نظریه احتمال با متغیرهای تصادفی کار می کند. برای متغیرهای تصادفی به اصطلاح قوانین توزیع وجود دارد. چنین قانونی متغیر تصادفی خود را با کامل بودن مطلق توصیف می کند. با این حال، هنگام کار با مجموعه‌های واقعی از متغیرهای تصادفی، اغلب تعیین فوری قانون توزیع آنها بسیار دشوار است و محدود به مجموعه خاصی از ویژگی‌های عددی است. برای مثال، محاسبه میانگین و واریانس یک متغیر تصادفی اغلب بسیار مفید است.
چرا لازم است
اگر ماهیت انتظار ریاضی نزدیک به مقدار میانگین کمیت باشد، در این مورد پراکندگی نشان می دهد که چگونه مقادیر کمیت ما در اطراف این انتظار ریاضی پراکنده شده است. به عنوان مثال، اگر ما ضریب هوشی گروهی از افراد را اندازه گیری کنیم و بخواهیم نتایج اندازه گیری (نمونه) را بررسی کنیم، انتظارات ریاضی میانگین تقریبی ضریب هوش را برای این گروه از افراد نشان می دهد و اگر واریانس نمونه را محاسبه کنیم. ، خواهیم فهمید که چگونه نتایج حول انتظارات ریاضی گروه بندی می شوند: یک دسته در نزدیکی آن (تغییر کوچک در IQ) یا به طور یکنواخت در کل دامنه از حداقل تا حداکثر نتیجه (تغییر بزرگ و جایی در میانه - انتظار ریاضی).
برای محاسبه واریانس، به یک مشخصه جدید از یک متغیر تصادفی نیاز دارید - انحراف مقدار از مقدار ریاضی.در انتظار.
انحراف
برای درک نحوه محاسبه واریانس، ابتدا باید انحراف را درک کنید. تعریف آن تفاوت بین مقداری است که یک متغیر تصادفی می گیرد و انتظارات ریاضی آن. به طور کلی، برای درک چگونگی "پراکندگی" یک مقدار، باید به نحوه توزیع انحراف آن نگاه کنید. یعنی مقدار مقدار را با مقدار انحراف آن از حصیر جایگزین می کنیم. انتظارات و قانون توزیع آن را بررسی کنید.
قانون توزیع یک متغیر گسسته، یعنی یک متغیر تصادفی که مقادیر فردی را می گیرد، به شکل جدولی نوشته می شود که در آن مقدار مقدار با احتمال وقوع آن همبستگی دارد. سپس، در قانون توزیع انحراف، متغیر تصادفی با فرمول خود جایگزین می شود که در آن یک مقدار (که احتمال خود را حفظ کرده است) و حصیر خودش وجود دارد. در انتظار.
ویژگی های قانون توزیع انحراف یک متغیر تصادفی
ما قانون توزیع انحراف یک متغیر تصادفی را یادداشت کرده ایم. از آن، تا کنون فقط می‌توانیم ویژگی‌هایی مانند انتظار ریاضی را استخراج کنیم. برای راحتی، بهتر است یک مثال عددی بزنید.
اجازه دهید قانون توزیع برخی از متغیرهای تصادفی وجود داشته باشد: X - مقدار، p - احتمال.
ما انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول و بلافاصله انحراف محاسبه می کنیم.
رسم جدول توزیع انحراف جدید.
توقع را اینجا هم محاسبه می کنیم.
معلوم می شود صفر است. فقط یک مثال وجود دارد، اما همیشه همینطور خواهد بود: اثبات این امر در حالت کلی دشوار نیست. فرمول انتظارات ریاضی انحراف را می توان به تفاوت بین انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی و، مهم نیست که چقدر کج به نظر می رسد، انتظارات ریاضی از تشک تجزیه می شود. انتظارات (بازگشت، اما) که یکسان هستند، بنابراین تفاوت آنها صفر خواهد بود.
این مورد انتظار است: به هر حال، انحرافات در علامت می توانند هم مثبت و هم منفی باشند، بنابراین به طور متوسط باید صفر باشند.
چگونه واریانس یک مورد گسسته را محاسبه کنیم. مقادیر
اگر مات. محاسبه انتظار انحراف بی معنی است، شما باید به دنبال چیز دیگری باشید. شما به سادگی می توانید مقادیر مطلق انحرافات را بگیرید (مدول). اما با ماژول ها، همه چیز چندان ساده نیست، بنابراین انحرافات مربع می شوند و سپس انتظارات ریاضی آنها محاسبه می شود. در واقع، این همان چیزی است که آنها در مورد نحوه محاسبه واریانس صحبت می کنند.
یعنی انحراف ها را می گیریم، آنها را مربع می کنیم و جدولی از مجذور انحرافات و احتمالات مربوط به متغیرهای تصادفی درست می کنیم. این یک قانون توزیع جدید است. برای محاسبه انتظارات ریاضی، باید حاصل ضربات مجذور انحراف و احتمال را اضافه کنید.
فرمول ساده تر
با این حال، مقاله با این واقعیت آغاز شد که قانون توزیع متغیر تصادفی اولیه اغلب ناشناخته است. بنابراین چیزی سبک تر مورد نیاز است. در واقع، فرمول دیگری وجود دارد که به شما امکان می دهد واریانس نمونه را فقط با استفاده از حصیر محاسبه کنید.انتظار:
پراکندگی - تفاوت بین تشک. انتظار مربع یک متغیر تصادفی و برعکس، مربع تشک آن. در انتظار.
دلیلی برای این وجود دارد، اما ارائه آن در اینجا منطقی نیست، زیرا هیچ ارزش عملی ندارد (و فقط باید واریانس را محاسبه کنیم).
نحوه محاسبه واریانس یک متغیر تصادفی در سری های متغیر
در آمار واقعی، انعکاس همه متغیرهای تصادفی غیرممکن است (زیرا، به طور کلی، معمولاً تعداد نامحدودی از آنها وجود دارد). بنابراین، آنچه وارد مطالعه می شود، نمونه به اصطلاح نماینده از برخی از جمعیت عمومی است. و از آنجایی که ویژگی های عددی هر متغیر تصادفی از چنین جامعه عمومی از نمونه محاسبه می شود، به ترتیب به آنها نمونه: میانگین نمونه، واریانس نمونه می گویند. شما می توانید آن را به همان روش معمول (از طریق انحرافات مجذور) محاسبه کنید.
با این حال، چنین پراکندگی مغرضانه نامیده می شود. فرمول واریانس بی طرفانه کمی متفاوت به نظر می رسد. معمولاً برای محاسبه آن لازم است.
اضافه کوچک
یک مشخصه عددی دیگر با پراکندگی مرتبط است. همچنین برای ارزیابی نحوه پراکندگی متغیر تصادفی در اطراف تشک خود مفید است. انتظارات تفاوت زیادی در نحوه محاسبه واریانس و انحراف معیار وجود ندارد: دومی جذر اولی است.
