چگونه حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنیم. ضرب ماتریس حاصل ضرب اسکالر ماتریس ها محصول سه ماتریس

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

ماتریس ها (جدول با عناصر عددی) می توانند برای محاسبات مختلف استفاده شوند. برخی از آنها ضرب در یک عدد، یک بردار، یک ماتریس دیگر، چند ماتریس هستند. محصول گاهی اوقات نادرست است. نتیجه نادرست نتیجه ناآگاهی از قوانین انجام اقدامات محاسباتی است. بیایید نحوه ضرب را دریابیم.

ماتریس و عدد

بیایید با ساده ترین چیز شروع کنیم - ضرب جدول با اعداد در یک مقدار خاص. به عنوان مثال، ما یک ماتریس A با عناصر a_ij داریم (i اعداد ردیف و j اعداد ستون هستند) و عدد e. حاصل ضرب ماتریس با عدد e، ماتریس B با عناصر b_ij خواهد بود که با فرمول:

پیدا می شود.

b_ij=e × a_ij.

T. e. برای به دست آوردن عنصر b₁₁ باید عنصر a₁₁ را بگیرید و آن را در عدد مورد نظر ضرب کنید تا b_{12 به دست آید.} لازم است حاصل ضرب عنصر a₁₂ و عدد e و غیره را پیدا کنید.

بیایید مشکل شماره 1 ارائه شده در تصویر را حل کنیم. برای بدست آوردن ماتریس B کافیست عناصر A را در 3 ضرب کنید:

1. a₁₁ × 3=18. این مقدار را در ماتریس B در محلی که ستون شماره 1 و ردیف شماره 1 تلاقی می کنند، می نویسیم.
2. a₂₁ × 3=15. عنصر b₂₁ را دریافت کردیم.
3. a₁₂ × 3=-6. عنصر b₁₂ را دریافت کردیم. ما آن را در ماتریس B در محل تلاقی ستون 2 و ردیف 1 می نویسیم.
4. a₂₂ × 3=9. این نتیجه عنصر b₂₂ است.
5. a₁₃ × 3=12. این عدد را به جای عنصر b₁₃ وارد کنید.
6. a₂₃ × 3=-3. آخرین عدد دریافتی عنصر b₂₃ است.

بنابراین، یک آرایه مستطیلی با عناصر عددی به دست آوردیم.

18	–6	12
15	9	–3

بردارها و شرط وجود حاصلضرب ماتریس

در رشته های ریاضی چیزی به نام "بردار" وجود دارد. این اصطلاح به مجموعه‌ای از مقادیر مرتب شده از a₁ تا اشاره دارد. آنها مختصات فضای برداری نامیده می شوند و به صورت ستونی نوشته می شوند. همچنین عبارت "بردار انتقال یافته" وجود دارد. اجزای آن به صورت رشته ای مرتب شده اند.

بردارها را می توان ماتریس نامید:

• بردار ستونی ماتریسی است که از یک ستون ساخته شده است؛

بردار

• ردیف ماتریسی است که فقط یک سطر را شامل می شود.

وقتی تمام شددر ماتریس های عملیات ضرب، مهم است که به یاد داشته باشید که یک شرط برای وجود یک محصول وجود دارد. عمل محاسباتی A × B فقط زمانی انجام می شود که تعداد ستون های جدول A برابر با تعداد ردیف های جدول B باشد. ماتریس حاصل از محاسبه همیشه دارای تعداد ردیف های جدول A و تعداد ستون ها است. در جدول B.

هنگام ضرب، مرتب کردن مجدد ماتریس ها (ضریب ها) توصیه نمی شود. حاصلضرب آنها معمولاً با قانون جابجایی (تغییر) ضرب مطابقت ندارد، یعنی نتیجه عمل A × B با نتیجه عمل B × A برابر نیست. به این ویژگی غیرقابل تعویض حاصل ضرب می گویند. ماتریس ها در برخی موارد، حاصل ضرب A × B برابر است با حاصل ضرب B × A، یعنی حاصلضرب جابجایی است. ماتریس هایی که برابری A × B=B × A برای آنها برقرار است، ماتریس جایگشت نامیده می شوند. نمونه هایی از این جداول را در زیر ببینید.

ضرب در بردار ستون

هنگامی که یک ماتریس را در بردار ستون ضرب می کنیم، باید شرط وجود محصول را در نظر بگیریم. تعداد ستون های (n) در جدول باید با تعداد مختصاتی که بردار را تشکیل می دهند مطابقت داشته باشد. نتیجه محاسبه بردار تبدیل شده است. تعداد مختصات آن برابر است با تعداد خطوط (m) جدول.

اگر ماتریس A و بردار x وجود داشته باشد مختصات بردار y چگونه محاسبه می شود؟ برای محاسبات فرمول های ایجاد شده:

y₁=a₁₁x₁ + a_{۱۲ x}2 _{+ … + a}1 _{x ،}

y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_{x ،}

………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m۲ x}2 _{+ … + a}mn_{x ،}

که در آن x₁، …، x مختصاتی از بردار x هستند، m تعداد ردیف‌های ماتریس و عدد است. از مختصات در بردار y جدید، n تعداد ستون‌های ماتریس و تعداد مختصات بردار x است، a₁₁، a_{12 ، …، a}mn- عناصر ماتریس A.

بنابراین، برای به دست آوردن مولفه i بردار جدید، حاصل ضرب اسکالر انجام می شود. بردار ردیف i از ماتریس A گرفته شده و در بردار موجود x ضرب می شود.

بیایید مسئله 2 را حل کنیم. می توانید حاصل ضرب یک ماتریس و یک بردار را پیدا کنید زیرا A 3 ستون دارد و x از 3 مختصات تشکیل شده است. در نتیجه باید بردار ستونی با 4 مختصات بدست آوریم. بیایید از فرمول های بالا استفاده کنیم:

1. Y₁ را محاسبه کنید. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). مقدار نهایی 2 است.
2. Y₂ را محاسبه کنید. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (4-). هنگام محاسبه، 0.

دریافت می کنیم

3. Y₃ را محاسبه کنید. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (4-). مجموع محصولات عوامل نشان داده شده 6 است.
4. Y₄ را محاسبه کنید. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). مختصات 8- است.

ضرب بردار-ماتریس ردیف

شما نمی توانید یک ماتریس با چندین ستون را در یک بردار ردیف ضرب کنید. در چنین مواردی شرط وجود اثر برآورده نمی شود. اما ضرب یک بردار ردیف در یک ماتریس ممکن است. اینعملیات محاسباتی زمانی انجام می شود که تعداد مختصات در بردار و تعداد ردیف های جدول مطابقت داشته باشند. حاصل حاصل ضرب یک بردار و یک ماتریس یک بردار ردیف جدید است. تعداد مختصات آن باید با تعداد ستون‌های ماتریس برابر باشد.

محاسبه اولین مختصات یک بردار جدید شامل ضرب بردار ردیف و بردار ستون اول از جدول است. مختصات دوم نیز به روش مشابه محاسبه می شود، اما به جای بردار ستون اول، بردار ستون دوم گرفته می شود. فرمول کلی برای محاسبه مختصات در اینجا آمده است:

y_k=a_1kx_۱+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m،

که در آن y_k مختصاتی از بردار y است، (k بین 1 و n است)، m تعداد ردیف‌های ماتریس و تعداد مختصات است. در بردار x، n تعداد ستون‌های ماتریس و تعداد مختصات در بردار y است، a با شاخص‌های الفبای عددی عناصر ماتریس A هستند.

محصول ماتریس های مستطیلی

این محاسبه ممکن است پیچیده به نظر برسد. با این حال، ضرب به راحتی انجام می شود. بیایید با یک تعریف شروع کنیم. حاصل ضرب یک ماتریس A با m ردیف و n ستون و یک ماتریس B با n ردیف و p ستون، ماتریس C با m ردیف و ستون p است که در آن عنصر c_ij برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف i-ام جدول A و ستون j-ام از جدول B. به عبارت ساده تر، عنصر c_ij حاصل ضرب اسکالر ردیف i است. بردار از جدول A و بردار ستون j از جدول B.

حالا بیایید در عمل نحوه یافتن حاصل ضرب ماتریس های مستطیلی را دریابیم. بیایید مشکل شماره 3 را برای این حل کنیم شرط وجود یک محصول برآورده می شود. بیایید شروع به محاسبه عناصر c_ij:

1. ماتریس C دارای ۲ ردیف و ۳ ستون خواهد بود.
2. محاسبه عنصر c₁₁. برای این کار، حاصل ضرب اسکالر ردیف شماره 1 را از ماتریس A و ستون شماره 1 را از ماتریس B انجام می دهیم. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. سپس به روشی مشابه ادامه می دهیم و فقط سطرها و ستون ها را تغییر می دهیم (بسته به شاخص عنصر).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

عناصر محاسبه می شوند. اکنون فقط ایجاد یک بلوک مستطیلی از اعداد دریافتی باقی مانده است.

16	12	9
31	18	36

ضرب سه ماتریس: بخش نظری

آیا می توانید حاصل ضرب سه ماتریس را پیدا کنید؟ این عملیات محاسباتی امکان پذیر است. نتیجه را می توان از چند طریق به دست آورد. به عنوان مثال، 3 جدول مربعی (با همان ترتیب) وجود دارد - A، B و C. برای محاسبه محصول، می توانید:

1. ابتدا A و B را ضرب کنید. سپس نتیجه را در C ضرب کنید.
2. ابتدا حاصل ضرب B و C را پیدا کنید. سپس ماتریس A را در نتیجه ضرب کنید.

اگر نیاز به ضرب ماتریس های مستطیلی دارید، ابتدا باید مطمئن شوید که این عملیات محاسباتی امکان پذیر است. بایدمحصولات A × B و B × C وجود دارند.

ضرب افزایشی اشتباه نیست. چیزی به نام "تداعی ضرب ماتریس" وجود دارد. این عبارت به برابری (A × B) × C=A × (B × C) اشاره دارد.

تمرین ضرب سه ماتریس

ماتریس های مربع

با ضرب ماتریس های مربع کوچک شروع کنید. شکل زیر مشکل شماره 4 را نشان می دهد که باید آن را حل کنیم.

ما از ویژگی associativity استفاده خواهیم کرد. ابتدا A و B یا B و C را ضرب می کنیم. فقط یک چیز را به خاطر می آوریم: شما نمی توانید عوامل را با هم عوض کنید، یعنی نمی توانید B × A یا C × B را ضرب کنید. با این ضرب، یک عدد به دست می آید. نتیجه اشتباه.

پیشرفت تصمیم.

مرحله اول. برای یافتن حاصلضرب مشترک، ابتدا A را در B ضرب می کنیم. هنگام ضرب دو ماتریس، قوانینی را که در بالا ذکر شد راهنمایی می کنیم. بنابراین، حاصل ضرب A و B یک ماتریس D با 2 سطر و 2 ستون خواهد بود، یعنی یک آرایه مستطیلی شامل 4 عنصر خواهد بود. بیایید آنها را با انجام محاسبه پیدا کنیم:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

نتیجه متوسط آماده است.

30	10
15	16

مرحله دوم. حالا بیایید ماتریس D را در ماتریس C ضرب کنیم. نتیجه باید یک ماتریس مربعی G با 2 سطر و 2 ستون باشد. محاسبه عناصر:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

بنابراین، حاصل حاصل ضرب ماتریس های مربع، جدول G با عناصر محاسبه شده است.

250	180
136	123

ماتریس های مستطیلی

شکل زیر مسئله شماره 5 را نشان می دهد. برای ضرب ماتریس های مستطیلی و یافتن یک راه حل لازم است.

بیایید بررسی کنیم که آیا شرط وجود محصولات A × B و B × C برآورده شده است یا خیر. بیایید حل مشکل را شروع کنیم.

پیشرفت تصمیم.

مرحله اول. B را در C ضرب کنید تا D به دست آید. ماتریس B دارای 3 سطر و 4 ستون و ماتریس C دارای 4 سطر و 2 ستون است. این به این معنی است که ما یک ماتریس D با 3 سطر و 2 ستون دریافت خواهیم کرد. بیایید عناصر را محاسبه کنیم. در اینجا 2 مثال محاسبه وجود دارد:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

ما همچنان به حل مشکل ادامه می دهیم. در نتیجه محاسبات بیشتر، مقادیر d₂₁، d₂ را پیدا می کنیم 2 ، d₃₁ و d₃₂. این عناصر به ترتیب 0، 19، 1 و 11 هستند. بیایید مقادیر پیدا شده را در یک آرایه مستطیلی بنویسیم.

0	7
0	19
1	11

مرحله دوم. A را در D ضرب کنید تا ماتریس نهایی F را بدست آورید. 2 سطر و 2 ستون خواهد داشت. محاسبه عناصر:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

یک آرایه مستطیلی بسازید که نتیجه نهایی ضرب سه ماتریس است.

1	139
3	52

معرفی کار مستقیم

درک مطالب بسیار دشوار است حاصل ماتریس های کرونکر است. همچنین یک نام اضافی دارد - یک اثر مستقیم. منظور از این اصطلاح چیست؟ فرض کنید جدول A به ترتیب m × n و جدول B به ترتیب p × q داریم. حاصلضرب مستقیم ماتریس A و ماتریس B ماتریسی از مرتبه mp × nq است.

2 ماتریس مربع A، B داریم که در تصویر نشان داده شده است. اولی 2 ستون و 2 سطر دارد و دومی 3 ستون و 3 سطر دارد. می بینیم که ماتریس حاصل از حاصل ضرب مستقیم از 6 ردیف و دقیقاً به همان تعداد ستون تشکیل شده است.

عناصر یک ماتریس جدید در یک محصول مستقیم چگونه محاسبه می شوند؟ اگر تصویر را تجزیه و تحلیل کنید، یافتن پاسخ این سوال بسیار آسان است. ابتدا خط اول را پر کنید. اولین عنصر را از ردیف بالای جدول A بگیرید و به ترتیب در عناصر ردیف اول ضرب کنید.از جدول B. سپس عنصر دوم ردیف اول جدول A را بردارید و به ترتیب در عناصر ردیف اول جدول B ضرب کنید. برای پر کردن ردیف دوم، دوباره عنصر اول را از ردیف اول جدول A بردارید و آن را در عناصر ردیف دوم جدول B ضرب کنید.

ماتریس نهایی به دست آمده از محصول مستقیم، ماتریس بلوکی نامیده می شود. اگر دوباره شکل را تجزیه و تحلیل کنیم، می بینیم که نتیجه ما از 4 بلوک تشکیل شده است. همه آنها شامل عناصر ماتریس B هستند. علاوه بر این، یک عنصر از هر بلوک در یک عنصر خاص از ماتریس A ضرب می شود. در بلوک اول، همه عناصر در a₁₁ ضرب می شوند. دوم - با _{12 ، در سوم - در} 21_{، در چهارم - در} 22.

تعیین کننده محصول

هنگام در نظر گرفتن مبحث ضرب ماتریس، ارزش در نظر گرفتن اصطلاحی به عنوان "تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها" را دارد. تعیین کننده چیست؟ این یک ویژگی مهم یک ماتریس مربع است، مقدار مشخصی که به این ماتریس اختصاص داده می شود. تعیین تحت اللفظی دترمینان det است.

برای ماتریس A متشکل از دو ستون و دو ردیف، تعیین کننده به راحتی پیدا می شود. یک فرمول کوچک وجود دارد که تفاوت بین محصولات عناصر خاص است:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

بیایید مثالی از محاسبه دترمینان برای جدول مرتبه دوم در نظر بگیریم. یک ماتریس A وجود دارد که در آن a₁₁=2، a₁₂=3، a₂₁=5 و a22_{=1. برای محاسبه تعیین کننده، از فرمول استفاده کنید:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 - 15=-13.

برای ماتریس های 3×3، دترمینانت با استفاده از فرمول پیچیده تری محاسبه می شود. در زیر برای ماتریس A ارائه شده است:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁ a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁ a₃₃.

برای یادآوری فرمول، به قانون مثلث رسیدیم که در تصویر نشان داده شده است. ابتدا عناصر مورب اصلی ضرب می شوند. محصولات آن عناصری که با زوایای مثلث هایی با اضلاع قرمز مشخص می شوند به مقدار بدست آمده اضافه می شوند. در مرحله بعد، حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه کم می شود و حاصلضرب آن عناصری که با گوشه های مثلث هایی با اضلاع آبی نشان داده شده اند کم می شود.

حالا بیایید در مورد تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها صحبت کنیم. یک قضیه وجود دارد که می گوید این شاخص برابر است با حاصلضرب تعیین کننده های جداول ضرب. بیایید این را با یک مثال تأیید کنیم. ما ماتریس A با ورودی های ₁₁=2، a₁₂=3، a₂₁=1 و aداریم. 22_{=1 و ماتریس B با ورودی‌های b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 و b}22_{=2. تعیین کننده های ماتریس های A و B، حاصلضرب A × B و تعیین کننده این محصول را بیابید.}

پیشرفت تصمیم.

مرحله اول. تعیین کننده A را محاسبه کنید: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. سپس، تعیین کننده B را محاسبه کنید: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

مرحله دوم. بیایید پیدا کنیممحصول A × B. ماتریس جدید را با حرف C مشخص کنید. عناصر آن را محاسبه کنید:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

مرحله سوم. تعیین کننده را برای C محاسبه کنید: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. با مقداری که با ضرب عوامل تعیین کننده ماتریس های اصلی بدست می آید مقایسه کنید. اعداد یکسان است. قضیه فوق درست است.

رتبه محصول

رتبه یک ماتریس مشخصه ای است که حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی را منعکس می کند. برای محاسبه رتبه، تبدیل های اولیه ماتریس انجام می شود:

• بازآرایی دو ردیف موازی؛
• ضرب تمام عناصر یک ردیف خاص از جدول در یک عدد غیر صفر؛
• افزودن به عناصر یک ردیف از عناصر از ردیف دیگر، ضرب در یک عدد خاص.

بعد از تبدیل‌های ابتدایی، به تعداد رشته‌های غیرصفر نگاه کنید. تعداد آنها رتبه ماتریس است. مثال قبلی را در نظر بگیرید. 2 ماتریس ارائه کرد: A با عناصر a₁₁=2، a₁₂=3، a₂₁=1 و a₂₂ =1 و B با عناصر b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 و b}22_{=2. همچنین از ماتریس C به دست آمده در نتیجه ضرب استفاده خواهیم کرد. اگر تبدیل های ابتدایی را انجام دهیم، در ماتریس های ساده شده هیچ ردیف صفر وجود نخواهد داشت. یعنی هم رتبه جدول A و هم رتبه جدول B و هم رتبهجدول C 2 است.}

حالا به رتبه حاصلضرب ماتریس ها توجه ویژه ای می کنیم. قضیه ای وجود دارد که می گوید رتبه حاصلضرب جداول حاوی عناصر عددی از رتبه هیچ یک از عوامل تجاوز نمی کند. این را می توان ثابت کرد. فرض کنید A یک ماتریس k×s و B یک ماتریس s×m باشد. حاصل ضرب A و B برابر است با C.

بیایید تصویر بالا را مطالعه کنیم. ستون اول ماتریس C و نماد ساده شده آن را نشان می دهد. این ستون ترکیبی خطی از ستون های موجود در ماتریس A است. به طور مشابه، می توان در مورد هر ستون دیگری از آرایه مستطیلی C گفت. بنابراین، فضای فرعی تشکیل شده توسط بردارهای ستون جدول C در فضای فرعی تشکیل شده توسط بردارهای ستون جدول A. بنابراین، بعد زیرفضای شماره 1 از بعد زیرفضای شماره 2 تجاوز نمی کند. یعنی r(C) ≦ r(A). اگر به روشی مشابه استدلال کنیم، می‌توانیم مطمئن شویم که ردیف‌های ماتریس C ترکیبی خطی از ردیف‌های ماتریس B هستند. این به نابرابری r(C) ≦ r(B) دلالت دارد.

نحوه یافتن حاصل ضرب ماتریس ها موضوعی نسبتاً پیچیده است. می توان به راحتی بر آن مسلط شد، اما برای رسیدن به چنین نتیجه ای، باید زمان زیادی را صرف حفظ تمام قواعد و قضایای موجود کنید.