حتی در مدرسه، همه دانش آموزان با مفهوم "هندسه اقلیدسی" آشنا می شوند که مفاد اصلی آن حول چندین بدیهیات مبتنی بر عناصر هندسی مانند نقطه، صفحه، خط، حرکت متمرکز شده است. همه آنها با هم چیزی را تشکیل می دهند که مدت ها تحت عنوان "فضای اقلیدسی" شناخته شده است.
فضای اقلیدسی، که تعریف آن مبتنی بر مفهوم ضرب اسکالر بردارها است، یک مورد خاص از یک فضای خطی (آفین) است که تعدادی از الزامات را برآورده می کند. اولاً، حاصل ضرب اسکالر بردارها کاملاً متقارن است، یعنی بردار دارای مختصات (x;y) از نظر کمی با بردار دارای مختصات (y;x) یکسان است، اما در جهت مخالف است.
ثانیاً، اگر حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش انجام شود، نتیجه این عمل مثبت خواهد بود. تنها استثنا موردی خواهد بود که مختصات اولیه و نهایی این بردار برابر با صفر باشد: در این حالت، حاصلضرب آن با خودش نیز برابر با صفر خواهد بود.
ثالثاً، حاصلضرب اسکالر توزیعی است، یعنی می توان یکی از مختصات آن را به مجموع دو مقدار تجزیه کرد که هیچ تغییری در نتیجه نهایی ضرب اسکالر بردارها ایجاد نمی کند. در نهایت، چهارم، هنگامی که بردارها در یک عدد واقعی یکسان ضرب می شوند، حاصل ضرب اسکالر آنها نیز با همان ضریب افزایش می یابد.
اگر تمام این چهار شرط برآورده شود، می توانیم با اطمینان بگوییم که فضای اقلیدسی داریم.
فضای اقلیدسی از نقطه نظر عملی را می توان با مثال های خاص زیر مشخص کرد:
- ساده‌ترین حالت وجود مجموعه‌ای از بردارها با حاصلضرب اسکالر است که طبق قوانین اساسی هندسه تعریف شده است.
- فضای اقلیدسی نیز به دست می آید اگر منظور از بردارها مجموعه محدود معینی از اعداد حقیقی با فرمول معینی باشد که مجموع یا حاصل ضرب اسکالر آنها را توصیف می کند.
- یک مورد خاص از فضای اقلیدسی به اصطلاح فضای صفر است که در صورتی به دست می آید که طول اسکالر هر دو بردار برابر با صفر باشد.
فضای اقلیدسی دارای تعدادی ویژگی خاص است. اولاً، ضریب اسکالر را می توان هم از ضریب اول و هم از فاکتور دوم حاصلضرب اسکالر از براکت خارج کرد، نتیجه این امر به هیچ وجه تغییر نخواهد کرد. دوم، همراه با توزیع عنصر اول اسکالرمحصول، توزیع عنصر دوم نیز عمل می کند. علاوه بر این، علاوه بر مجموع اسکالر بردارها، در مورد تفریق بردار نیز توزیع صورت می گیرد. در نهایت، ثالثاً، وقتی یک بردار به صورت اسکالر در صفر ضرب شود، نتیجه نیز صفر خواهد بود.
بنابراین، فضای اقلیدسی مهمترین مفهوم هندسی مورد استفاده در حل مسائل با آرایش متقابل بردارها نسبت به یکدیگر است که با مفهومی مانند حاصل ضرب اسکالر مشخص می شود.
