پارادوکس برتراند مشکلی در تفسیر کلاسیک نظریه احتمال است. جوزف آن را در کار خود Calcul des probabilités (1889) به عنوان مثالی معرفی کرد که اگر مکانیزم یا روشی یک متغیر تصادفی تولید کند، احتمالات را نمی توان به خوبی تعریف کرد.
بیانیه مشکل
پارادوکس برتراند به شرح زیر است.
ابتدا یک مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید که در یک دایره محاط شده است. در این مورد، قطر به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه از ضلع مثلث بلندتر باشد چقدر است؟
برتراند سه استدلال ارائه کرد که همه آنها درست به نظر می رسند، اما نتایج متفاوتی به دست می دهند.
روش نقطه پایان تصادفی
باید دو مکان روی دایره را انتخاب کنید و یک قوس بکشید که آنها را به هم متصل می کند. برای محاسبه، پارادوکس احتمال برتراند در نظر گرفته شده است. باید تصور کرد که مثلث به گونه ای می چرخد که راس آن با یکی از نقاط انتهایی وتر منطبق باشد. ارزش پرداخت را داردتوجه داشته باشید که اگر قسمت دیگر روی یک کمان بین دو مکان باشد، دایره از ضلع مثلث بلندتر است. طول کمان یک سوم دایره است، بنابراین احتمال بلندتر بودن یک وتر تصادفی 1/3 است.
روش انتخاب
لازم است شعاع دایره و یک نقطه روی آن را انتخاب کنید. پس از آن، شما باید یک وتر را از طریق این مکان، عمود بر قطر بسازید. برای محاسبه پارادوکس برتراند در نظریه احتمال، باید تصور کرد که مثلث به گونه‌ای می‌چرخد که ضلع آن عمود بر شعاع باشد. اگر نقطه انتخاب شده به مرکز دایره نزدیکتر باشد وتر از ساق بلندتر است. و در این حالت ضلع مثلث شعاع را نصف می کند. بنابراین، احتمال بلندتر بودن وتر از ضلع شکل محاطی شده 1/2 است.
آکوردهای تصادفی
روش نقطه میانی. لازم است یک مکان روی دایره انتخاب کنید و یک وتر با یک وسط مشخص ایجاد کنید. اگر محل انتخاب شده در یک دایره متحدالمرکز به شعاع 1/2 باشد، محور از لبه مثلث محاطی بلندتر است. مساحت دایره کوچکتر یک چهارم شکل بزرگتر است. بنابراین، احتمال یک وتر تصادفی طولانی‌تر از ضلع مثلث محاط شده و برابر است با 1/4.
همانطور که در بالا ارائه شد، روش‌های انتخاب در وزنی که به آکوردهای خاصی می‌دهند، که قطر هستند، متفاوت است. در روش 1، هر وتر را می توان دقیقاً به یک روش انتخاب کرد، خواه قطر باشد یا نباشد.
در روش ۲، هر خط مستقیم را می توان به دو روش انتخاب کرد. در حالی که هر آکورد دیگری انتخاب خواهد شدفقط یکی از احتمالات.
در روش 3، هر انتخاب نقطه میانی دارای یک پارامتر واحد است. به جز مرکز دایره که نقطه وسط تمام قطرها است. این مشکلات را می توان با "ترتیب" همه سوالات برای حذف پارامترها بدون تاثیر بر احتمالات حاصل اجتناب کرد.
روش های انتخابی را نیز می توان به صورت زیر تجسم کرد. آکوردی که قطر ندارد به طور منحصر به فردی با نقطه میانی آن مشخص می شود. هر یک از سه روش انتخاب ارائه شده در بالا، توزیع متفاوتی از وسط را ایجاد می کند. و گزینه های 1 و 2 دو پارتیشن غیر یکنواخت متفاوت ارائه می دهند، در حالی که روش 3 توزیع یکنواختی را ارائه می دهد.
پارادوکس کلاسیک حل مسئله برتراند به روشی بستگی دارد که آکورد از طریق آن "به طور تصادفی" انتخاب می شود. معلوم می شود که اگر یک روش انتخاب تصادفی از قبل مشخص شده باشد، مشکل راه حل کاملاً تعریف شده ای دارد. این به این دلیل است که هر روش جداگانه توزیع آکوردهای خاص خود را دارد. سه حکم نشان داده شده توسط برتراند با شیوه های مختلف انتخاب مطابقت دارد و در غیاب اطلاعات بیشتر، دلیلی برای برتری دادن یکی بر دیگری وجود ندارد. بر این اساس، مشکل بیان شده یک راه حل واحد ندارد.
یک مثال از نحوه منحصر به فرد کردن یک پاسخ کلی این است که مشخص کنید نقاط انتهایی وتر به طور مساوی بین ۰ و c قرار گیرند، جایی که c محیط دایره است. این توزیع همانند آرگومان اول برتراند است و احتمال یکتای حاصل 1/3 خواهد بود.
این پارادوکس برتراند راسل و دیگر ویژگی های منحصر به فرد کلاسیکتفاسیر امکان، فرمول های دقیق تر را توجیه می کند. از جمله فراوانی احتمال و نظریه بیزی ذهنی.
چه چیزی در پارادوکس برتراند نهفته است
در مقاله خود در سال 1973 "مشکل خوب مطرح شده"، ادوین جینز راه حل منحصر به فرد خود را ارائه کرد. او خاطرنشان کرد که پارادوکس برتراند بر فرضی مبتنی بر اصل "حداکثر ناآگاهی" استوار است. این بدان معنی است که شما نباید از اطلاعاتی که در بیانیه مشکل ارائه نشده است استفاده کنید. جینز اشاره کرد که مشکل برتراند موقعیت یا اندازه دایره را تعیین نمی کند. و استدلال کرد که بنابراین هر تصمیم قطعی و عینی باید نسبت به اندازه و موقعیت "بی تفاوت" باشد.
برای اهداف تصویری
با فرض اینکه همه آکوردها به طور تصادفی روی یک دایره 2 سانتی متری قرار می گیرند، اکنون باید از دور به سمت آن نی پرتاب کنید.
سپس باید دایره دیگری با قطر کمتر (مثلاً 1 سانتی متر) بگیرید که در شکل بزرگتر قرار می گیرد. سپس توزیع آکوردها در این دایره کوچکتر باید مانند دایره حداکثر باشد. اگر رقم دوم نیز در داخل عدد اول حرکت کند، در اصل احتمال آن نباید تغییر کند. بسیار آسان است که ببینید برای روش 3 تغییر زیر رخ خواهد داد: توزیع آکوردها روی دایره قرمز کوچک از نظر کیفی با توزیع روی دایره بزرگ متفاوت خواهد بود.
همین مورد برای روش 1 اتفاق می افتد. اگرچه دیدن آن در نمای گرافیکی دشوارتر است.
روش ۲ تنها روش استکه معلوم می شود هم مقیاس و هم یک ترجمه ثابت است.
روش شماره 3 به نظر می رسد به سادگی قابل توسعه باشد.
روش 1 هیچکدام نیست.
با این حال، جینز به راحتی از متغیرهای ثابت برای قبول یا رد این روش ها استفاده نکرد. این امکان وجود دارد که روش توصیف نشده دیگری وجود داشته باشد که با جنبه های معنای معقول آن مطابقت داشته باشد. جینز معادلات انتگرالی را برای توصیف بی‌تغییرها اعمال کرد. برای تعیین مستقیم توزیع احتمال. در مسئله او، معادلات انتگرال در واقع یک راه حل منحصر به فرد دارند، و این دقیقا همان چیزی است که روش شعاع تصادفی دوم در بالا نامیده شد.
در مقاله‌ای در سال ۲۰۱۵، آلون درری استدلال می‌کند که اصل جینز می‌تواند دو راه‌حل دیگر برتراند را نیز ارائه دهد. نویسنده اطمینان می دهد که اجرای ریاضی ویژگی های بی تغییری فوق منحصر به فرد نیست، بلکه به روش انتخاب تصادفی اولیه ای بستگی دارد که شخص تصمیم می گیرد از آن استفاده کند. او نشان می‌دهد که هر یک از سه راه‌حل برتراند را می‌توان با استفاده از تغییرناپذیری چرخشی، مقیاس‌بندی و انتقالی به‌دست آورد. در عین حال، نتیجه گیری اینکه اصل جین به همان اندازه که خود شیوه بی تفاوتی قابل تفسیر است.
آزمایش‌های فیزیکی
روش 2 تنها راه حلی است که متغیرهای تبدیلی را که در مفاهیم فیزیولوژیکی خاص مانند مکانیک آماری و ساختار گاز وجود دارند را برآورده می کند. همچنین در پیشنهادآزمایش جین برای پرتاب نی از یک دایره کوچک.
با این حال، آزمایش های عملی دیگری را می توان طراحی کرد که بر اساس روش های دیگر پاسخ ها را ارائه دهد. به عنوان مثال، برای رسیدن به یک راه حل برای اولین روش نقطه پایانی تصادفی، می توانید یک شمارنده را به مرکز ناحیه متصل کنید. و اجازه دهید نتایج دو چرخش مستقل، مکان های نهایی وتر را برجسته کند. برای رسیدن به راه حل روش سوم، می توان مثلا دایره را با ملاس پوشاند و اولین نقطه ای که مگس روی آن فرود آمد را به عنوان وتر وسط مشخص کرد. چندین متفکر مطالعاتی را برای نتیجه‌گیری متفاوت انجام داده‌اند و نتایج را به‌طور تجربی تأیید کرده‌اند.
آخرین رویدادها
نیکلاس شاکل در مقاله خود در سال 2007 با عنوان "پارادوکس برتراند و اصل بی تفاوتی" استدلال می کند که با گذشت بیش از یک قرن، این مشکل هنوز حل نشده باقی مانده است. او در ادامه اصل بی تفاوتی را رد می کند. علاوه بر این، دارل آر. روباتم در مقاله خود در سال 2013، "بازبینی پارادوکس برتراند راسل: چرا همه راه حل ها عملی نیستند" نشان می دهد که تمام احکام پیشنهادی هیچ ربطی به سوال خود او ندارند. بنابراین معلوم شد که حل این پارادوکس بسیار دشوارتر از آن چیزی است که قبلاً تصور می شد.
شکل تأکید می کند که تاکنون بسیاری از دانشمندان و افراد دور از علم تلاش کرده اند تا پارادوکس برتراند را حل کنند. هنوز با کمک دو رویکرد متفاوت بر آن غلبه می شود.
آنهایی که در آنها تفاوت بین مسائل غیر معادل در نظر گرفته شده است، و آنهایی که در آنها مشکل همیشه صحیح در نظر گرفته می شود. شاکل در کتاب هایش از لویی نقل قول می کندمارینوف (به عنوان یک نماینده معمولی از استراتژی تمایز) و ادوین جینز (به عنوان نویسنده یک نظریه کاملاً سنجیده).
با این حال، دیدریک آئرتس و ماسیمیلیانو ساسولی دی بیانچی در کار اخیرشان به نام حل مسئله پیچیده معتقدند که برای حل پارادوکس برتراند، مقدمات را باید در یک استراتژی ترکیبی جستجو کرد. به گفته این نویسندگان، اولین قدم رفع مشکل با بیان واضح ماهیت موجودیت تصادفی است. و تنها پس از انجام این کار، می توان هر مشکلی را صحیح دانست. این چیزی است که جینز فکر می کند.
بنابراین می توان از اصل حداکثر ناآگاهی برای حل آن استفاده کرد. برای این منظور، و از آنجایی که مشکل نحوه انتخاب یک آکورد را مشخص نمی کند، این اصل نه در سطح احتمالات مختلف، بلکه در سطح بسیار عمیق تر اعمال می شود.
انتخاب قطعات
این بخش از مسئله مستلزم محاسبه یک فرامیانگین بر روی همه راه های ممکن است، که نویسندگان آن را میانگین جهانی می نامند. برای مقابله با این موضوع از روش گسسته سازی استفاده می کنند. با الهام از آنچه در تعریف قانون احتمال در فرآیندهای وینر انجام می شود. نتیجه آنها با نتیجه عددی جینز مطابقت دارد، اگرچه مسئله خوب طرح شده آنها با مشکل نویسنده اصلی متفاوت است.
در اقتصاد و تجارت، پارادوکس برتراند که به نام خالق آن جوزف برتراند نامگذاری شده است، وضعیتی را توصیف می کند که در آن دو بازیکن (شرکت) به تعادل نش می رسند. زمانی که هر دو شرکت قیمتی برابر با هزینه نهایی تعیین می کنند(MS).
پارادوکس برتراند بر یک فرض استوار است. این در این واقعیت نهفته است که در مدل هایی مانند رقابت کورنو، افزایش تعداد شرکت ها با همگرایی قیمت ها با هزینه های نهایی همراه است. در این مدل‌های جایگزین، پارادوکس برتراند در انحصار تعداد کمی از شرکت‌ها است که با در نظر گرفتن قیمتهای بالاتر از هزینه، سود مثبتی کسب می‌کنند.
برای شروع، ارزش این را دارد که فرض کنیم دو شرکت A و B یک محصول همگن را می فروشند که هر کدام هزینه تولید و توزیع یکسانی دارند. نتیجه این است که خریداران محصول را صرفاً بر اساس قیمت انتخاب می کنند. این بدان معناست که تقاضا بی نهایت کشش قیمتی دارد. نه A و نه B قیمتی بالاتر از سایرین تعیین نمی کنند، زیرا این باعث می شود کل پارادوکس برتراند از بین برود. یکی از شرکت کنندگان در بازار به رقیب خود تسلیم خواهد شد. اگر آنها همان قیمت را تعیین کنند، شرکت ها سود را تقسیم خواهند کرد.
از سوی دیگر، اگر هر شرکتی قیمت خود را حتی اندکی کاهش دهد، کل بازار و بازدهی قابل توجهی بالاتر خواهد داشت. از آنجایی که A و B این را می‌دانند، هر کدام سعی می‌کنند تا زمانی که محصول با سود اقتصادی صفر به فروش می‌رسد، رقیب را کاهش دهند.
کار اخیر نشان داده است که ممکن است تعادل اضافی در پارادوکس استراتژی ترکیبی برتراند با سود اقتصادی مثبت وجود داشته باشد، مشروط بر اینکه مجموع انحصار نامحدود باشد. در مورد سود نهایی نشان داده شد که افزایش مثبت تحت رقابت قیمت در تعادل های مختلط و حتی در حالت کلی تر غیرممکن است.سیستم های همبسته.
در واقع، پارادوکس برتراند در اقتصاد به ندرت در عمل دیده می شود، زیرا محصولات واقعی تقریباً همیشه به روشی غیر از قیمت (مثلاً پرداخت بیش از حد برای یک برچسب) متمایز می شوند. شرکت ها محدودیت هایی در توانایی خود برای تولید و توزیع دارند. به همین دلیل است که دو کسب و کار به ندرت هزینه های یکسانی دارند.
نتیجه برتراند متناقض است زیرا اگر تعداد شرکت ها از یک به دو شرکت افزایش یابد، قیمت از حالت انحصاری به رقابتی کاهش می یابد و در همان سطح تعداد شرکت هایی که پس از آن افزایش می یابند، باقی می ماند. این خیلی واقع بینانه نیست، زیرا در واقعیت، بازارهایی با تعداد کمی از شرکت‌های دارای قدرت بازار، تمایل دارند قیمت‌ها را بالاتر از هزینه‌های نهایی تعیین کنند. تجزیه و تحلیل تجربی نشان می دهد که بیشتر صنایع با دو رقیب سود مثبت ایجاد می کنند.
در دنیای مدرن، دانشمندان در تلاش هستند تا راه حل هایی برای این پارادوکس بیابند که با مدل رقابت کورنو سازگارتر باشد. جایی که دو شرکت در یک بازار سودهای مثبتی به دست می‌آورند که بین سطوح کاملاً رقابتی و انحصاری است.
چند دلیل برای اینکه پارادوکس برتراند مستقیماً با اقتصاد مرتبط نیست:
- محدودیت ظرفیت. گاهی اوقات شرکت ها ظرفیت کافی برای پاسخگویی به تمام تقاضا را ندارند. این نکته برای اولین بار توسط فرانسیس اجورث مطرح شد و باعث پیدایش مدل برتراند-اجورث شد.
- قیمتهای عدد صحیح. قیمتهای بالاتر از MC مستثنی شده‌اند، زیرا یک شرکت می‌تواند به‌طور تصادفی از دیگری کمتر قیمت داشته باشد.مقدار کمی. اگر قیمت‌ها گسسته باشند (مثلاً باید مقادیر صحیح را در نظر بگیرند)، در این صورت یک شرکت باید حداقل یک روبل از دیگری کم کند. این بدان معناست که ارزش پول خرد بالاتر از MC است. اگر شرکت دیگری قیمت را برای آن بالاتر تعیین کند، شرکت دیگری می تواند آن را کاهش دهد و کل بازار را تصاحب کند، پارادوکس برتراند دقیقاً در این است. هیچ سودی برای او نخواهد داشت. این تجارت ترجیح می دهد فروش 50/50 را با شرکت دیگری به اشتراک بگذارد و درآمد کاملاً مثبتی دریافت کند.
- تمایز محصول. اگر محصولات شرکت های مختلف با یکدیگر متفاوت باشند، ممکن است مصرف کنندگان به طور کامل به محصولات با قیمت پایین تر تغییر نکنند.
- مسابقه پویا. تعامل مکرر یا رقابت مکرر قیمت می تواند به تعادل ارزش منجر شود.
- موارد بیشتر با مبلغ بالاتر. این از تعامل مکرر ناشی می شود. اگر یک شرکت قیمت خود را کمی بالاتر تعیین کند، باز هم تقریباً همان تعداد خرید، اما سود بیشتری برای هر کالا خواهد داشت. بنابراین، شرکت دیگر نشانه گذاری خود را افزایش می دهد و غیره (فقط در تکرار، در غیر این صورت دینامیک به سمت دیگری می رود).
Oligopoly
اگر دو شرکت بتوانند بر سر قیمت به توافق برسند، حفظ توافق به نفع بلندمدت آنهاست: درآمد کاهش ارزش کمتر از دو برابر درآمد حاصل از پیروی از توافق است و فقط تا زمانی که شرکت دیگر آن را کاهش دهد ادامه خواهد داشت. قیمت های خود.
نظریهاحتمالات (مانند بقیه ریاضیات) در واقع یک اختراع اخیر است. و توسعه هموار نبوده است. اولین تلاش‌ها برای رسمی‌سازی حساب احتمالات توسط مارکیز دو لاپلاس انجام شد که پیشنهاد کرد این مفهوم را به عنوان نسبت تعداد رویدادهایی که منجر به یک نتیجه می‌شوند تعریف کند.
البته این تنها زمانی معنا دارد که تعداد همه رویدادهای ممکن محدود باشد. و علاوه بر این، همه رویدادها به یک اندازه محتمل هستند.
بنابراین، در آن زمان، به نظر می رسید که این مفاهیم پایه محکمی نداشته باشند. تلاش برای تعمیم تعریف به تعداد نامتناهی از رویدادها حتی به مشکلات بزرگتری منجر شده است. پارادوکس برتراند یکی از این کشفیات است که ریاضیدانان را نسبت به کل مفهوم احتمال محتاط کرده است.
