بردار جهت مستقیم: تعریف و مثال

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

یک شی هندسی مهم که در فضای مسطح مطالعه می شود یک خط مستقیم است. در فضای سه بعدی، علاوه بر خط مستقیم، یک صفحه نیز وجود دارد. هر دو شی به راحتی با استفاده از بردارهای جهت تعریف می شوند. چیست، چگونه از این بردارها برای تعیین معادلات یک خط مستقیم و یک صفحه استفاده می شود؟ این و سوالات دیگر در مقاله پوشش داده شده است.

خط مستقیم و نحوه تعریف آن

هر دانش آموز ایده خوبی از اینکه در مورد چه شی هندسی صحبت می کند دارد. از دیدگاه ریاضیات، خط مستقیم مجموعه ای از نقاط است که در صورت اتصال زوج دلخواه خود به مجموعه ای از بردارهای موازی منتهی می شود. این تعریف از یک خط برای نوشتن یک معادله برای آن در دو بعد و سه بعد استفاده می شود.

برای توصیف جسم تک بعدی در نظر گرفته شده، از انواع مختلفی از معادلات استفاده می شود که در لیست زیر فهرست شده اند:

نمای عمومی؛
پارامتریک;
بردار;
متعارف یا متقارن؛
در بخش‌ها.

هر یک از این گونه ها مزایایی نسبت به بقیه دارند. به عنوان مثال، استفاده از یک معادله در بخش ها هنگام مطالعه رفتار یک خط مستقیم نسبت به محورهای مختصات راحت است، یک معادله کلی هنگام پیدا کردن یک جهت عمود بر یک خط مستقیم داده شده، و همچنین هنگام محاسبه زاویه آن راحت است. تقاطع با محور x (برای یک حالت صاف).

از آنجایی که موضوع این مقاله به بردار هدایت کننده یک خط مستقیم مربوط می شود، ما فقط معادله ای را که در آن این بردار اساسی است و به طور صریح شامل یک عبارت برداری است، در نظر می گیریم..

مشخص کردن یک خط مستقیم از طریق بردار

فرض کنید چند بردار v¯ با مختصات شناخته شده (a; b; c) داریم. از آنجایی که سه مختصات وجود دارد، بردار در فضا داده می شود. چگونه می توان آن را در یک سیستم مختصات مستطیلی به تصویر کشید؟ این کار بسیار ساده انجام می شود: در هر یک از سه محور، یک قطعه رسم می شود که طول آن برابر با مختصات مربوط به بردار است. نقطه تلاقی سه عمود بر صفحات xy، yz و xz، انتهای بردار خواهد بود. شروع آن نقطه (0; 0; 0) است.

با این وجود، موقعیت داده شده بردار تنها یک موقعیت نیست. به طور مشابه، می توان v را با قرار دادن مبدا آن در یک نقطه دلخواه در فضا ترسیم کرد. این آرگومان ها می گویند که تنظیم یک خط خاص با استفاده از بردار غیرممکن است. خانواده ای از تعداد بی نهایت خط موازی را تعریف می کند.

اکنونمقداری P(x₀؛ y₀؛ z_{0) فضا را ثابت کنید. و شرط را قرار می دهیم: یک خط مستقیم باید از P عبور کند. در این مورد، بردار v¯ نیز باید حاوی این نقطه باشد. آخرین واقعیت به این معنی است که یک خط را می توان با استفاده از P و v تعریف کرد. به صورت معادله زیر نوشته می شود:}

Q=P + λ × v¯

در اینجا Q هر نقطه متعلق به خط است. این نقطه را می توان با انتخاب پارامتر مناسب λ به دست آورد. معادله نوشته شده را معادله برداری و v¯ را بردار جهت خط مستقیم می نامند. با مرتب کردن آن به گونه ای که از P عبور کند و طول آن را با پارامتر λ تغییر دهید، هر نقطه از Q را به عنوان یک خط مستقیم به دست می آوریم.

به شکل مختصات، معادله به صورت زیر نوشته می شود:

(x; y; z)=(x₀; y₀؛ z_{0) + λ × (a; b; c)}

و به شکل صریح (پارامتری) می توانید بنویسید:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

اگر مختصات سوم را در عبارات فوق حذف کنیم، معادلات برداری خط مستقیم را در صفحه بدست می آوریم.

برای چه کارهایی دانستن بردار جهت مفید است؟

به عنوان یک قاعده، اینها وظایفی برای تعیین موازی و عمود بودن خطوط هستند. همچنین، بردار مستقیمی که جهت را تعیین می کند، هنگام محاسبه فاصله بین خطوط مستقیم و یک نقطه و یک خط مستقیم، برای توصیف رفتار یک خط مستقیم نسبت به یک صفحه استفاده می شود.

دواگر خطوط بردار جهت آنها موازی باشند. بر این اساس، عمود بودن خطوط با استفاده از عمود بردارهای آنها ثابت می شود. در این نوع مسائل کافی است حاصل ضرب اسکالر بردارهای در نظر گرفته شده را محاسبه کنید تا به جواب برسید.

در مورد وظایف محاسبه فاصله بین خطوط و نقاط، بردار جهت به صراحت در فرمول مربوطه گنجانده شده است. بیایید آن را بنویسیم:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

اینجا P₁P₂¯ - ساخته شده بر روی نقاط P₁ و P ₂ بخش کارگردانی شده. نقطه P₂ دلخواه است، روی خطی با بردار v¯ قرار دارد، در حالی که نقطه P_{1 نقطه ای است که فاصله باید تا آن باشد. تعیین شود. می تواند مستقل باشد یا متعلق به خط یا صفحه دیگری باشد.}

توجه داشته باشید که محاسبه فاصله بین خطوط فقط زمانی منطقی است که آنها موازی یا متقاطع باشند. اگر همدیگر را قطع کنند، d صفر است.

فرمول بالا برای d برای محاسبه فاصله بین صفحه و خط مستقیم موازی با آن نیز معتبر است، فقط در این حالت P_{1 باید به صفحه تعلق داشته باشد.}

بیایید چندین مسئله را حل کنیم تا نحوه استفاده از بردار در نظر گرفته شده را بهتر نشان دهیم.

مسئله معادله برداری

مشخص است که یک خط مستقیم با معادله زیر توصیف می شود:

y=3 × x - 4

باید عبارت مناسب را در آن بنویسیدفرم برداری.

این یک معادله معمولی از یک خط مستقیم است که برای هر دانش آموز شناخته شده است و به شکل کلی نوشته شده است. بیایید نحوه بازنویسی آن را به صورت برداری نشان دهیم.

عبارت را می توان به صورت: نشان داد

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

مشخص می شود که اگر آن را باز کنید برابری اصلی را به دست می آورید. اکنون سمت راست آن را به دو بردار تقسیم می کنیم تا فقط یکی از آنها حاوی x باشد، داریم:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

باقی می ماند که x را از پرانتز خارج کنید، آن را با نماد یونانی مشخص کنید و بردارهای سمت راست را عوض کنید:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

شکل برداری از عبارت اصلی را دریافت کردیم. مختصات بردار جهت خط مستقیم (1؛ 3) است.

وظیفه تعیین موقعیت نسبی خطوط

دو خط در فاصله داده می شود:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

آیا موازی، متقاطع یا متقاطع هستند؟

بردارهای غیر صفر (-1; 3; 1) و (1; 2; 0) راهنمای این خطوط خواهند بود. اجازه دهید این معادلات را به صورت پارامتریک بیان کنیم و مختصات اولی را با دومی جایگزین کنیم. دریافت می کنیم:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

پارامتر یافت شده λ را در دو معادله بالا جایگزین کنید، دریافت می کنیم:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3/2 × λ - 1=5

پارامتر γ نمی تواند همزمان دو مقدار متفاوت را بگیرد. به این معنی که خطوط یک نقطه مشترک ندارند، یعنی در حال تلاقی هستند. آنها موازی نیستند، زیرا بردارهای غیرصفر موازی با یکدیگر نیستند (برای موازی بودن آنها باید عددی وجود داشته باشد که با ضرب در یک بردار به مختصات بردار دوم منجر شود).

شرح ریاضی هواپیما

برای تنظیم یک صفحه در فضا، یک معادله کلی می دهیم:

A × x + B × y + C × z + D=0

در اینجا حروف بزرگ لاتین اعداد خاصی را نشان می دهند. سه مورد اول مختصات بردار نرمال هواپیما را مشخص می کنند. اگر با n نشان داده شود، آنگاه:

n¯=(A; B; C)

این بردار عمود بر صفحه است، بنابراین به آن راهنما می گویند. دانش آن، و همچنین مختصات شناخته شده هر نقطه متعلق به هواپیما، به طور منحصر به فرد دومی را تعیین می کند.

اگر نقطه P(x₁؛ y₁؛ z_{1) متعلق به هواپیما، سپس رهگیری D به صورت زیر محاسبه می شود:}

D=-1 × (A × x₁+ B × سال₁ + C × z₁₎

بیایید چند مسئله را با استفاده از معادله کلی برای هواپیما حل کنیم.

وظیفه برایپیدا کردن بردار نرمال صفحه

هواپیما به صورت زیر تعریف می شود:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

چگونه یک بردار جهت برای او پیدا کنیم؟

از نظریه فوق نتیجه می گیرد که مختصات بردار نرمال n¯ ضرایب جلوی متغیرها هستند. در این راستا برای یافتن n باید معادله را به صورت کلی نوشت. ما داریم:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

پس بردار نرمال صفحه است:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

مسئله ترسیم معادله صفحه

مختصات سه نقطه داده شده است:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

معادله صفحه حاوی همه این نقاط چگونه خواهد بود.

از طریق سه نقطه که به یک خط تعلق ندارند، فقط یک صفحه را می توان رسم کرد. برای یافتن معادله آن، ابتدا بردار جهت صفحه n¯ را محاسبه می کنیم. برای انجام این کار، به صورت زیر عمل می کنیم: دو بردار دلخواه متعلق به صفحه را پیدا کرده و حاصل ضرب برداری آنها را محاسبه می کنیم. برداری عمود بر این صفحه به دست می دهد، یعنی n¯. ما داریم: