معادلات دیفرانسیل خطی و همگن مرتبه اول. نمونه های راه حل

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

من فکر می کنم ما باید با تاریخچه چنین ابزار ریاضی باشکوهی مانند معادلات دیفرانسیل شروع کنیم. مانند تمام محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در پایان قرن هفدهم اختراع شد. او این کشف خود را آنقدر مهم می‌دانست که حتی پیامی را که امروزه می‌توان چیزی شبیه به این ترجمه کرد، رمزگذاری کرد: «همه قوانین طبیعت با معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند». این ممکن است اغراق آمیز به نظر برسد، اما حقیقت دارد. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی را می توان با این معادلات توصیف کرد.

ریاضیدانان اویلر و لاگرانژ سهم بزرگی در توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل داشتند. قبلاً در قرن 18، آنها آنچه را که اکنون در دوره های ارشد دانشگاه ها مطالعه می کنند، کشف و توسعه دادند.

نقطه عطف جدیدی در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف هانری پوانکار آغاز شد. او "نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل" را ایجاد کرد، که در ترکیب با نظریه توابع یک متغیر مختلط، سهم قابل توجهی در پایه و اساس توپولوژی - علم فضا و آن داشت.خواص.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم از یک عبارت "معادله دیفرانسیل" می ترسند. با این حال، در این مقاله به جزئیات کامل ماهیت این دستگاه ریاضی بسیار مفید خواهیم پرداخت، که در واقع آنقدرها که از نام آن به نظر می رسد پیچیده نیست. برای شروع صحبت در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، ابتدا باید با مفاهیم اساسی که ذاتاً با این تعریف مرتبط هستند آشنا شوید. و ما با دیفرانسیل شروع می کنیم.

تفاوت

بسیاری این مفهوم را از مدرسه می دانند. با این حال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. نمودار یک تابع را تصور کنید. ما می توانیم آن را به حدی افزایش دهیم که هر یک از بخش های آن به شکل یک خط مستقیم درآید. روی آن دو نقطه را می گیریم که بی نهایت به هم نزدیک هستند. تفاوت بین مختصات آنها (x یا y) یک مقدار بی نهایت کوچک خواهد بود. دیفرانسیل نامیده می شود و با علائم dy (دیفرانسیل از y) و dx (دیفرانسیل از x) نشان داده می شود. درک این نکته بسیار مهم است که دیفرانسیل یک مقدار محدود نیست و این معنی و تابع اصلی آن است.

و اکنون باید عنصر بعدی را در نظر بگیریم که در توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل برای ما مفید خواهد بود. این مشتق است.

مشتق

همه ما احتمالاً در مدرسه و این مفهوم را شنیده ایم. مشتق به نرخ رشد یا کاهش یک تابع گفته می شود. با این حال، از این تعریفخیلی نامشخص می شود بیایید سعی کنیم مشتق را از نظر دیفرانسیل توضیح دهیم. بیایید به بخش بینهایت کوچک یک تابع با دو نقطه که در حداقل فاصله از یکدیگر قرار دارند برگردیم. اما حتی برای این فاصله، تابع می تواند مقداری تغییر کند. و برای توصیف این تغییر، مشتقی را به دست آوردند که در غیر این صورت می‌توان آن را به صورت نسبتی از دیفرانسیل نوشت: f(x)'=df/dx.

حالا ارزش آن را دارد که ویژگی های اصلی مشتق را در نظر بگیریم. فقط سه مورد از آنها وجود دارد:

1. مشتق حاصل از مجموع یا تفاوت را می توان به صورت مجموع یا تفاوت مشتقات نشان داد: (a+b)'=a'+b' و (a-b)'=a'-b'.
2. خاصیت دوم مربوط به ضرب است. مشتق یک محصول مجموع حاصلضرب یک تابع و مشتق تابع دیگر است: (ab)'=a'b+ab'.
3. مشتق تفاوت را می توان به صورت برابری زیر نوشت: (a/b)'=(a'b-ab')/b².

همه این ویژگی ها برای یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مفید خواهند بود.

مشتقات جزئی نیز وجود دارد. فرض کنید یک تابع z داریم که به متغیرهای x و y بستگی دارد. برای محاسبه مشتق جزئی این تابع، مثلاً با توجه به x، باید متغیر y را ثابت در نظر بگیریم و به سادگی آن را متمایز کنیم.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر انتگرال است. در واقع، این دقیقاً مخالف مشتق است. انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد، اما برای حل ساده ترین معادلات دیفرانسیل، به پیش پا افتاده ترین انتگرال های نامعین نیاز داریم.

پس انتگرال چیست؟ فرض کنید مقداری وابستگی f داریماز x. انتگرال را از آن می گیریم و تابع F (x) (که اغلب به آن پاد مشتق می گویند) می گیریم که مشتق آن برابر تابع اصلی است. بنابراین F(x)'=f(x). همچنین از این نتیجه می شود که انتگرال مشتق برابر با تابع اصلی است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، درک معنی و عملکرد انتگرال بسیار مهم است، زیرا برای یافتن جواب باید آنها را اغلب استفاده کنید.

معادلات بسته به ماهیت آنها متفاوت است. در بخش بعدی انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت و سپس نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

کلاس معادلات دیفرانسیل

"Diffury" بر اساس ترتیب مشتقات درگیر در آنها تقسیم می شوند. بنابراین، ترتیب اول، دوم، سوم و بیشتر وجود دارد. آنها همچنین می توانند به چندین کلاس تقسیم شوند: مشتقات معمولی و جزئی.

در این مقاله معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت. همچنین در قسمت های بعدی به مثال ها و راه های حل آن ها خواهیم پرداخت. ما فقط ODE ها را در نظر می گیریم، زیرا این ها رایج ترین انواع معادلات هستند. معمولی به زیرگونه ها تقسیم می شوند: با متغیرهای قابل تفکیک، همگن و ناهمگن. در مرحله بعد، تفاوت آنها با یکدیگر را یاد خواهید گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

علاوه بر این، می توان این معادلات را با هم ترکیب کرد، به طوری که پس از یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید. ما همچنین چنین سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

چرا فقط سفارش اول را در نظر می گیریم؟ زیرا باید با یک مورد ساده شروع کنید و همه چیز مربوط به دیفرانسیل را شرح دهیدمعادلات، در یک مقاله به سادگی غیرممکن است.

معادلات متغیر قابل تفکیک

اینها شاید ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول باشند. اینها شامل نمونه هایی هستند که می توانند به این شکل نوشته شوند: y'=f(x)f(y). برای حل این معادله، به فرمولی برای نمایش مشتق به عنوان نسبت دیفرانسیل نیاز داریم: y'=dy/dx. با استفاده از آن، معادله زیر را بدست می آوریم: dy/dx=f(x)f(y). حالا می‌توانیم به روش حل مثال‌های استاندارد بپردازیم: متغیرها را به قسمت‌هایی تقسیم می‌کنیم، یعنی همه چیز را با متغیر y به قسمتی که dy در آن قرار دارد منتقل می‌کنیم و با متغیر x نیز همین کار را می‌کنیم. معادله ای به شکل dy/f(y)=f(x)dx بدست می آوریم که با گرفتن انتگرال هر دو قسمت حل می شود. ثابتی را که باید بعد از گرفتن انتگرال تنظیم شود فراموش نکنید.

حل هر «تفاوت» تابعی از وابستگی x به y است (در مورد ما) یا اگر شرط عددی وجود داشته باشد، پاسخ به شکل یک عدد است. بیایید کل مسیر حل را با استفاده از یک مثال خاص تجزیه و تحلیل کنیم:

y'=2ysin(x)

حرکت متغیرها در جهات مختلف:

dy/y=2sin(x)dx

حالا انتگرال ها را می گیریم. همه آنها را می توان در جدول ویژه ای از انتگرال ها یافت. و ما دریافت می کنیم:

ln(y)=-2cos(x) + C

در صورت لزوم، می توانیم "y" را به عنوان تابعی از "x" بیان کنیم. حال می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل می شود اگر شرطی داده نشود. یک شرط می تواند داده شود، برای مثال، y(n/2)=e. سپس به سادگی مقدار این متغیرها را به جواب و جایگزین می کنیممقدار ثابت را پیدا کنید در مثال ما برابر است با 1.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

اکنون به بخش دشوارتر می رویم. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول را می توان به صورت کلی به صورت زیر نوشت: y'=z(x,y). لازم به ذکر است که تابع سمت راست دو متغیر همگن است و نمی توان آن را به دو وابستگی تقسیم کرد: z روی x و z روی y. بررسی همگن بودن یا نبودن معادله بسیار ساده است: جایگزینی x=kx و y=ky را انجام می دهیم. اکنون همه k را لغو می کنیم. اگر همه این حروف کاهش یابد، معادله همگن است و با خیال راحت می توانید آن را حل کنید. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم: اصل حل این مثال ها نیز بسیار ساده است.

ما باید یک جایگزین انجام دهیم: y=t(x)x، که t تابعی است که به x نیز بستگی دارد. سپس می توانیم مشتق را بیان کنیم: y'=t'(x)x+t. با جایگزینی همه اینها به معادله اصلی و ساده کردن آن، مثالی با متغیرهای قابل تفکیک t و x می‌گیریم. آن را حل می کنیم و وابستگی t(x) را بدست می آوریم. هنگامی که آن را دریافت کردیم، به سادگی y=t(x)x را با جایگزین قبلی خود جایگزین می کنیم. سپس وابستگی y را به x می گیریم.

برای واضح تر شدن، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم: xy'=y-xe^y/x.

هنگام بررسی با تعویض، همه چیز کاهش می یابد. بنابراین معادله واقعاً همگن است. حالا جایگزین دیگری می کنیم که در مورد آن صحبت کردیم: y=t(x)x و y'=t'(x)x+t(x). پس از ساده سازی، معادله زیر را بدست می آوریم: t'(x)x=-e^t. مثال به دست آمده را با متغیرهای جدا شده حل می کنیم و می گیریم: e^-t=ln(Cx). ما فقط باید t را با y/x جایگزین کنیم (در نهایت، اگر y=tx، آنگاه t=y/x) و دریافت می کنیمپاسخ: e^-y/x=ln(xC).

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

وقت آن است که به یک موضوع بزرگ دیگر بپردازیم. ما معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه اول را تحلیل خواهیم کرد. تفاوت آنها با دو مورد قبلی چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت: y' + g(x)y=z(x). شایان ذکر است که z(x) و g(x) می توانند ثابت باشند.

و اکنون یک مثال: y' - yx=x².

دو راه برای حل آن وجود دارد که به ترتیب به هر دو می پردازیم. روش اول، روش تغییر ثوابت دلخواه است.

برای حل معادله به این ترتیب ابتدا باید سمت راست را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید که پس از جابجایی قطعات به شکل زیر در می آید:

y'=yx;

dy/dx=yx;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + C;

y=e^x2/2y^C=C₁e^x2/2.

حالا باید C₁ را با تابع v(x) که باید پیدا کنیم، جایگزین کنیم.

y=ve^x2/2.

بیایید مشتق را تغییر دهیم:

y'=v'e^x2/2-xve^x2/2.

و این عبارات را در معادله اصلی جایگزین کنید:

v'e^x2/2 - xve^x2/2 + xve^{x2 /2} =x².

می توانید ببینید که دو عبارت در سمت چپ لغو می شوند. اگر در مثالی این اتفاق نیفتاد، پس شما کار اشتباهی انجام دادید.ادامه:

v'e^x2/2 =x².

حالا معادله معمولی را حل می کنیم که در آن باید متغیرها را از هم جدا کنیم:

dv/dx=x²/e^x2/2;

dv=x²e^-x2/2dx.

برای استخراج انتگرال، باید ادغام بر اساس قطعات را در اینجا اعمال کنیم. با این حال، این موضوع مقاله ما نیست. اگر علاقه مند هستید، می توانید نحوه انجام چنین اقداماتی را خودتان یاد بگیرید. کار سختی نیست و با مهارت و توجه کافی زمان زیادی نمی برد.

بیایید به دومین روش حل معادلات ناهمگن بپردازیم: روش برنولی. اینکه کدام رویکرد سریع‌تر و آسان‌تر است به شما بستگی دارد.

بنابراین، هنگام حل معادله با این روش، باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=kn. در اینجا k و n برخی از توابع وابسته به x هستند. سپس مشتق به این شکل خواهد بود: y'=k'n+kn'. هر دو تعویض را در معادله جایگزین کنید:

k'n+kn'+xkn=x².

گروه:

k'n+k(n'+xn)=x².

حالا باید آنچه در پرانتز است را با صفر برابر کنیم. حال، اگر دو معادله به دست آمده را ترکیب کنید، سیستمی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را به دست می آورید که باید حل کنید:

n'+xn=0;

k'n=x².

تعادل اول مانند یک معادله عادی حل می شود. برای انجام این کار، باید متغیرها را از هم جدا کنید:

dn/dx=xv;

dn/n=xdx.

انتگرال را بگیرید و دریافت کنید: ln(n)=x²/2. سپس، اگر n را بیان کنیم:

n=e^x2/2.

حالا تساوی حاصل را به معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم:

k'e^x2/2=x².

و با تبدیل، برابری مشابه روش اول بدست می آوریم:

dk=x²/e^x2/2.

ما نیز وارد مراحل بعدی نمی شویم. شایان ذکر است که در ابتدا حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. با این حال، هرچه عمیق تر در موضوع فرو بروید، شروع به بهتر شدن و بهتر شدن می کند.

کجا معادلات دیفرانسیل استفاده می شود؟

معادلات دیفرانسیل به طور فعال در فیزیک استفاده می شود، زیرا تقریباً همه قوانین اساسی به شکل دیفرانسیل نوشته شده اند و فرمول هایی که می بینیم حل این معادلات هستند. در شیمی، آنها به همین دلیل استفاده می شوند: قوانین اساسی از آنها مشتق شده است. در زیست‌شناسی، معادلات دیفرانسیل برای مدل‌سازی رفتار سیستم‌هایی مانند شکارچی-شکار استفاده می‌شود. آنها همچنین می توانند برای ایجاد مدل های تولید مثل مثلاً یک کلونی از میکروارگانیسم ها استفاده شوند.

معادلات دیفرانسیل چگونه به زندگی کمک می کند؟

پاسخ به این سوال ساده است: به هیچ وجه. اگر دانشمند یا مهندس نیستید، بعید است که آنها برای شما مفید باشند. با این حال، برای توسعه عمومی، دانستن اینکه معادله دیفرانسیل چیست و چگونه حل می شود، ضرری ندارد. و سپس سوال پسر یا دختر "معادله دیفرانسیل چیست؟" شما را گیج نمی کند خوب، اگر دانشمند یا مهندس هستید، پس خودتان اهمیت این موضوع را در هر علمی درک می کنید. اما مهمترین چیز این است که اکنون این سؤال مطرح می شود که "چگونه معادله دیفرانسیل مرتبه اول را حل کنیم؟" شما همیشه می توانید پاسخ دهید موافقم، همیشه خوب استوقتی می فهمی که مردم حتی از فهمیدن چه چیزی می ترسند.

مشکلات اصلی یادگیری

مشکل اصلی در درک این موضوع، مهارت ضعیف در یکپارچه سازی و تمایز توابع است. اگر در استفاده از مشتقات و انتگرال ها بد هستید، احتمالاً باید بیشتر بیاموزید، بر روش های مختلف ادغام و تمایز تسلط داشته باشید و تنها پس از آن شروع به مطالعه مطالبی کنید که در مقاله توضیح داده شد.

برخی افراد وقتی متوجه می شوند که dx قابل انتقال است تعجب می کنند، زیرا قبلا (در مدرسه) گفته شده بود که کسری dy/dx غیرقابل تقسیم است. در اینجا باید ادبیات مشتق را بخوانید و بفهمید که این نسبت کمیت های بینهایت کوچک است که می توان هنگام حل معادلات دستکاری کرد.

بسیاری فوراً متوجه نمی شوند که حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اغلب یک تابع یا یک انتگرال است که نمی توان آن را گرفت و این توهم برای آنها دردسرهای زیادی ایجاد می کند.

چه چیز دیگری را می توان برای درک بهتر مطالعه کرد؟

بهتر است غوطه ور شدن بیشتر در دنیای حساب دیفرانسیل را با کتاب های درسی تخصصی شروع کنید، به عنوان مثال، در حساب دیفرانسیل و انتگرال برای دانش آموزان تخصص های غیر ریاضی. سپس می توانید به ادبیات تخصصی تر بروید.

باید گفت که علاوه بر معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال نیز وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی برای تلاش و مطالعه خواهید داشت.

نتیجه گیری

امیدواریم پس از خواندناین مقاله به شما ایده داد که معادلات دیفرانسیل چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنید.

در هر صورت، ریاضیات به نوعی برای ما در زندگی مفید خواهد بود. این منطق و توجه را توسعه می دهد، بدون آن هر فردی مانند بدون دست است.