برای فهمیدن اینکه نقاط انتهایی یک تابع چیست، اصلاً لازم نیست که از وجود مشتقات اول و دوم بدانیم و معنای فیزیکی آنها را بفهمیم. ابتدا باید موارد زیر را درک کنید:
- تابع تابع حداکثر کردن یا برعکس، به حداقل رساندن مقدار تابع در یک همسایگی خودسرانه کوچک؛
- نباید وقفه تابع در نقطه اکسترموم وجود داشته باشد.
و حالا هم همینطور، فقط به زبان ساده. به نوک یک خودکار نگاه کنید. اگر قلم به صورت عمودی قرار گیرد و نوشته به پایان برسد، آنگاه وسط توپ نقطه افراطی خواهد بود - بالاترین نقطه. در این مورد، ما در مورد حداکثر صحبت می کنیم. حال، اگر قلم را با انتهای نوشته رو به پایین بچرخانید، در وسط توپ از قبل حداقل تابع وجود خواهد داشت. با کمک شکل داده شده در اینجا، می توانید دستکاری های ذکر شده برای یک مداد لوازم التحریر را تصور کنید. بنابراین، حداکثر یک تابع همیشه نقاط بحرانی هستند: حداکثر یا حداقل آن. بخش مجاور نمودار می تواند به طور دلخواه تیز یا صاف باشد، اما باید در هر دو طرف وجود داشته باشد، فقط در این مورد نقطه یک اکسترموم است. اگر نمودار فقط در یک طرف وجود داشته باشد، این نقطه حتی اگر در یک طرف باشد افراطی نخواهد بودشرایط افراطی برآورده می شود. حال بیایید مازاد تابع را از دیدگاه علمی بررسی کنیم. برای اینکه یک نقطه افراطی تلقی شود لازم و کافی است:
- اولین مشتق برابر با صفر بود یا در نقطه وجود نداشت؛
- اولین مشتق علامت خود را در این مرحله تغییر داد.
شرط از دیدگاه مشتقات مرتبه بالاتر تا حدودی متفاوت تفسیر می شود: برای یک تابع قابل تفکیک در یک نقطه، کافی است یک مشتق مرتبه فرد وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، در حالی که همه مشتقات مرتبه پایین باید وجود داشته باشند و برابر با صفر باشند. این ساده ترین تفسیر قضایای کتاب های درسی ریاضیات عالی است. اما برای معمولی ترین افراد، توضیح این نکته با یک مثال خالی از لطف نیست. اساس یک سهمی معمولی است. فورا رزرو کنید، در نقطه صفر حداقل است. فقط کمی ریاضی:
- مشتق اول (X2)|=2X، برای نقطه صفر 2X=0;
- مشتق دوم (2X)|=2، برای نقطه صفر 2=2.
این یک تصویر ساده از شرایطی است که هم برای مشتقات مرتبه اول و هم برای مشتقات مرتبه بالاتر، انتهاهای تابع را تعیین می کند. ما می توانیم به این اضافه کنیم که مشتق دوم فقط همان مشتق یک مرتبه فرد است، نامساوی با صفر، که کمی بالاتر مورد بحث قرار گرفت. وقتی صحبت از حداکثر یک تابع از دو متغیر می شود، شرایط باید برای هر دو آرگومان برقرار باشد. چه زمانیتعمیم رخ می دهد، سپس از مشتقات جزئی استفاده می شود. یعنی وجود یک اکستروم در نقطه ای ضروری است که هر دو مشتق مرتبه اول برابر با صفر باشند یا حداقل یکی از آنها وجود نداشته باشد. برای کفایت وجود یک افراط، عبارتی بررسی می شود که تفاوت حاصلضرب مشتقات مرتبه دوم و مجذور مشتق مرتبه دوم مخلوط تابع است. اگر این عبارت بزرگتر از صفر باشد، آنگاه یک افراط وجود دارد، و اگر صفر وجود داشته باشد، سؤال باز می ماند و تحقیقات بیشتری لازم است.
