سطوح مرتبه دوم: نمونه‌ها

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

دانش آموز اغلب در سال اول با سطوح درجه 2 مواجه می شود. در ابتدا، وظایف مربوط به این موضوع ممکن است ساده به نظر برسند، اما با مطالعه ریاضیات عالی و عمیق شدن در جنبه علمی، در نهایت می توانید از جهت گیری خود در آنچه در حال وقوع است دست بردارید. برای جلوگیری از این اتفاق، نه تنها باید به خاطر بسپارید، بلکه باید درک کنید که چگونه این یا آن سطح به دست می‌آید، چگونه تغییر ضرایب روی آن و مکان آن نسبت به سیستم مختصات اصلی تأثیر می‌گذارد، و چگونه می‌توان یک سیستم جدید پیدا کرد. (یکی که مرکز آن با مختصات مبدا منطبق است و محور تقارن با یکی از محورهای مختصات موازی است). بیایید از اول شروع کنیم.

تعریف

GMT یک سطح مرتبه دوم نامیده می شود که مختصات آن معادله کلی شکل زیر را برآورده می کند:

F(x, y, z)=0.

مشخص است که هر نقطه متعلق به سطح باید دارای سه مختصات در یک مبنای مشخص باشد. اگرچه در برخی موارد مکان نقاط می تواند به عنوان مثال به یک صفحه تبدیل شود. فقط به این معنی است که یکی از مختصات ثابت است و در کل محدوده مقادیر قابل قبول برابر با صفر است.

فرم کامل نقاشی شده برابری ذکر شده در بالا به این صورت است:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A₂₃ yz+2A₁₃xz+2A₁₄x+2A₂₄y+2A ₃₄z+A_44=0.

A_{nm- برخی از ثابت‌ها، x، y، z - متغیرهای مربوط به مختصات وابسته یک نقطه. در این حالت حداقل یکی از عوامل ثابت نباید برابر با صفر باشد، یعنی هیچ نقطه ای با معادله مطابقت نخواهد داشت.}

در اکثریت قریب به اتفاق مثال‌ها، بسیاری از فاکتورهای عددی هنوز به طور یکسان برابر با صفر هستند و این معادله بسیار ساده شده است. در عمل، تعیین اینکه آیا یک نقطه به یک سطح تعلق دارد کار دشواری نیست (کافی است مختصات آن را در معادله جایگزین کنید و بررسی کنید که آیا هویت مشاهده شده است). نکته کلیدی در چنین کاری این است که دومی را به شکلی متعارف برسانیم.

معادله نوشته شده در بالا هر سطح (همه در زیر فهرست شده است) از مرتبه دوم را تعریف می کند. در زیر نمونه هایی را در نظر خواهیم گرفت.

انواع سطوح مرتبه دوم

معادلات سطوح مرتبه دوم فقط در مقادیر ضرایب A_{nm متفاوت است. از دید کلی، برای مقادیر معینی از ثابت ها، سطوح مختلفی را می توان به دست آورد که به صورت زیر طبقه بندی می شوند:}

1. سیلندر.
2. نوع بیضوی.
3. نوع هایپربولیک.
4. نوع مخروطی.
5. نوع سهموی.
6. هواپیماها.

هر یک از انواع ذکر شده دارای یک شکل طبیعی و خیالی است: در شکل خیالی، مکان نقاط واقعی یا به شکل ساده‌تری منحط می‌شود یا کلاً وجود ندارد.

سیلندر

این ساده ترین نوع است، زیرا یک منحنی نسبتاً پیچیده فقط در پایه قرار دارد و به عنوان راهنما عمل می کند. ژنراتورها خطوط مستقیم عمود بر صفحه ای هستند که قاعده در آن قرار دارد.

نمودار یک استوانه دایره ای، یک مورد خاص از یک استوانه بیضوی را نشان می دهد. در صفحه XY، طرح آن یک بیضی (در مورد ما، یک دایره) خواهد بود - یک راهنما، و در XZ - یک مستطیل - زیرا ژنراتورها با محور Z موازی هستند. برای بدست آوردن آن از معادله کلی، شما نیاز دارید برای دادن ضرایب مقادیر زیر:

به جای نمادهای معمول x، y، z، x با شماره سریال استفاده می شود - مهم نیست.

در واقع، 1/a2و سایر ثابت های نشان داده شده در اینجا همان ضرایبی هستند که در معادله کلی نشان داده شده اند، اما مرسوم است که آنها را به این شکل بنویسید - این نمایندگی متعارف. علاوه بر این، فقط از چنین نمادی استفاده می شود.

به این صورت استوانه هایپربولیک تعریف می شود. طرح یکسان است - هذلول راهنما خواهد بود.

y2=2px

یک استوانه سهموی تا حدودی متفاوت تعریف می شود: شکل متعارف آن شامل یک ضریب p است که یک پارامتر نامیده می شود. در واقع این ضریب برابر است با q=2p، اما مرسوم است که آن را به دو عامل ارائه شده تقسیم کنیم.

نوع دیگری از استوانه وجود دارد: خیالی. هیچ نقطه واقعی به چنین سیلندر تعلق ندارد. با معادله توصیف می شوداستوانه بیضوی، اما به جای واحد -1 است.

نوع بیضوی

یک بیضی را می توان در امتداد یکی از محورها (که در امتداد آن به مقادیر ثابت های a، b، c، نشان داده شده در بالا بستگی دارد) کشیده شود؛ بدیهی است که ضریب بزرگتر با محور بزرگتر مطابقت دارد.).

یک بیضی موهومی نیز وجود دارد - به شرطی که مجموع مختصات ضرب در ضرایب -1 باشد:

هایپربولوئید

وقتی یک منهای در یکی از ثابت ها ظاهر می شود، معادله بیضی به معادله یک هایپربولوئید تک ورق تبدیل می شود. باید درک کرد که این منهای نباید قبل از مختصات x₃ قرار گیرد! این فقط تعیین می کند که کدام یک از محورها محور چرخش هیپربولوئید (یا موازی با آن باشد، زیرا زمانی که عبارت های اضافی در مربع ظاهر می شوند (به عنوان مثال، (x-2)^{2) مرکز شکل جابه جا می شود، در نتیجه سطح به موازات محورهای مختصات حرکت می کند). این برای همه سطوح مرتبه دوم اعمال می‌شود.}

علاوه بر این، باید بدانید که معادلات به شکل متعارف ارائه می شوند و می توان آنها را با تغییر دادن ثابت ها (با حفظ علامت!) تغییر داد. در حالی که شکل آنها (هیپربولوئید، مخروط و غیره) ثابت خواهد ماند.

این معادله قبلاً توسط یک هایپربولوئید دو صفحه ای ارائه شده است.

سطح مخروطی

هیچ واحدی در معادله مخروط وجود ندارد - برابری با صفر.

فقط یک سطح مخروطی محدود را مخروط می گویند. تصویر زیر نشان می دهد که در واقع دو مخروط به اصطلاح روی نمودار وجود خواهد داشت.

نکته مهم: در تمام معادلات متعارف در نظر گرفته شده، ثابت ها به طور پیش فرض مثبت در نظر گرفته می شوند. در غیر این صورت، علامت ممکن است بر نمودار نهایی تأثیر بگذارد.

صفحات مختصات به صفحات تقارن مخروط تبدیل می شوند، مرکز تقارن در مبدا قرار دارد.

در معادله مخروط خیالی فقط نکات مثبت وجود دارد. یک امتیاز واقعی دارد.

پارابولوئید

سطوح درجه ۲ در فضا حتی با معادلات مشابه می توانند اشکال مختلفی داشته باشند. برای مثال، دو نوع پارابولوئید وجود دارد.

x²/a²+y²/b^۲=2z

یک پارابولوئید بیضوی، زمانی که محور Z عمود بر نقشه باشد، به شکل بیضی نمایش داده می شود.

x²/a²-y²/b^۲=2z

هذلولی: مقاطعی با صفحات موازی با ZY سهمی تولید می کنند و مقاطعی با صفحات موازی با XY هذلولی تولید می کنند.

صفحه های متقاطع

مواردی وجود دارد که سطوح درجه 2 به یک صفحه تبدیل می شوند. این هواپیماها را می توان به روش های مختلفی مرتب کرد.

ابتدا صفحات متقاطع را در نظر بگیرید:

x²/a²-y²/b^۲=0

این اصلاح معادله متعارف فقط به دو صفحه متقاطع منجر می شود (خیالی!). همه نقاط واقعی روی محور مختصاتی هستند که در معادله گم شده است (در محور - متعارف).

صفحه های موازی

y²=a²

وقتی فقط یک مختصات وجود دارد، سطوح مرتبه دوم به یک جفت صفحه موازی تبدیل می شوند. به یاد داشته باشید، هر متغیر دیگری می تواند جای Y را بگیرد. سپس صفحات موازی با محورهای دیگر به دست می آیند.

y²=−a²

در این صورت آنها خیالی می شوند.

هواپیماهای همزمان

y2=0

با چنین معادله ساده ای، یک جفت صفحه به یکی تبدیل می شوند - آنها منطبق می شوند.

فراموش نکنید که در مورد پایه سه بعدی، معادله بالا خط مستقیم y=0 را تعریف نمی کند! فاقد دو متغیر دیگر است، اما این فقط به این معنی است که مقدار آنها ثابت و برابر با صفر است.

ساختمان

یکی از سخت ترین کارها برای یک دانش آموز ساخت سطوح درجه 2 است. با توجه به زوایای منحنی نسبت به محورها و انحراف مرکز، حرکت از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر دشوارتر است. بیایید نحوه تعیین مداوم نمای آینده نقاشی را با یک تحلیلی تکرار کنیمراه.

برای ساختن یک سطح مرتبه دوم، شما نیاز دارید:

• معادله را به شکل متعارف برسانید؛
• تعیین نوع سطح مورد مطالعه؛
• ساخت بر اساس مقادیر ضرایب.

در زیر همه انواع در نظر گرفته شده است:

برای ادغام، اجازه دهید یک نمونه از این نوع کارها را به تفصیل شرح دهیم.

نمونه

فرض کنید معادله ای وجود دارد:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

بیایید آن را به شکل متعارف برسانیم. اجازه دهید مجذورهای کامل را جدا کنیم، یعنی اصطلاحات موجود را طوری مرتب کنیم که بسط مجذور مجموع یا تفاوت باشند. برای مثال: اگر (a+1)²=a²+2a+1 سپس a²+2a +1=(a+1)^{2. ما عملیات دوم را انجام خواهیم داد. در این حالت، نیازی به باز کردن براکت ها نیست، زیرا این کار فقط محاسبات را پیچیده می کند، اما باید ضریب مشترک 6 (در پرانتز با مربع کامل Y) را خارج کرد:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

متغیر z در این مورد فقط یک بار رخ می دهد - فعلاً می توانید آن را به حال خود رها کنید.

ما معادله را در این مرحله تجزیه و تحلیل می کنیم: قبل از همه مجهولات یک علامت مثبت وجود دارد. وقتی بر شش تقسیم می شود، یکی باقی می ماند. بنابراین، ما معادله ای داریم که یک بیضی را تعریف می کند.

توجه داشته باشید که 144 در 150-6 فاکتور شد و پس از آن عدد -6 به سمت راست منتقل شد. چرا باید به این شکل انجام می شد؟ بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه در این مثال -6 است به طوری که پس از تقسیم بر آنیکی در سمت راست چپ است، باید دقیقاً 6 را از 144 به تعویق بیندازید (این واقعیت که فرد باید در سمت راست باشد با وجود یک جمله آزاد نشان داده می شود - ثابتی که در مجهول ضرب نمی شود).

همه چیز را بر شش تقسیم کنید و معادله متعارف بیضی را بدست آورید:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

در طبقه‌بندی سطوح مرتبه دوم که قبلاً استفاده می‌شد، زمانی که مرکز شکل در مبدا مختصات باشد، مورد خاصی در نظر گرفته می‌شود. در این مثال، آفست است.

فرض می کنیم که هر پرانتز با مجهولات یک متغیر جدید است. یعنی: a=x-1، b=y+5، c=z. در مختصات جدید، مرکز بیضی با نقطه (0، 0، 0) منطبق است، بنابراین، a=b=c=0، از آنجا: x=1، y=-5، z=0. در مختصات اولیه، مرکز شکل در نقطه (1، -5، 0) قرار دارد.

بیضی از دو بیضی به دست می آید: اولی در صفحه XY و دومی در صفحه XZ (یا YZ - مهم نیست). ضرایبی که بر اساس آن متغیرها تقسیم می شوند در معادله متعارف مجذور می شوند. بنابراین، در مثال بالا، تقسیم بر ریشه دو، یک و ریشه سه صحیح تر است.

محور فرعی بیضی اول، موازی با محور Y، دو است. محور اصلی موازی با محور x دو ریشه دو است. محور فرعی بیضی دوم، موازی با محور Y، ثابت می ماند - برابر با دو است. و محور اصلی، موازی با محور Z، برابر با دو ریشه از سه است.

با کمک داده های بدست آمده از معادله اصلی با تبدیل به شکل متعارف، می توانیم یک بیضی رسم کنیم.

جمع بندی

در این مقاله پوشش داده شده استموضوع بسیار گسترده است، اما، در واقع، همانطور که اکنون می بینید، خیلی پیچیده نیست. توسعه آن، در واقع، در لحظه ای به پایان می رسد که نام و معادلات سطوح (و، البته، ظاهر آنها) را به خاطر بسپارید. در مثال بالا، هر مرحله را به تفصیل مورد بحث قرار داده‌ایم، اما آوردن معادله به شکل متعارف مستلزم حداقل دانش ریاضیات عالی است و نباید برای دانش‌آموز مشکلی ایجاد کند.

تحلیل برنامه آینده در برابر برابری موجود در حال حاضر کار دشوارتری است. اما برای حل موفقیت آمیز آن، کافی است درک کنیم که منحنی های مرتبه دوم مربوطه چگونه ساخته می شوند - بیضی ها، سهمی ها و موارد دیگر.

موارد انحطاط - بخش ساده‌تر. به دلیل عدم وجود برخی متغیرها، نه تنها محاسبات، همانطور که قبلا ذکر شد، بلکه خود ساخت نیز ساده شده است.

به محض اینکه با اطمینان می توانید همه انواع سطوح را نامگذاری کنید، ثابت ها را تغییر دهید، نمودار را به یک شکل یا شکل دیگر تبدیل کنید - موضوع تسلط پیدا می کند.

موفقیت در تحصیل!