قضیه فیثاغورث: مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع دو پایه

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

هر دانش‌آموزی می‌داند که مجذور هیپوتانوس همیشه برابر است با مجموع پایه‌هایی که هر کدام از آنها مربع است. این عبارت را قضیه فیثاغورث می نامند. یکی از مشهورترین قضایا در مثلثات و به طور کلی ریاضیات است. آن را با جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.

مفهوم مثلث قائم الزاویه

قبل از در نظر گرفتن قضیه فیثاغورث، که در آن مجذور فرض برابر با مجموع پایه هایی است که مجذور می شوند، باید مفهوم و ویژگی های مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم که قضیه برای آن معتبر است.

مثلث یک شکل صاف با سه زاویه و سه ضلع است. مثلث قائم الزاویه همانطور که از نامش پیداست یک زاویه قائمه دارد، یعنی این زاویه 90o است. است.

از خصوصیات کلی همه مثلث ها مشخص می شود که مجموع هر سه زاویه این شکل 180^o است، یعنی برای مثلث قائم الزاویه مجموع دو زاویه که راست نیستند، 180 است ^o -90^o=90^o. آخرین واقعیت به این معنی است که هر زاویه ای در یک مثلث قائم الزاویه که زاویه قائمه نباشد همیشه کمتر از 90^{o است.}

ضلعی که در مقابل زاویه قائم قرار دارد، هیپوتنوز نامیده می شود. دو ضلع دیگر پاهای مثلث هستند، می توانند با یکدیگر برابر باشند یا می توانند متفاوت باشند. از مثلثات مشخص شده است که هر چه ضلع در یک مثلث بیشتر باشد، طول این ضلع بیشتر است. این بدان معنی است که در یک مثلث قائم الزاویه، هیپوتانوس (در مقابل زاویه 90^o) همیشه بزرگتر از هر یک از پایه ها خواهد بود (در مقابل زاویه های < 90^{o قرار بگیرید.).}

نمادگذاری ریاضی قضیه فیثاغورث

این قضیه می گوید که مجذور هیپوتانوس برابر است با مجموع پایه هایی که هر کدام قبلاً مجذور شده اند. برای نوشتن این فرمول به صورت ریاضی، مثلث قائم الزاویه ای را در نظر بگیرید که اضلاع a، b و c به ترتیب دو پایه و فرضیه هستند. در این حالت، قضیه ای که به عنوان مجذور هیپوتانوس برابر با مجموع مربع های پاها بیان می شود را می توان با فرمول زیر نشان داد: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. از اینجا، فرمول های دیگر مهم برای تمرین را می توان به دست آورد: a=√(c}2 ^{- b}2^{)، b=√(c} 2 ^{- a}2 ^{و c=√(a}2 ^{+ b}2^).

توجه داشته باشید که در مورد مثلث متساوی الاضلاع قائم الزاویه، یعنی a=b، فرمول: مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع پایه‌هایی که هر کدام از آنهامربع، به صورت ریاضی نوشته می شود: c²=a² + b²=2a ^{2 ، که به تساوی دلالت دارد: c=a√2.}

پیشینه تاریخی

قضیه فیثاغورث که می گوید مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع پایه هایی که هر کدام مربع است، مدت ها قبل از توجه فیلسوف مشهور یونانی به آن شناخته شده بود. بسیاری از پاپیروس‌های مصر باستان، و همچنین لوح‌های گلی بابلی‌ها، تأیید می‌کنند که این مردمان از ویژگی مشخص اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌کردند. به عنوان مثال، یکی از اولین اهرام مصر، هرم خفره، که ساخت آن به قرن 26 قبل از میلاد (2000 سال قبل از زندگی فیثاغورث) برمی گردد، بر اساس آگاهی از نسبت ابعاد در یک مثلث قائم الزاویه 3x4x5 ساخته شده است.

پس چرا این قضیه اکنون به نام یک یونانی نامگذاری شده است؟ پاسخ ساده است: فیثاغورث اولین کسی است که این قضیه را به صورت ریاضی اثبات کرده است. نوشته‌های بابلی و مصری باقی‌مانده فقط کاربرد آن را ذکر می‌کنند، اما هیچ دلیل ریاضی ارائه نمی‌دهند.

اعتقاد بر این است که فیثاغورث با استفاده از خواص مثلث های مشابه، قضیه مورد نظر را ثابت کرده است که با رسم ارتفاع در مثلث قائم الزاویه از زاویه 90o به دست آمده است. هیپوتانوز.

نمونه ای از استفاده از قضیه فیثاغورث

مسئله ساده ای را در نظر بگیرید: باید طول پلکان شیبدار L را تعیین کرد، اگر معلوم باشد که ارتفاع آن H=3 است.متر و فاصله از دیواری که نردبان روی آن قرار دارد تا پای خود P=2.5 متر است.

در این مورد، H و P پاها هستند و L هیپوتانوس هستند. از آنجایی که طول هیپوتانوس برابر با مجموع مربع های پاها است، به دست می آوریم: L²=H² + P 2^{، از آنجا L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 متر یا 3 متر و 90.5 سانتی متر.}