ماتریس یک شی خاص در ریاضیات است. به شکل جدولی مستطیلی یا مربعی که از تعداد مشخصی سطر و ستون تشکیل شده است به تصویر کشیده شده است. در ریاضیات، انواع مختلفی از ماتریس ها وجود دارد که از نظر اندازه یا محتوا متفاوت هستند. به اعداد سطرها و ستون های آن دستور می گویند. این اشیاء در ریاضیات برای سازماندهی نوشتن سیستم های معادلات خطی و جستجوی راحت برای نتایج آنها استفاده می شود. معادلات با استفاده از یک ماتریس با استفاده از روش کارل گاوس، گابریل کرامر، جمع های جزئی و جبری و بسیاری راه های دیگر حل می شوند. مهارت اساسی هنگام کار با ماتریس ها این است که آنها را به یک فرم استاندارد برسانید. با این حال، ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع ماتریس هایی توسط ریاضیدانان متمایز می شوند.
نوع تهی
همه اجزای این نوع ماتریس صفر هستند. در ضمن تعداد سطرها و ستون های آن کاملاً متفاوت است.
نوع مربع
تعداد ستون‌ها و ردیف‌های این نوع ماتریس یکسان است. به عبارت دیگر، این یک جدول "مربع" است. تعداد ستون‌ها (یا ردیف‌های) آن را ترتیب می‌گویند. موارد خاص وجود ماتریس مرتبه دوم (ماتریس 2x2)، مرتبه چهارم (4x4)، دهم (10x10)، هفدهم (17x17) و غیره است.
بردار ستون
این یکی از ساده‌ترین انواع ماتریس‌ها است که فقط شامل یک ستون است که شامل سه مقدار عددی است. این مجموعه ای از عبارت های آزاد (اعداد مستقل از متغیرها) را در سیستم های معادلات خطی نشان می دهد.
بردار ردیف
نمایش مشابه مورد قبلی. از سه عنصر عددی تشکیل شده است که به نوبه خود در یک خط سازماندهی شده اند.
نوع مورب
فقط اجزای مورب اصلی (که با رنگ سبز مشخص شده اند) مقادیر عددی را به شکل مورب ماتریس می گیرند. مورب اصلی به ترتیب با عنصر در گوشه سمت چپ بالا شروع می شود و به ترتیب با عنصر در سمت راست پایین پایان می یابد. بقیه اجزا صفر هستند. نوع مورب فقط یک ماتریس مربع با مرتبه ای است. در بین ماتریس های شکل مورب، می توان یک عدد اسکالر را مشخص کرد. همه اجزای آن مقادیر یکسانی دارند.
ماتریس هویت
یک زیرگونه از ماتریس مورب. تمام مقادیر عددی آن واحد هستند. با استفاده از یک نوع جداول ماتریسی، تبدیلات اساسی آن را انجام دهید یا یک ماتریس معکوس با ماتریس اصلی پیدا کنید.
نوع متعارف
شکل متعارف یک ماتریس یکی از اصلی ترین آنها در نظر گرفته می شود. ریخته گری به آن اغلب برای کار مورد نیاز است. تعداد سطرها و ستون ها در ماتریس متعارف متفاوت است، لزوماً به نوع مربع تعلق ندارد. این تا حدودی شبیه به ماتریس هویت است، با این حال، در مورد آن، همه اجزای مورب اصلی مقداری برابر با یک نمی گیرند. می تواند دو یا چهار واحد مورب اصلی وجود داشته باشد (همه به طول و عرض ماتریس بستگی دارد). یا ممکن است اصلا واحدی وجود نداشته باشد (پس صفر در نظر گرفته می شود). اجزای باقیمانده از نوع متعارف و همچنین عناصر مورب و هویت برابر با صفر هستند.
نوع مثلث
یکی از مهمترین انواع ماتریس است که هنگام جستجوی تعیین کننده آن و هنگام انجام عملیات ساده استفاده می شود. نوع مثلثی از نوع مورب می آید، بنابراین ماتریس نیز مربع است. نمای مثلثی ماتریس به سه گوش بالا و مثلث پایین تقسیم می شود.
در ماتریس مثلثی بالایی (شکل 1)، فقط عناصری که بالای مورب اصلی هستند مقداری برابر با صفر می گیرند. اجزای خود مورب و بخشی از ماتریس زیر آن حاوی مقادیر عددی هستند.
در ماتریس مثلثی پایینی (شکل 2)، برعکس، عناصر واقع در قسمت پایینی ماتریس برابر با صفر هستند.
ماتریس گام
نما برای یافتن رتبه یک ماتریس و همچنین برای عملیات ابتدایی روی آنها (همراه با نوع مثلثی) ضروری است. ماتریس گام به این دلیل نامگذاری شده است که حاوی "مراحل" مشخصه صفر است (همانطور که در شکل نشان داده شده است). در نوع پلکانی، یک مورب از صفرها تشکیل می شود (الزاماً اصلی نیست) و همه عناصر زیر این مورب نیز مقادیری برابر با صفر دارند. یک پیش نیاز این است: اگر یک ردیف صفر در ماتریس گام وجود داشته باشد، بقیه ردیف‌های زیر آن نیز حاوی مقادیر عددی نیستند.
بنابراین، ما مهم ترین انواع ماتریس های مورد نیاز برای کار با آنها را در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به وظیفه تبدیل یک ماتریس به فرم مورد نیاز بپردازیم.
کاهش به شکل مثلثی
چگونه ماتریس را به شکل مثلثی برسانیم؟ اغلب، در تکالیف، شما باید یک ماتریس را به شکل مثلثی تبدیل کنید تا تعیین کننده آن را پیدا کنید، که در غیر این صورت، تعیین کننده نامیده می شود. هنگام انجام این روش، "حفظ" مورب اصلی ماتریس بسیار مهم است، زیرا تعیین کننده یک ماتریس مثلثی دقیقاً حاصل ضرب اجزای مورب اصلی آن است. اجازه دهید روش های جایگزین برای یافتن تعیین کننده را نیز به شما یادآوری کنم. تعیین کننده نوع مربع با استفاده از فرمول های خاص یافت می شود. برای مثال می توانید از روش مثلث استفاده کنید. برای سایر ماتریس ها از روش تجزیه به وسیله سطر، ستون یا عناصر آنها استفاده می شود. شما همچنین می توانید از روش مینورها و متمم های جبری ماتریس استفاده کنید.
جزئیاتبیایید فرآیند آوردن یک ماتریس به شکل مثلثی را با استفاده از مثال هایی از برخی کارها تجزیه و تحلیل کنیم.
وظیفه 1
لازم است تعیین کننده ماتریس ارائه شده را با استفاده از روش آوردن آن به شکل مثلثی پیدا کنید.
ماتریسی که به ما داده شده یک ماتریس مربع از مرتبه سوم است. بنابراین، برای تبدیل آن به شکل مثلثی، باید دو جزء از ستون اول و یک جزء از ستون دوم را باطل کنیم.
برای اینکه به شکل مثلثی در بیاید، تبدیل را از گوشه سمت چپ پایین ماتریس - از عدد 6 شروع کنید. برای صفر کردن آن، ردیف اول را در سه ضرب کنید و از ردیف آخر کم کنید.
مهم! خط بالایی تغییر نمی کند، اما مانند ماتریس اصلی باقی می ماند. لازم نیست یک رشته را چهار برابر رشته اصلی بنویسید. اما مقادیر رشته هایی که اجزای آنها باید باطل شوند دائماً در حال تغییر هستند.
بعد، بیایید به مقدار بعدی بپردازیم - عنصر ردیف دوم ستون اول، شماره 8. سطر اول را در چهار ضرب کرده و از ردیف دوم کم کنید. صفر می گیریم.
فقط آخرین مقدار باقی می ماند - عنصر ردیف سوم ستون دوم. این عدد (-1) است. برای تبدیل آن به صفر، خط دوم را از خط اول کم کنید.
بررسی کنیم:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
بنابراین پاسخ تکلیف -22 است.
وظیفه ۲
باید تعیین کننده ماتریس را با آوردن آن به شکل مثلثی پیدا کنیم.
ماتریس ارائه شدهمتعلق به نوع مربع و ماتریسی از مرتبه چهارم است. این بدان معناست که سه جزء ستون اول، دو جزء ستون دوم و یک جزء ستون سوم باید صفر شوند.
بیایید کاهش آن را از عنصر واقع در گوشه پایین سمت چپ - از عدد 4 شروع کنیم. باید این عدد را به صفر تبدیل کنیم. ساده ترین راه برای انجام این کار این است که ردیف بالا را در چهار ضرب کنید و سپس آن را از ردیف چهارم کم کنید. بیایید نتیجه مرحله اول تبدیل را بنویسیم.
بنابراین، جزء خط چهارم روی صفر تنظیم می شود. بیایید به اولین عنصر خط سوم یعنی عدد 3 برویم. عملیات مشابهی را انجام می دهیم. سطر اول را در سه ضرب کنید و از خط سوم کم کنید و نتیجه را بنویسید.
بعد، عدد 2 را در خط دوم می بینیم. عمل را تکرار می کنیم: ردیف بالا را در دو ضرب کرده و از ردیف دوم کم می کنیم.
ما موفق شدیم تمام اجزای ستون اول این ماتریس مربع را صفر کنیم، به جز عدد 1، عنصر مورب اصلی که نیاز به تبدیل ندارد. اکنون مهم است که صفرهای حاصل را حفظ کنیم، بنابراین تبدیل‌ها را با ردیف‌ها انجام می‌دهیم، نه ستون‌ها. بیایید به ستون دوم ماتریس ارائه شده برویم.
بیایید دوباره از پایین شروع کنیم - از عنصر ستون دوم ردیف آخر. این عدد (-7) است. با این حال، در این مورد راحت تر است که با عدد (-1) شروع کنید - عنصر ستون دوم ردیف سوم. برای تبدیل آن به صفر، ردیف دوم را از ردیف سوم کم کنید. سپس ردیف دوم را در هفت ضرب کرده و از ردیف چهارم کم می کنیم. به جای عنصری که در ردیف چهارم ستون دوم قرار دارد، صفر دریافت کردیم. حالا بریم سراغ سومستون.
در این ستون، باید فقط یک عدد - 4 را به صفر برسانیم. انجام این کار آسان است: فقط خط سوم را به آخرین خط اضافه کنید و صفر مورد نیاز خود را ببینید.
پس از همه تبدیل‌ها، ماتریس پیشنهادی را به شکل مثلثی درآوردیم. اکنون، برای یافتن تعیین کننده آن، فقط باید عناصر حاصل از مورب اصلی را ضرب کنید. دریافت می کنیم: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. بنابراین، راه حل عدد 160 است.
بنابراین، اکنون مسئله آوردن ماتریس به شکل مثلثی کار را برای شما دشوار نمی کند.
کاهش به شکل پلکانی
در عملیات ابتدایی روی ماتریس ها، شکل پله ای کمتر از شکل مثلثی "تقاضا" دارد. معمولاً برای یافتن رتبه یک ماتریس (یعنی تعداد ردیف های غیر صفر آن) یا برای تعیین ردیف های وابسته و مستقل خطی استفاده می شود. با این حال، نمای ماتریس پلکانی همه کاره تر است، زیرا نه تنها برای نوع مربعی، بلکه برای همه موارد دیگر مناسب است.
برای کاهش یک ماتریس به شکل پلکانی، ابتدا باید تعیین کننده آن را پیدا کنید. برای این، روش های فوق مناسب هستند. هدف از یافتن تعیین کننده این است که بفهمیم آیا می توان آن را به یک ماتریس گام تبدیل کرد یا خیر. اگر تعیین کننده بزرگتر یا کمتر از صفر باشد، می توانید با خیال راحت به کار ادامه دهید. اگر برابر با صفر باشد، کاهش ماتریس به شکل پلکانی کار نخواهد کرد. در این مورد، باید بررسی کنید که آیا در رکورد یا تبدیلات ماتریس خطایی وجود دارد یا خیر. اگر چنین نادرستی وجود نداشته باشد، کار قابل حل نیست.
بیایید ببینیم چگونهبا استفاده از مثال‌هایی از چندین کار، ماتریس را به شکل پلکانی بیاورید.
وظیفه 1. رتبه جدول ماتریس داده شده را پیدا کنید.
قبل از ما یک ماتریس مربع از مرتبه سوم (3x3) است. می دانیم که برای یافتن رتبه باید آن را به صورت پلکانی تقلیل داد. بنابراین، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس را پیدا کنیم. با استفاده از روش مثلث: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. بزرگتر از صفر است، به این معنی که ماتریس را می توان به شکل پلکانی کاهش داد. بیایید تحولات آن را شروع کنیم.
بیایید آن را با عنصر ستون سمت چپ ردیف سوم - عدد 2 - شروع کنیم. سطر بالا را در دو ضرب کرده و از ردیف سوم کم کنید. به لطف این عملیات، هم عنصر مورد نیاز ما و هم عدد 4 - عنصر ستون دوم ردیف سوم - به صفر تبدیل شد.
بعد، عنصر ردیف دوم ستون اول - عدد 3 - را صفر کنید. برای این کار، ردیف بالا را در سه ضرب کرده و از ردیف دوم کم کنید.
می بینیم که کاهش منجر به یک ماتریس مثلثی شد. در مورد ما، تبدیل را نمی توان ادامه داد، زیرا اجزای باقی مانده را نمی توان به صفر تبدیل کرد.
بنابراین، نتیجه می گیریم که تعداد ردیف های حاوی مقادیر عددی در این ماتریس (یا رتبه آن) 3 است. پاسخ کار: 3.
کار 2. تعداد سطرهای مستقل خطی این ماتریس را تعیین کنید.
ما باید رشته هایی را پیدا کنیم که با هیچ تبدیلی قابل برگشت نباشندبه صفر در واقع باید تعداد ردیف های غیر صفر یا رتبه ماتریس نمایش داده شده را پیدا کنیم. برای انجام این کار، بیایید آن را ساده کنیم.
ماتریسی می بینیم که به نوع مربع تعلق ندارد. دارای ابعاد 34 همچنین بیایید بازیگران را از عنصر گوشه سمت چپ پایین - عدد (-1) شروع کنیم.
خط اول را به خط سوم اضافه کنید. سپس دومی را از آن کم کنید تا عدد 5 به صفر تبدیل شود.
تحولات بیشتر غیرممکن است. بنابراین، نتیجه می گیریم که تعداد خطوط مستقل خطی در آن و پاسخ تکلیف 3 است.
اکنون آوردن ماتریس به شکل پلکانی برای شما کار غیرممکنی نیست.
در نمونه‌هایی از این وظایف، کاهش یک ماتریس را به شکل مثلثی و یک فرم پله‌ای تحلیل کردیم. برای باطل کردن مقادیر مورد نظر جداول ماتریسی، در برخی موارد لازم است که تخیل نشان داده شود و ستون ها یا ردیف های آنها به درستی تبدیل شوند. در ریاضیات و کار با ماتریس ها موفق باشید!
