هندسه زیباست، زیرا برخلاف جبر، جایی که همیشه روشن نیست به چه فکر می کنید و چرا، به شی دید می بخشد. این دنیای شگفت انگیز از بدن های مختلف با چند وجهی منظم تزئین شده است.
اطلاعات کلی درباره چندوجهی معمولی
به عقیده بسیاری، چندوجهی منظم، یا همانطور که به آنها جامدات افلاطونی نیز گفته می شود، خواص منحصر به فردی دارند. چندین فرضیه علمی با این اشیا مرتبط است. وقتی شروع به مطالعه این اجسام هندسی می کنید، متوجه می شوید که عملاً چیزی در مورد مفهومی به عنوان چند وجهی منظم نمی دانید. ارائه این اشیاء در مدرسه همیشه جالب نیست، بنابراین بسیاری حتی به یاد نمی آورند که نام آنها چیست. بیشتر مردم فقط مکعب را به خاطر می آورند. هیچ یک از اجسام در هندسه به اندازه چندوجهی منظم کامل نیستند. همه نام‌های این اجسام هندسی از یونان باستان گرفته شده است. منظور آنها تعداد وجوه است: چهار وجهی - چهار وجهی، شش وجهی - شش وجهی، هشت وجهی - هشت وجهی، دوازده وجهی - دوازده وجهی، ایکو وجهی - بیست وجهی. این همه اجسام هندسیجایگاه مهمی در مفهوم افلاطون از جهان داشت. چهار نفر از آنها عناصر یا موجودات را به تصویر می کشند: چهار وجهی - آتش، ایکو وجهی - آب، مکعب - زمین، هشت وجهی - هوا. دوازده وجهی هر چیزی را که وجود دارد مجسم می کرد. این نماد اصلی در نظر گرفته می شد، زیرا نمادی از جهان بود.
تعمیم مفهوم چندوجهی
یک چند وجهی مجموعه ای از تعداد محدودی از چند ضلعی است به طوری که:
- هر یک از اضلاع هر یک از چند ضلعی ها همزمان ضلع یک چندضلعی دیگر در همان ضلع است؛
- از هر یک از چند ضلعی ها می توانید با عبور از چند ضلعی های مجاور آن به چند ضلعی های دیگر برسید.
چند ضلعی هایی که یک چندوجهی را تشکیل می دهند وجه های آن و اضلاع آن ها لبه ها هستند. رئوس چند وجهی رئوس چندضلعی ها هستند. اگر مفهوم چند ضلعی به عنوان خطوط شکسته بسته مسطح درک شود، آنگاه به تعریفی از چندوجهی می رسیم. در صورتی که این مفهوم به معنای بخشی از صفحه باشد که با خطوط شکسته محدود شده است، باید سطحی متشکل از قطعات چند ضلعی درک شود. چندوجهی محدب جسمی است که در یک طرف صفحه مجاور صورت آن قرار دارد.
تعریف دیگر از چندوجهی و عناصر آن
چند وجهی سطحی متشکل از چندضلعی است که جسم هندسی را محدود می کند. آنها عبارتند از:
- غیر محدب;
- محدب (درست و نادرست).
یک چندوجهی منظم یک چندوجهی محدب با حداکثر تقارن است. عناصر چند وجهی منظم:
- چهاروجهی: 6 یال، 4 وجه، 5 راس؛
- هگزادرون (مکعب): 12، 6، 8؛
- دوده وجهی: 30، 12، 20؛
- هشت وجهی: 12، 8، 6;
- ایکوساهدرون: 30، 20، 12.
قضیه اویلر
رابطه ای بین تعداد یال ها، رئوس و وجوهی که از نظر توپولوژیکی معادل یک کره هستند برقرار می کند. با اضافه کردن تعداد رئوس و وجه‌ها (B + D) چند وجهی‌های منظم مختلف و مقایسه آنها با تعداد یال‌ها، می‌توان یک الگو را ایجاد کرد: مجموع تعداد وجه‌ها و رئوس برابر است با افزایش یال‌ها (P) با 2. می توانید یک فرمول ساده استخراج کنید:
B + D=R + 2
این فرمول برای همه چندوجهی محدب صادق است.
تعاریف پایه
مفهوم چندوجهی منظم را نمی توان در یک جمله توصیف کرد. معنی دارتر و پرحجم تر است. برای اینکه یک بدن به عنوان چنین شناخته شود، باید تعدادی از تعاریف را رعایت کند. بنابراین، یک جسم هندسی یک چندوجهی منظم خواهد بود اگر شرایط زیر وجود داشته باشد:
- محدب است؛
- تعداد یکسان یال در هر یک از رئوس آن همگرا می شوند؛
- همه وجوه آن چند ضلعی منظم و برابر با یکدیگر هستند؛
- همه زوایای دو وجهی آن برابر است.
خواص چندوجهی معمولی
5 نوع مختلف چند وجهی منظم وجود دارد:
- مکعب (هگزا وجهی) - دارای یک زاویه صاف در بالا 90 درجه است.دارای زاویه 3 وجهی است. مجموع زوایای صاف در بالا 270 درجه است.
- چهار وجهی - زاویه صاف در بالا - 60 درجه. دارای زاویه 3 وجهی است. مجموع زوایای صاف در بالا 180 درجه است.
- هشت وجهی - زاویه راس صاف - 60 درجه. دارای نبشی 4 طرفه. مجموع زوایای صاف در بالا 240 درجه است.
- دوده وجهی - زاویه صاف در راس 108 درجه. دارای زاویه 3 وجهی است. مجموع زوایای صاف در بالا 324 درجه است.
- Icosahedron - دارای یک زاویه صاف در بالا - 60 درجه است. دارای زاویه 5 ضلعی. مجموع زوایای مسطح در بالا 300 درجه است.
مساحت چندوجهی منظم
مساحت سطح این اجسام هندسی (S) به عنوان مساحت یک چندضلعی منتظم ضرب در تعداد وجوه آن (G) محاسبه می شود:
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
حجم یک چندوجهی منظم
این مقدار با ضرب حجم یک هرم منتظم که در قاعده آن یک چندضلعی منتظم وجود دارد در تعداد وجوه و ارتفاع آن شعاع کره محاطی شده (r) محاسبه می شود:
V=1: 3rS
جلدهای چندوجهی معمولی
مثل هر جسم هندسی دیگری، چندوجهی های منظم حجم های متفاوتی دارند. در زیر فرمول هایی وجود دارد که می توانید آنها را محاسبه کنید:
- چهاروجهی: α x 3√2: 12;
- هشت وجهی: α x 3√2: 3;
- ایکو وجهی; α x 3;
- هگزادرون (مکعب): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- دوده وجهی: α x 3 (15 + 7√5): 4.
عناصر چندوجهی منظم
هگزادرون و هشت وجهی اجسام هندسی دوتایی هستند. به عبارت دیگر، اگر مرکز ثقل صورت یکی را رأس دیگری در نظر بگیریم، می توان آنها را از یکدیگر به دست آورد و بالعکس. ایکو وجهی و دوازده وجهی نیز دوتایی هستند. فقط چهار وجهی برای خودش دوگانه است. بر اساس روش اقلیدس، می توانید با ساختن "سقف" روی وجه های یک مکعب، یک دوازده وجهی از یک شش وجهی بدست آورید. رئوس یک چهار وجهی هر 4 رأس مکعبی است که به صورت جفت در امتداد یک یال مجاور نیستند. از شش وجهی (مکعب) می توانید چند وجهی منظم دیگر را بدست آورید. علیرغم این واقعیت که چند ضلعی های منظم بی شماری وجود دارد، تنها 5 چند وجهی منظم وجود دارد.
شعاع چندضلعی های منظم
3 کره متحدالمرکز با هر یک از این اجسام هندسی مرتبط هستند:
- توصیف شد، گذر از قله های آن؛
- نوشته شده، با لمس هر یک از چهره های آن در مرکز آن؛
- میانگین، لمس تمام لبه ها در وسط.
شعاع کره توصیف شده با فرمول زیر محاسبه می شود:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
شعاع یک کره محاطی شده با فرمول محاسبه می شود:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2،
جایی که θ زاویه دو وجهی بین وجوه مجاور است.
شعاع کره میانه را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:
ρ=cos π/p: 2 sin π/h،
که در آن مقدار h=4، 6، 6، 10 یا 10 است. نسبت شعاعهای محصور و محاط شده نسبت به p و q متقارن است. آی تیمحاسبه شده با فرمول:
R/r=tg π/p x tg π/q
تقارن چندوجهی
تقارن چندوجهی منظم باعث علاقه اصلی به این اجسام هندسی می شود. این به عنوان حرکتی از بدن در فضا درک می شود که همان تعداد رئوس، صورت و لبه ها را به جا می گذارد. به عبارت دیگر، تحت تأثیر یک تبدیل تقارن، یک یال، راس، وجه یا موقعیت اصلی خود را حفظ می‌کند یا به موقعیت اصلی یک یال، راس یا وجه دیگر حرکت می‌کند.
عناصر تقارن چندوجهی منظم مشخصه همه انواع این اجسام هندسی است. در اینجا ما در مورد یک تبدیل یکسان صحبت می کنیم که هر یک از نقاط را در موقعیت اصلی خود باقی می گذارد. بنابراین، هنگامی که یک منشور چند ضلعی را می چرخانید، می توانید چندین تقارن به دست آورید. هر یک از آنها را می توان به عنوان محصول بازتاب ها نشان داد. تقارنی که حاصل ضرب تعداد زوج انعکاس باشد خط مستقیم نامیده می شود. اگر حاصل ضرب تعداد فرد بازتاب باشد، آن را معکوس می گویند. بنابراین، تمام چرخش ها در مورد یک خط تقارن مستقیم هستند. هر بازتابی از چند وجهی یک تقارن معکوس است.
برای درک بهتر عناصر تقارن چندوجهی منظم، می‌توانیم یک چهار وجهی را مثال بزنیم. هر خط مستقیمی که از یکی از رئوس و مرکز این شکل هندسی بگذرد از مرکز صورت مقابل آن نیز عبور خواهد کرد. هر یک از پیچ های 120 درجه و 240 درجه به دور خط جمع است.تقارن چهار وجهی از آنجایی که دارای 4 راس و 4 وجه است، تنها هشت تقارن مستقیم وجود دارد. هر یک از خطوطی که از وسط لبه می گذرد و مرکز این بدنه از وسط لبه مقابل خود می گذرد. هر چرخش 180 درجه ای که نیم چرخش نامیده می شود، حول یک خط مستقیم یک تقارن است. از آنجایی که چهار وجهی دارای سه جفت لبه است، سه تقارن مستقیم دیگر نیز وجود دارد. با توجه به موارد فوق، می توان نتیجه گرفت که تعداد کل تقارن های مستقیم، با احتساب تبدیل یکسان، به دوازده خواهد رسید. چهار وجهی هیچ تقارن مستقیم دیگری ندارد، اما دارای 12 تقارن معکوس است. بنابراین، چهار وجهی با مجموع 24 تقارن مشخص می شود. برای وضوح، می توانید مدلی از چهار وجهی منظم از مقوا بسازید و مطمئن شوید که این بدنه هندسی واقعاً فقط 24 تقارن دارد.
دوازده وجهی و ایکوز وجهی نزدیکترین به کره بدن هستند. ایکوساهدر دارای بیشترین تعداد وجه، بزرگترین زاویه دو وجهی است و می توان آن را به شدت روی یک کره محاطی فشار داد. دوازده وجهی کوچکترین نقص زاویه ای، بزرگترین زاویه جامد در راس را دارد. او می تواند کره توصیف شده خود را به حداکثر پر کند.
Sweeps of polyhedra
چند وجهی معمولی بدون پیچ، که همه ما در کودکی به هم چسبانده بودیم، مفاهیم زیادی دارد. اگر مجموعه ای از چند ضلعی ها وجود داشته باشد که هر ضلع آن تنها با یک ضلع چند وجهی مشخص شده باشد، شناسایی اضلاع باید دارای دو شرط باشد:
- از هر چند ضلعی، می توانید روی چند ضلعی هایی که دارای آن هستند برویدطرف شناسایی شده؛
- اضلاع مشخص شده باید دارای طول یکسان باشند.
مجموعه چند ضلعی است که این شرایط را برآورده می کند که توسعه چندوجهی نامیده می شود. هر یک از این اجسام دارای چندین مورد از آنها هستند. بنابراین، برای مثال، یک مکعب 11 عدد از آنها دارد.
