ریشه دوم حسابی و خواص آن

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

همه ما در مدرسه در کلاس جبر جبر جبر را مطالعه کردیم. این اتفاق می‌افتد که اگر دانش تازه نشود، به سرعت فراموش می‌شود، همین‌طور با ریشه‌ها. این مقاله برای دانش‌آموزان کلاس هشتمی که می‌خواهند دانش خود را در این زمینه تجدید کنند و سایر دانش‌آموزان مدرسه مفید خواهد بود، زیرا ما با ریشه در کلاس‌های 9، 10 و 11 کار می‌کنیم.

سابقه ریشه و درجه

حتی در دوران باستان، و به طور خاص در مصر باستان، مردم برای انجام عملیات روی اعداد به درجه نیاز داشتند. وقتی چنین مفهومی وجود نداشت، مصریان حاصل ضرب همان عدد را بیست بار یادداشت کردند. اما به زودی راه حلی برای مشکل اختراع شد - تعداد دفعاتی که عدد باید در خودش ضرب شود در گوشه سمت راست بالای آن نوشته می شود و این شکل از ضبط تا به امروز باقی مانده است.

و تاریخچه ریشه دوم حدود 500 سال پیش آغاز شد. به طرق مختلف تعیین شد و تنها در قرن هفدهم رنه دکارت چنین علامتی را معرفی کرد که تا به امروز از آن استفاده می کنیم.

ریشه مربع چیست

بیایید با توضیح اینکه جذر چیست شروع کنیم. جذر مقداری c عددی غیرمنفی است که با مجذور شدن آن برابر با c خواهد بود. در این مورد، c بزرگتر یا مساوی صفر است.

برای آوردن یک عدد زیر ریشه، آن را مربع می کنیم و علامت ریشه را روی آن قرار می دهیم:

32=9, 3=√9

همچنین، ما نمی توانیم مقدار جذر یک عدد منفی را بدست آوریم، زیرا هر عددی در یک مربع مثبت است، یعنی:

c² ≧ 0، اگر √c یک عدد منفی است، پس c^{2 < 0 - برخلاف قانون.}

برای محاسبه سریع ریشه های مربع، باید جدول مربع های اعداد را بدانید.

خواص

بیایید ویژگی های جبری جذر را در نظر بگیریم.

1) برای استخراج ریشه دوم محصول، باید ریشه هر عامل را بگیرید. یعنی می توان آن را حاصل ضرب ریشه های عوامل نوشت:

√ac=√a × √c، برای مثال:

√36=√4 × √9

2) هنگام استخراج ریشه از کسری، باید ریشه را جدا از صورت و مخرج استخراج کرد، یعنی آن را به صورت ضریب ریشه آنها بنویسید.

3) مقداری که با گرفتن جذر یک عدد به دست می آید همیشه برابر مدول این عدد است، زیرا مدول فقط می تواند مثبت باشد:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) برای بالا بردن یک ریشه به هر قدرتی، ما آن را بالا می بریمبیان رادیکال:

(√с)⁴=√с^{4، برای مثال:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) مربع ریشه حسابی c برابر است با خود این عدد:

(√s)2=s.

ریشه اعداد غیر منطقی

بیایید بگوییم ریشه شانزده آسان است، اما چگونه می توان ریشه اعدادی مانند 7، 10، 11 را گرفت؟

به عددی که ریشه آن کسر نامتناهی غیر تناوبی باشد نامعقول می گویند. ما به تنهایی نمی توانیم ریشه را از آن استخراج کنیم. ما فقط می توانیم آن را با اعداد دیگر مقایسه کنیم. برای مثال ریشه 5 را بگیرید و آن را با √4 و √9 مقایسه کنید. واضح است که √4 < √5 < √9، سپس 2 < √5 < 3. این بدان معنی است که مقدار ریشه پنج جایی بین دو و سه است، اما کسرهای اعشاری زیادی بین آنها وجود دارد، و انتخاب هر یک راه مشکوک برای یافتن ریشه است.

می توانید این عملیات را روی ماشین حساب انجام دهید - این ساده ترین و سریع ترین راه است، اما در کلاس هشتم هرگز از شما خواسته نمی شود که اعداد غیر منطقی را از ریشه دوم حسابی استخراج کنید. فقط باید مقادیر تقریبی ریشه دو و ریشه سه را به خاطر بسپارید:

√2 ≈ 1، 4،

√3 ≈ 1, 7.

نمونه

حالا بر اساس خواص جذر، چندین مثال را حل می کنیم:

1) √17² - 8²

فرمول تفاوت مربع ها را به خاطر بسپار:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

ما ویژگی ریشه محاسباتی مربع را می دانیم - برای استخراج ریشه از حاصلضرب، باید آن را از هر عامل استخراج کنید:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

ویژگی دیگری از ریشه را اعمال کنید - مجذور ریشه حسابی یک عدد برابر با خود این عدد است:

2 × 3 + 6=12

مهم! اغلب، دانش‌آموزان هنگام شروع کار و حل مثال‌ها با جذرهای حسابی اشتباه زیر را مرتکب می‌شوند:

√12 + 3=√12 + √3 - شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

ما نمی توانیم ریشه هر اصطلاحی را در نظر بگیریم. چنین قاعده ای وجود ندارد، اما با ریشه یابی هر عاملی اشتباه گرفته می شود. اگر این ورودی را داشتیم:

√12 × 3، پس منصفانه است که بنویسیم √12 × 3=√12 × √3.

و بنابراین ما فقط می توانیم بنویسیم:

√12 + 3=√15