوسی (دت A) پیدا کنیم. اگر این پارامتر برابر با صفر نباشد، ماتریس غیرمنفرد در نظر گرفته می شود. این به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که A قطعاً A^-1 دارد. برای محاسبه دترمینان، ماتریس را با تبدیل های ابتدایی به شکل گام به گام تبدیل می کنیم. بیایید عدد K را برابر با تعداد جایگشت های ردیف بشماریم. ما فقط 1 بار خطوط را تغییر دادیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم. مقدار آن برابر است با حاصل ضرب عناصر مورب اصلی، ضرب در (–1)^K. نتیجه محاسبه: det A=2.
2. ماتریس تقویت شده را با اضافه کردن ماتریس هویت به ماتریس اصلی بنویسید. آرایه عناصر به دست آمده برای یافتن ماتریس معکوس با روش گاوس-جردن استفاده خواهد شد.
3. اولین عنصر در ردیف اول برابر با یک است. این برای ما مناسب است، زیرا نیازی به تنظیم مجدد خطوط و تقسیم خط داده شده بر تعدادی نیست. بیایید شروع به کار کنیمبا خط دوم و سوم برای تبدیل عنصر اول در ردیف دوم به 0، ردیف اول ضرب در 3 را از ردیف دوم کم کنید و ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید (بدون نیاز به ضرب).
4. در ماتریس حاصل، عنصر دوم ردیف دوم -4 و عنصر دوم ردیف سوم -1 است. بیایید برای راحتی خطوط را عوض کنیم. از ردیف سوم، ردیف دوم ضرب در 4 را کم کنید. ردیف دوم را بر 1- و ردیف سوم را بر 2 تقسیم کنید. ماتریس مثلثی بالایی را بدست می آوریم.
5. بگذارید خط آخر ضرب در 4 از خط دوم و آخرین سطر ضرب در 5 از خط اول کم کنیم سپس خط دوم ضرب در 2 را از خط اول کم کنیم. در سمت چپ به این نتیجه رسیدیم. ماتریس هویت در سمت راست ماتریس معکوس است.

نمونه ای از حل SLE با روش گاوس-جردن

شکل سیستمی از معادلات خطی را نشان می دهد. برای یافتن مقادیر متغیرهای ناشناخته با استفاده از یک ماتریس، روش گاوس-جردن، لازم است.

راه حل:

1. بیایید یک ماتریس تقویت شده ایجاد کنیم. برای این کار، ضرایب و شرایط آزاد را در جدول قرار می دهیم.
2. ماتریس را با استفاده از روش گاوس-جردن حل کنید. از خط شماره 2 خط شماره 1 را کم می کنیم. از خط شماره 3 خط شماره 1 را که قبلاً در 2 ضرب شده کم می کنیم.
3. ردیف 2 و 3 را تعویض کنید.
4. از خط 3، خط 2 را در 2 کم کنید. خط سوم حاصل را بر -1 تقسیم کنید.
5. خط 3 را از خط 2 کم کنید.
6. خط 1 را از خط 1 کم کنید2 بار -1. در کنار، ستونی متشکل از اعداد 0، 1 و -1 دریافت کردیم. از این نتیجه می‌گیریم که x₁=0، x₂=1 و x₃ =–1.

در صورت تمایل می توانید صحت راه حل را با جایگزینی مقادیر محاسبه شده در معادلات بررسی کنید:

• 0 – 1=–1، اولین هویت از سیستم صحیح است؛
• 0 + 1 + (–1)=0، هویت دوم از سیستم صحیح است؛
• 0 – 1 + (–1)=–2، هویت سوم از سیستم صحیح است.

نتیجه گیری: با استفاده از روش گاوس-جردن، ما راه حل درستی برای یک سیستم درجه دوم که معادلات جبری خطی را ترکیب می کند، پیدا کرده ایم.

ماشین حساب آنلاین

زندگی جوانان امروزی که در دانشگاه ها درس می خوانند و جبر خطی می خوانند بسیار ساده شده است. چند سال پیش، ما مجبور بودیم راه حل هایی برای سیستم ها با استفاده از روش گاوس و گاوس-جردن به تنهایی پیدا کنیم. برخی از دانش آموزان با موفقیت از عهده وظایف بر آمدند، در حالی که برخی دیگر در راه حل گیج شدند، اشتباه کردند، از همکلاسی ها کمک خواستند. امروزه هنگام انجام تکالیف می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. برای حل سیستم های معادلات خطی، جستجوی ماتریس های معکوس، برنامه هایی نوشته شده است که نه تنها پاسخ های صحیح را نشان می دهد، بلکه پیشرفت حل یک مسئله خاص را نیز نشان می دهد.

منابع زیادی در اینترنت با ماشین حساب آنلاین داخلی وجود دارد. ماتریس های گاوسی، سیستم های معادلات توسط این برنامه ها در چند ثانیه حل می شوند. دانش آموزان فقط باید پارامترهای مورد نیاز را مشخص کنند (به عنوان مثال، تعداد معادلات،تعداد متغیرها).