مثلث متساوی الاضلاع: ویژگی ها، ویژگی ها، مساحت، محیط

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در درس هندسه مدرسه، زمان زیادی به مطالعه مثلث ها اختصاص می یابد. دانش‌آموزان زاویه‌ها را محاسبه می‌کنند، نیم‌سازها و ارتفاع‌ها را می‌سازند، متوجه می‌شوند که چگونه اشکال با یکدیگر متفاوت هستند و ساده‌ترین راه برای یافتن مساحت و محیط آنها. به نظر می رسد که این به هیچ وجه در زندگی مفید نیست، اما گاهی اوقات هنوز مفید است که مثلاً چگونه تشخیص دهیم که یک مثلث متساوی الاضلاع است یا منفرد. چگونه آن را انجام دهیم؟

انواع مثلث

سه نقطه که روی یک خط مستقیم قرار ندارند و بخشهایی که آنها را به هم متصل می کنند. به نظر می رسد که این رقم ساده ترین است. اگر مثلث ها فقط سه ضلع داشته باشند چه شکلی می توانند داشته باشند؟ در واقع، تعداد نسبتا زیادی گزینه وجود دارد، و برخی از آنها به عنوان بخشی از دوره هندسه مدرسه مورد توجه ویژه قرار می گیرند. مثلث متساوی الاضلاع متساوی الاضلاع است، یعنی تمام زوایای و اضلاع آن با هم برابرند. این دارای تعدادی ویژگی قابل توجه است که بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت.

متساوی الساقین فقط دو ضلع مساوی دارد و همچنین بسیار جالب است. در مثلث های قائم الزاویه و منفرد، همانطور که حدس می زنید، به ترتیب یکی از زوایا قائم یا کج است. دراین آنها همچنین می توانند متساوی الساقین باشند.

همچنین نوع خاصی از مثلث به نام مصری وجود دارد. اضلاع آن 3، 4 و 5 واحد است. با این حال، مستطیل شکل است. اعتقاد بر این است که چنین مثلثی به طور فعال توسط نقشه برداران و معماران مصری برای ساختن زوایای قائمه استفاده می شود. اعتقاد بر این است که اهرام معروف به کمک آن ساخته شده اند.

و با این حال، تمام رئوس یک مثلث می توانند روی یک خط مستقیم قرار بگیرند. در این صورت، آن را منحط و بقیه را غیر منحط می نامند. آنها یکی از موضوعات مورد مطالعه هندسه هستند.

مثلث متساوی الاضلاع

البته، ارقام صحیح همیشه جالب ترین هستند. آنها کامل تر، برازنده تر به نظر می رسند. فرمول های محاسبه ویژگی های آنها اغلب ساده تر و کوتاه تر از ارقام معمولی است. این در مورد مثلث ها نیز صدق می کند. جای تعجب نیست که هنگام مطالعه هندسه به آنها توجه زیادی می شود: به دانش آموزان آموزش داده می شود که اشکال منظم را از بقیه تشخیص دهند و همچنین در مورد برخی از ویژگی های جالب آنها صحبت کنند.

علائم و خواص

همانطور که ممکن است از نام آن حدس بزنید، هر ضلع یک مثلث متساوی الاضلاع برابر با دو ضلع دیگر است. علاوه بر این، دارای تعدادی ویژگی است که به لطف آنها می توان تشخیص داد که آیا این رقم صحیح است یا خیر.

• همه زوایای آن برابر است، مقدار آنها 60 درجه است؛
• نصف‌ها، ارتفاع‌ها و میانه‌های ترسیم شده از هر رأس یکسان هستند؛
• مثلث منظم دارای 3 محور تقارن استبا چرخش 120 درجه تغییر نمی کند.
• مرکز دایره محاطی نیز مرکز دایره محصور و نقطه تلاقی وسط ها، نیمسازها، ارتفاعات و نیمسازهای عمود بر هم است.

اگر حداقل یکی از علائم بالا مشاهده شود، مثلث متساوی الاضلاع است. برای یک شکل معمولی، تمام عبارات بالا درست هستند.

همه مثلث ها دارای تعدادی ویژگی قابل توجه هستند. اولاً خط وسط، یعنی قسمتی که دو ضلع را به نصف و موازی با سوم تقسیم می کند، برابر با نصف پایه است. ثانیاً مجموع تمام زوایای این شکل همیشه برابر با 180 درجه است. علاوه بر این، رابطه جالب دیگری در مثلث ها وجود دارد. بنابراین، در مقابل ضلع بزرگتر زاویه بزرگتری قرار دارد و بالعکس. اما این البته ربطی به مثلث متساوی الاضلاع ندارد، زیرا تمام زوایای آن برابر است.

دایره‌های حک شده و محدود شده

برای دانش‌آموزان در یک دوره هندسه غیرمعمول نیست که یاد بگیرند چگونه اشکال می‌توانند با یکدیگر تعامل داشته باشند. به طور خاص، دایره هایی که در چند ضلعی ها حک شده یا در اطراف آنها توصیف شده اند مورد مطالعه قرار می گیرند. در مورد چیست؟

دایره محاطی دایره ای است که تمام ضلع های چندضلعی برای آن مماس هستند. توصیف شده - موردی که با تمام گوشه ها تماس دارد. برای هر مثلث، همیشه می توان هر دو دایره اول و دوم را ساخت، اما فقط یکی از هر نوع. مدرک برای این دو

قضایایآورده شده استدوره هندسه مدرسه.

علاوه بر محاسبه پارامترهای خود مثلث ها، برخی کارها شامل محاسبه شعاع این دایره ها نیز می شود. و فرمول های مثلث متساوی الاضلاع به این صورت است:

r=a/√ ̅3;

R=a/2√ ̅3;

جایی که r شعاع دایره محاطی است، R شعاع دایره محاط شده، a طول ضلع مثلث است.

محاسبه ارتفاع، محیط و مساحت

پارامترهای اصلی که توسط دانش آموزان در هنگام مطالعه هندسه محاسبه می شود، تقریباً برای هر شکلی بدون تغییر باقی می ماند. اینها محیط، مساحت و ارتفاع هستند. برای سهولت در محاسبه، فرمول های مختلفی وجود دارد.

بنابراین، محیط، یعنی طول همه اضلاع، به روش های زیر محاسبه می شود:

P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r، که در آن a ضلع یک مثلث منظم، R شعاع دایره، r دایره محاطی است.

قد:

h=(√ ̅3/2)a، که در آن a طول ضلع است.

در نهایت فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع از فرمول استاندارد یعنی حاصلضرب نصف قاعده و ارتفاع آن گرفته شده است.

S=(√ ̅3/4)a2، که در آن a طول ضلع است.

همچنین، این مقدار را می توان از طریق پارامترهای دایره محدود شده یا محاط شده محاسبه کرد. همچنین فرمول های خاصی برای این کار وجود دارد:

S=3√ ̅3r²=(3√ ̅3/4)R^{2، که r و R به ترتیب برابر هستند شعاع دایره های محاطی شده و محصور شده.}

ساختمان

یکی دیگریک نوع کار جالب، از جمله مثلث ها، با نیاز به ترسیم یک یا آن شکل با استفاده از حداقل مجموعههمراه است.

ابزار: قطب نما و خط کش بدون تقسیم.

برای ساختن یک مثلث مناسب فقط با این ابزارها چند مرحله لازم است.

1. باید دایره ای با هر شعاع و در مرکز نقطه دلخواه A رسم کنید. باید علامت گذاری شود.
2. بعد، باید یک خط مستقیم از این نقطه بکشید.
3. تقاطع یک دایره و یک خط مستقیم باید به عنوان B و C تعیین شوند. همه ساخت و سازها باید با بیشترین دقت ممکن انجام شوند.
4. بعد، باید دایره دیگری با همان شعاع و مرکز در نقطه C یا یک کمان با پارامترهای مناسب بسازید. تقاطع ها به صورت D و F علامت گذاری می شوند.
5. نقاط B، F، D باید توسط بخش‌هایی به هم متصل شوند. یک مثلث متساوی الاضلاع ساخته شده است.

حل چنین مشکلاتی معمولاً برای دانش آموزان مشکل ساز است، اما این مهارت می تواند در زندگی روزمره مفید باشد.