حتی در مدرسه، هر یک از ما معادلات و مطمئناً سیستم های معادلات را مطالعه می کردیم. اما بسیاری از مردم نمی دانند که راه های مختلفی برای حل آنها وجود دارد. امروز ما به تفصیل تمام روش های حل یک سیستم معادلات جبری خطی را که از بیش از دو برابر تشکیل شده است، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
تاریخ
امروزه شناخته شده است که هنر حل معادلات و سیستم های آنها در بابل و مصر باستان سرچشمه گرفته است. با این حال، برابری ها در شکل معمول خود پس از ظهور علامت مساوی "="، که در سال 1556 توسط ریاضیدان انگلیسی رکورد معرفی شد، ظاهر شد. به هر حال، این علامت به دلیلی انتخاب شده است: به معنای دو بخش مساوی موازی است. در واقع، هیچ مثال بهتری از برابری وجود ندارد.
بنیانگذار نامگذاری حروف مدرن مجهولات و نشانه های درجه، ریاضیدان فرانسوی فرانسوا ویت است. با این حال، نامگذاری او به طور قابل توجهی با امروز متفاوت بود. به عنوان مثال، او مربع یک عدد مجهول را با حرف Q (lat. "quadratus")، و مکعب را با حرف C (lat. "cubus") نشان داد. این نام گذاری ها اکنون ناخوشایند به نظر می رسند، اما پس از آناین قابل فهم ترین راه برای نوشتن سیستم های معادلات جبری خطی بود.
با این حال، نقطه ضعف روش های حل آن زمان این بود که ریاضیدانان فقط ریشه های مثبت را در نظر می گرفتند. شاید این به این دلیل است که ارزش های منفی هیچ کاربرد عملی نداشتند. به هر شکلی، این ریاضیدانان ایتالیایی، نیکولو تارتالیا، جرولامو کاردانو و رافائل بومبلی بودند که اولین کسانی بودند که در قرن شانزدهم ریشه های منفی را در نظر گرفتند. و نگاه مدرن، روش اصلی برای حل معادلات درجه دوم (از طریق تفکیک کننده) تنها در قرن هفدهم به لطف کار دکارت و نیوتن ایجاد شد.
در اواسط قرن هجدهم، ریاضیدان سوئیسی، گابریل کرامر، راه جدیدی برای آسان کردن حل سیستم معادلات خطی پیدا کرد. این روش متعاقباً به نام او نامگذاری شد و تا به امروز از آن استفاده می کنیم. اما در مورد روش کرامر کمی بعد صحبت خواهیم کرد، اما در حال حاضر معادلات خطی و روش های حل آنها را جدا از سیستم مورد بحث قرار خواهیم داد.
معادلات خطی
معادلات خطی ساده ترین برابری ها با متغیر(ها) هستند. آنها به عنوان جبری طبقه بندی می شوند. معادلات خطی به شکل کلی به صورت زیر نوشته می شوند: 2+…a x =b. هنگام کامپایل بیشتر سیستم ها و ماتریس ها به نمایش آنها در این فرم نیاز خواهیم داشت.
سیستم معادلات جبری خطی
تعریف این اصطلاح این است: مجموعه ای از معادلات است که مجهولات مشترک و جواب مشترک دارند. به عنوان یک قاعده، در مدرسه همه چیز توسط سیستم ها تصمیم می گرفتبا دو یا حتی سه معادله اما سیستم هایی با چهار جزء یا بیشتر وجود دارد. بیایید ابتدا نحوه نوشتن آنها را دریابیم تا بعداً حل آنها راحت باشد. اول، اگر همه متغیرها به صورت x با شاخص مناسب نوشته شوند: 1، 2، 3 و غیره، سیستم معادلات جبری خطی بهتر به نظر می رسد. ثانیا، تمام معادلات باید به شکل متعارف کاهش یابد: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
بعد از تمام این مراحل، می توانیم در مورد چگونگی یافتن راه حل برای سیستم های معادلات خطی صحبت کنیم. ماتریس ها برای این کار بسیار مفید خواهند بود.
ماتریس
ماتریس جدولی است که از سطرها و ستون ها تشکیل شده است و عناصر آن در محل تقاطع آنها قرار دارند. اینها می توانند مقادیر یا متغیرهای خاص باشند. اغلب، برای تعیین عناصر، زیرنویس‌هایی در زیر آنها قرار می‌گیرند (به عنوان مثال، a11 یا a23). شاخص اول به معنای شماره ردیف و شاخص دوم شماره ستون است. روی ماتریس ها و همچنین هر عنصر ریاضی دیگری، می توانید عملیات مختلفی را انجام دهید. بنابراین می توانید:
1) جداول هم اندازه را تفریق و اضافه کنید.
2) یک ماتریس را در یک عدد یا بردار ضرب کنید.
3) Transpose: ردیف‌های ماتریس را به ستون و ستون‌ها را به ردیف تبدیل کنید.
4) اگر تعداد سطرهای یکی از آنها برابر است با تعداد ستون های دیگری، ماتریس ها را ضرب کنید.
همه این تکنیک ها را با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار خواهیم داد، زیرا در آینده برای ما مفید خواهند بود. تفریق و اضافه کردن ماتریس ها بسیار آسان است. بنابراینهمانطور که ماتریس هایی با اندازه یکسان می گیریم، هر عنصر از یک جدول با هر عنصر دیگری مطابقت دارد. بنابراین، ما این دو عنصر را اضافه (تفریق) می کنیم (مهم است که آنها در مکان های یکسانی در ماتریس خود باشند). وقتی یک ماتریس را در یک عدد یا بردار ضرب می کنید، کافی است هر عنصر ماتریس را در آن عدد (یا بردار) ضرب کنید. انتقال فرآیند بسیار جالبی است. گاهی اوقات دیدن آن در زندگی واقعی بسیار جالب است، مثلاً هنگام تغییر جهت تبلت یا تلفن. نمادهای روی دسک‌تاپ یک ماتریس هستند و وقتی موقعیت را تغییر می‌دهید، جابجا می‌شود و پهن‌تر می‌شود، اما ارتفاع آن کاهش می‌یابد.
بیایید نگاهی دیگر به فرآیندی مانند ضرب ماتریس بیندازیم. اگرچه برای ما مفید نخواهد بود، اما دانستن آن همچنان مفید خواهد بود. فقط در صورتی می توانید دو ماتریس را ضرب کنید که تعداد ستون های یک جدول با تعداد ردیف های جدول دیگر برابر باشد. حالا بیایید عناصر یک ردیف از یک ماتریس و عناصر ستون مربوط به ماتریس دیگر را در نظر بگیریم. آنها را در یکدیگر ضرب می کنیم و سپس آنها را جمع می کنیم (یعنی برای مثال حاصل ضرب عناصر a11 و a12 در b 12و b22 برابر خواهد بود با: a11b12 + a 12 b22). بنابراین، یک عنصر از جدول به دست می آید، و با روشی مشابه پر می شود.
اکنون می توانیم شروع به بررسی نحوه حل سیستم معادلات خطی کنیم.
روش گاوس
این مبحث حتی در مدرسه شروع به گذراندن می کند. ما مفهوم "سیستم دو معادله خطی" را به خوبی می دانیم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم.اما اگر تعداد معادلات بیش از دو باشد چه؟ روش گاوس به ما در این امر کمک خواهد کرد.
البته، اگر ماتریسی از سیستم بسازید، استفاده از این روش راحت است. اما شما نمی توانید آن را تغییر دهید و آن را در خالص ترین شکل آن حل کنید.
پس چگونه این روش سیستم معادلات گاوسی خطی را حل می کند؟ به هر حال، اگرچه این روش به نام او نامگذاری شده است، اما در دوران باستان کشف شده است. گاوس موارد زیر را پیشنهاد می کند: انجام عملیات با معادلات به منظور کاهش کل مجموعه به شکل پلکانی. یعنی لازم است که از بالا به پایین (در صورت قرار دادن صحیح) از معادله اول تا آخر، یک مجهول کاهش یابد. به عبارت دیگر، ما باید مطمئن شویم که مثلاً سه معادله به دست می آوریم: در اولی - سه مجهول، در دومی - دو، در سومی - یک. سپس از آخرین معادله، مجهول اول را پیدا می کنیم، مقدار آن را با معادله دوم یا اول جایگزین می کنیم و سپس دو متغیر باقی مانده را پیدا می کنیم.
روش کرامر
برای تسلط بر این روش، تسلط بر مهارت های جمع، تفریق ماتریس ها ضروری است، و همچنین باید بتوانید عوامل تعیین کننده را پیدا کنید. بنابراین، اگر همه اینها را ضعیف انجام دهید یا اصلاً نمی دانید چگونه باید یاد بگیرید و تمرین کنید.
ماهیت این روش چیست و چگونه می توان آن را طوری ساخت که یک سیستم معادلات خطی کرامر به دست آید؟ همه چیز بسیار ساده است. ما باید یک ماتریس از ضرایب عددی (تقریباً همیشه) یک سیستم معادلات جبری خطی بسازیم. برای این کار کافی است اعداد را جلوی مجهولات بگیرید و آنها را مرتب کنیدجدول به ترتیبی که در سیستم ثبت می شوند. اگر قبل از عدد علامت "-" باشد، یک ضریب منفی را یادداشت می کنیم. بنابراین، ماتریس اول را از ضرایب مجهولات، بدون احتساب اعداد بعد از علائم مساوی، جمع آوری کرده ایم (به طور طبیعی، معادله باید به شکل متعارف کاهش یابد، زمانی که فقط عدد در سمت راست باشد، و همه مجهولات با ضرایب سمت چپ). سپس باید چندین ماتریس دیگر ایجاد کنید - یکی برای هر متغیر. برای انجام این کار، به نوبه خود هر ستون را با ضرایب در ماتریس اول با ستونی از اعداد بعد از علامت مساوی جایگزین می کنیم. بنابراین، ما چندین ماتریس را به دست می آوریم و سپس عوامل تعیین کننده آنها را پیدا می کنیم.
بعد از اینکه ما عوامل تعیین کننده را پیدا کردیم، موضوع کوچک است. ما یک ماتریس اولیه داریم و ماتریس های متعددی وجود دارد که با متغیرهای مختلف مطابقت دارند. برای به دست آوردن جواب های سیستم، تعیین کننده جدول حاصل را بر تعیین کننده جدول اولیه تقسیم می کنیم. عدد حاصل مقدار یکی از متغیرها است. به طور مشابه، ما همه مجهولات را پیدا می کنیم.
روش های دیگر
چندین روش دیگر برای به دست آوردن جواب سیستم معادلات خطی وجود دارد. به عنوان مثال، روش گاوس-جردن نامیده می شود که برای یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات درجه دوم استفاده می شود و همچنین با استفاده از ماتریس ها همراه است. همچنین یک روش ژاکوبی برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی وجود دارد. این ساده ترین روش برای انطباق با رایانه است و در محاسبات استفاده می شود.
موارد دشوار
پیچیدگی معمولاً زمانی رخ می دهد که تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد. سپس می توان با اطمینان گفت که یا سیستم ناسازگار است (یعنی ریشه ندارد) یا تعداد راه حل های آن به بی نهایت میل می کند. اگر حالت دوم را داشته باشیم، باید جواب کلی سیستم معادلات خطی را بنویسیم. حداقل شامل یک متغیر خواهد بود.
نتیجه گیری
اینجا به پایان رسیدیم. به طور خلاصه: ما تجزیه و تحلیل کرده ایم که یک سیستم و یک ماتریس چیست، ما یاد گرفته ایم که چگونه یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنیم. علاوه بر این، گزینه های دیگری نیز در نظر گرفته شد. ما متوجه شدیم که چگونه سیستم معادلات خطی حل می شود: روش گاوس و روش کرامر. ما در مورد موارد دشوار و راه های دیگر برای یافتن راه حل صحبت کردیم.
در واقع این مبحث بسیار گسترده تر است و اگر می خواهید آن را بهتر درک کنید، به شما توصیه می کنیم ادبیات تخصصی تری بخوانید.
