یکی از دشوارترین و نامفهوم ترین مباحث ریاضی دانشگاه، انتگرال گیری و حساب دیفرانسیل است. شما باید این مفاهیم را بدانید و درک کنید و همچنین بتوانید آنها را به کار ببرید. بسیاری از رشته های فنی دانشگاه به دیفرانسیل ها و انتگرال ها گره خورده اند.
اطلاعات مختصر در مورد معادلات
این معادلات یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی در نظام آموزشی است. معادله دیفرانسیل معادله ای است که متغیرهای مستقل، تابعی که باید پیدا شود و مشتقات آن تابع را به متغیرهایی که مستقل فرض می شوند مرتبط می کند. حساب دیفرانسیل برای یافتن تابعی از یک متغیر معمولی نامیده می شود. اگر تابع مورد نظر به چندین متغیر بستگی دارد، آنگاه از یک معادله دیفرانسیل جزئی صحبت می کنیم.
در واقع یافتن پاسخ معینی برای معادله به انتگرال می رسد و روش حل با نوع معادله تعیین می شود.
معادلات مرتبه اول
معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای است که می تواند یک متغیر، یک تابع مورد نظر و اولین مشتق آن را توصیف کند. چنین معادلاتی را می توان به سه شکل بیان کرد: صریح، ضمنی، دیفرانسیل.
مفاهیم مورد نیاز برای حل
شرط اولیه - تنظیم مقدار تابع مورد نظر برای یک مقدار معین از یک متغیر مستقل.
حل معادله دیفرانسیل - هر تابع متمایز، که دقیقاً به معادله اصلی جایگزین شود، آن را به یکسان برابر تبدیل می کند. راه حل به دست آمده که صریح نیست، انتگرال معادله است.
حل کلی معادلات دیفرانسیل یک تابع y=y(x;C) است که می تواند قضاوت های زیر را برآورده کند:
- یک تابع می تواند تنها یک ثابت دلخواه С داشته باشد.
- تابع حاصل باید راه حلی برای معادله هر مقدار دلخواه یک ثابت دلخواه باشد.
- با یک شرط اولیه معین، یک ثابت دلخواه را می توان به روشی منحصر به فرد تعریف کرد به طوری که راه حل خاص به دست آمده با شرایط اولیه اولیه مطابقت داشته باشد.
در عمل، اغلب از مشکل کوشی استفاده می شود - یافتن راه حلی که خاص باشد و بتوان آن را با شرایط تنظیم شده در ابتدا مقایسه کرد.
قضیه کوشی قضیه ای است که بر وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل خاص در حساب دیفرانسیل تأکید می کند.
حس هندسی:
- راه حل کلی y=y(x;C)معادله تعداد کل منحنی های انتگرال است.
- حساب دیفرانسیل به شما امکان می دهد مختصات یک نقطه در صفحه XOY و مماس رسم شده به منحنی انتگرال را به هم متصل کنید.
- تنظیم شرط اولیه به معنای تعیین یک نقطه در صفحه است.
- برای حل مسئله کوشی به این معنی است که از کل مجموعه منحنی های انتگرالی که جواب یکسان معادله را نشان می دهد، لازم است تنها موردی را انتخاب کرد که از تنها نقطه ممکن عبور می کند.
- برآورده شدن شرایط قضیه کوشی در یک نقطه به این معنی است که یک منحنی انتگرال (به علاوه فقط یک) لزوماً از نقطه انتخاب شده در صفحه عبور می کند.
معادله متغیر قابل تفکیک
طبق تعریف، معادله دیفرانسیل معادله ای است که در آن سمت راست آن به صورت حاصلضرب (گاهی اوقات نسبت) از دو تابع، یکی فقط به "x" و دیگری فقط به "y" بستگی دارد، یا منعکس می شود. " یک مثال واضح برای این نوع: y'=f1(x)f2(y).
برای حل معادلات یک فرم خاص، ابتدا باید مشتق y'=dy/dx را تبدیل کنید. سپس با دستکاری معادله، باید آن را به شکلی در آورید که بتوانید دو قسمت معادله را ادغام کنید. پس از تغییرات لازم، هر دو قسمت را ادغام می کنیم و نتیجه را ساده می کنیم.
معادلات همگن
طبق تعریف، یک معادله دیفرانسیل را می توان همگن نامید که به شکل زیر باشد: y'=g(y/x).
در این مورد، جایگزین y/x=اغلب استفاده می شودt(x).
برای حل چنین معادلاتی، لازم است یک معادله همگن را به شکلی با متغیرهای قابل تفکیک تقلیل دهیم. برای این کار باید عملیات زیر را انجام دهید:
- نمایش، بیانگر مشتق تابع اصلی، از هر تابع اصلی به عنوان یک معادله جدید.
- مرحله بعدی تبدیل تابع به دست آمده به شکل f(x;y)=g(y/x) است. به عبارت ساده تر، معادله را فقط شامل نسبت y/x و ثابت کنید.
- جایگزین زیر را انجام دهید: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. جایگزینی انجام شده به تقسیم متغیرها در معادله کمک می‌کند و به تدریج آن را به شکل ساده‌تر می‌آورد.
معادلات خطی
تعریف چنین معادلاتی به شرح زیر است: معادله دیفرانسیل خطی معادله ای است که سمت راست آن به صورت یک عبارت خطی نسبت به تابع اصلی بیان می شود. تابع مورد نظر در این مورد: y'=a(x)y + b(x).
بیایید تعریف را به صورت زیر بازنویسی کنیم: هر معادله ای از مرتبه 1 به شکل خطی تبدیل می شود اگر تابع اصلی و مشتق آن در معادله درجه اول قرار گیرند و در یکدیگر ضرب نشوند. "شکل کلاسیک" معادله دیفرانسیل خطی ساختار زیر را دارد: y' + P(x)y=Q(x).
قبل از حل چنین معادله ای باید به "شکل کلاسیک" تبدیل شود. مرحله بعدی انتخاب روش حل خواهد بود: روش برنولی یا روش لاگرانژ.
حل معادله بابا استفاده از روش معرفی شده توسط برنولی، به معنای جایگزینی و کاهش یک معادله دیفرانسیل خطی به دو معادله با متغیرهای جداگانه نسبت به توابع U(x) و V(x) است که به شکل اصلی خود آورده شده‌اند.
روش لاگرانژ یافتن یک راه حل کلی برای معادله اصلی است.
- لازم است همان جواب معادله همگن را پیدا کنیم. پس از جستجو، تابع y=y(x, C) داریم که در آن C یک ثابت دلخواه است.
- ما به دنبال حل معادله اصلی به همان شکل هستیم، اما C=C(x) را در نظر می گیریم. تابع y=y(x, C(x)) را در معادله اصلی قرار می دهیم، تابع C(x) را پیدا کرده و جواب معادله اصلی اصلی را یادداشت می کنیم.
معادله برنولی
معادله برنولی - اگر سمت راست حساب به شکل f(x;y)=a(x)y + b(x)yk باشد، جایی که k هر مقدار عددی گویا ممکن است، نه به عنوان یک نمونه مواردی که k=0 و k=1.
اگر k=1، حساب دیفرانسیل و انتگرال قابل تفکیک می شود، و زمانی که k=0، معادله خطی باقی می ماند.
بیایید حالت کلی حل این نوع معادله را در نظر بگیریم. معادله استاندارد برنولی را داریم. باید به یک خطی کاهش یابد، برای این باید معادله را بر yk تقسیم کنید. پس از این عملیات، z(x)=y1-k را جایگزین کنید. پس از یک سری تبدیل، معادله به یک معادله خطی کاهش می یابد، اغلب با روش جایگزینی z=UV.
معادلات در مجموع دیفرانسیل
تعریف. معادله ای با ساختار P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 معادله کامل نامیده می شود.دیفرانسیل ها، اگر شرط زیر برآورده شود (در این شرط، "d" یک دیفرانسیل جزئی است): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
همه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را می توان به عنوان دیفرانسیل نمایش داد.
چنین محاسباتی به روش های مختلفی حل می شود. اما، با این حال، همه آنها با بررسی شرایط شروع می شوند. اگر شرط برآورده شود، سمت چپ ترین ناحیه معادله دیفرانسیل کل تابع هنوز ناشناخته U(x;y) است. سپس، مطابق با معادله، dU (x; y) برابر با صفر خواهد بود و بنابراین همان انتگرال معادله در مجموع دیفرانسیل به شکل U (x; y) u003d C نمایش داده می شود. بنابراین، حل معادله به یافتن تابع U کاهش می یابد (x; y).
عامل ادغام
اگر شرط dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx در معادله برآورده نشد، معادله شکلی را که در بالا در نظر گرفتیم ندارد. اما گاهی اوقات می توان تابع M(x;y) را انتخاب کرد، که در ضرب آن معادله به شکل یک معادله در "تفاوت" کامل به خود می گیرد. تابع M (x;y) به عنوان ضریب یکپارچه نامیده می شود.
یک انتگرالگر فقط زمانی پیدا می شود که تابعی از یک متغیر باشد.
