لئونارد اویلر (1707-1783) - ریاضیدان معروف سوئیسی و روسی، عضو آکادمی علوم سن پترزبورگ، بیشتر عمر خود را در روسیه گذراند. مشهورترین دایره در تحلیل ریاضی، آمار، علوم کامپیوتر و منطق دایره اویلر (نمودار اویلر-ون) است که برای نشان دادن دامنه مفاهیم و مجموعه عناصر استفاده می شود.
جان ون (1834-1923) - فیلسوف و منطق‌دان انگلیسی، نویسنده همکار نمودار اویلر-ون.
مفاهیم سازگار و ناسازگار
در مفهوم در منطق به معنای شکلی از تفکر است که منعکس کننده ویژگی های اساسی طبقه ای از اشیاء همگن است. آنها با یک یا گروهی از کلمات نشان داده می شوند: "نقشه جهان"، "آکورد غالب پنجم و هفتم"، "دوشنبه"، و غیره.
در موردی که عناصر دامنه یک مفهوم به طور کامل یا جزئی به دامنه مفهومی دیگر تعلق دارند، از مفاهیم سازگار صحبت می شود. با این حال، اگر هیچ عنصری از دامنه مفهوم خاصی به حوزه مفهوم دیگری تعلق نداشته باشد، مفاهیم ناسازگاری داریم.
به نوبه خود، هر نوع مفهوم مجموعه ای از روابط ممکن خاص خود را دارد. برای مفاهیم سازگار، اینها عبارتند از:
- هویت (معادل) جلدها؛
- عبور (تطبیق جزئی)جلدها;
- فرع (فرع).
برای ناسازگار:
- فرع (هماهنگی)؛
- مخالف (تضاد)؛
- تضاد (تضاد).
از نظر شماتیک، روابط بین مفاهیم در منطق معمولاً با استفاده از دایره های اویلر-ون نشان داده می شود.
روابط معادل
در این مورد، مفاهیم به معنای همان موضوع هستند. بر این اساس حجم این مفاهیم کاملاً یکسان است. به عنوان مثال:
A - زیگموند فروید؛
B بنیانگذار روانکاوی است.
یا:
A یک مربع است؛
B یک مستطیل متساوی الاضلاع است؛
C یک لوزی متساویل است.
دایره های اویلر کاملاً منطبق برای تعیین استفاده می شود.
تقاطع (تطابق جزئی)
این دسته شامل مفاهیمی است که دارای عناصر مشترکی هستند که در ارتباط با عبور هستند. یعنی حجم یکی از مفاهیم تا حدی در حجم دیگری گنجانده شده است:
A - معلم؛
B عاشق موسیقی است.
همانطور که از این مثال مشاهده می شود، حجم مفاهیم تا حدی منطبق است: ممکن است گروه خاصی از معلمان عاشق موسیقی باشند و بالعکس - ممکن است نمایندگانی از حرفه معلمی در بین دوستداران موسیقی وجود داشته باشد. نگرش مشابهی در موردی خواهد بود که مفهوم A، برای مثال، "شهروند" باشد، و B "راننده" باشد.
فرعیت (فرع)
به طور شماتیک به عنوان دایره های اویلر در مقیاس های مختلف نشان داده می شود. روابطبین مفاهیم در این مورد با این واقعیت مشخص می شود که مفهوم فرعی (حجم کوچکتر) به طور کامل در فرعی (حجم بزرگتر) گنجانده شده است. در عین حال، مفهوم فرعی مفهوم فرعی را کاملاً خسته نمی کند.
برای مثال:
A - درخت؛
B - کاج.
مفهوم B تابع مفهوم A خواهد بود. از آنجایی که کاج متعلق به درختان است، مفهوم A در این مثال تابع می شود و دامنه مفهوم B را "جذب" می کند.
هماهنگی (هماهنگی)
رابطه دو یا چند مفهوم را مشخص می کند که یکدیگر را مستثنی می کنند، اما به یک دایره عمومی مشترک خاص تعلق دارند. به عنوان مثال:
A – کلارینت؛
B - گیتار؛
C - ویولن؛
D یک ساز موسیقی است.
مفاهیم A، B، C نسبت به یکدیگر متقاطع نیستند، اما همه آنها به دسته آلات موسیقی تعلق دارند (مفهوم D).
برعکس (برعکس)
روابط متضاد بین مفاهیم نشان می دهد که این مفاهیم به یک جنس تعلق دارند. در عین حال، یکی از مفاهیم دارای خواص (ویژگی) خاصی است، در حالی که دیگری آنها را انکار می کند و آنها را با مفاهیم متضاد در طبیعت جایگزین می کند. بنابراین، ما با متضادها سروکار داریم. به عنوان مثال:
A یک کوتوله است؛
B یک غول است.
دایره اویلر
با روابط متضاد بین مفاهیمبه سه بخش تقسیم می‌شود، که اولی مربوط به مفهوم A، دومی به مفهوم B، و سومی مربوط به سایر مفاهیم ممکن است.
تضاد (تناقض)
در این مورد، هر دو مفهوم گونه هایی از یک جنس هستند. مانند مثال قبل، یکی از مفاهیم بیانگر کیفیت ها (ویژگی ها) است، در حالی که دیگری آنها را انکار می کند. با این حال، بر خلاف رابطه اضداد، مفهوم دوم متضاد، ویژگی های انکار شده را با ویژگی های بدیل دیگری جایگزین نمی کند. به عنوان مثال:
A کار دشواری است؛
B یک کار آسان است (نه-A).
با بیان حجم مفاهیم از این نوع، دایره اویلر به دو بخش تقسیم می شود - سومین پیوند میانی در این مورد وجود ندارد. بنابراین، مفاهیم نیز متضاد هستند. در همان زمان، یکی از آنها (A) مثبت می شود (تأیید برخی از ویژگی ها)، و دوم (B یا غیر A) منفی می شود (نفی ویژگی مربوطه): "کاغذ سفید" - "نه کاغذ سفید"، " تاریخ ملی" - "تاریخ خارجی"، و غیره.
بنابراین، نسبت حجم مفاهیم نسبت به یکدیگر یک مشخصه کلیدی است که دایره های اویلر را تعریف می کند.
روابط بین ست ها
همچنین لازم است بین مفاهیم عناصر و مجموعه ها که حجم آنها توسط دایره های اویلر نمایش داده می شود تمایز قائل شد. مفهوم مجموعه از علوم ریاضی وام گرفته شده است و معنای نسبتاً گسترده ای دارد. مثال‌هایی در منطق و ریاضیات آن را به عنوان مجموعه‌ای از اشیاء نشان می‌دهند. خود اشیا هستندعناصر این مجموعه "خیلی ها به عنوان یک فکر می کنند" (جورج کانتور، بنیانگذار نظریه مجموعه ها).
مجموعه ها با حروف بزرگ مشخص می شوند: A، B، C، D… و غیره، عناصر مجموعه ها با حروف کوچک مشخص می شوند: a، b، c، d… و غیره. نمونه هایی از یک مجموعه می توانند دانش آموزانی باشند که در یک کلاس درس، کتاب‌ها در یک قفسه خاص (یا مثلاً همه کتاب‌های موجود در یک کتابخانه خاص)، صفحات یک دفترچه خاطرات، توت‌ها در جنگل‌ها و غیره.
به نوبه خود، اگر مجموعه خاصی شامل یک عنصر واحد نباشد، آن را خالی می نامند و با علامت Ø نشان می دهند. به عنوان مثال، مجموعه نقاط تقاطع خطوط موازی، مجموعه راه حل های معادله x2=-5.
حل مشکل
حلقه های اویلر به طور فعال برای حل تعداد زیادی از مسائل استفاده می شود. مثال‌هایی در منطق به وضوح ارتباط بین عملیات منطقی و نظریه مجموعه‌ها را نشان می‌دهند. در این مورد از جداول صدق مفاهیم استفاده می شود. به عنوان مثال، دایره ای با برچسب A نشان دهنده ناحیه حقیقت است. بنابراین ناحیه خارج از دایره نشان دهنده false خواهد بود. برای تعیین مساحت نمودار برای یک عملیات منطقی، باید قسمت هایی را که دایره اویلر را تعریف می کنند، سایه بزنید، که در آن مقادیر آن برای عناصر A و B درست خواهد بود.
استفاده از دایره های اویلر کاربرد عملی گسترده ای در صنایع مختلف پیدا کرده است. به عنوان مثال، در یک موقعیت با یک انتخاب حرفه ای. اگر آزمودنی نگران انتخاب حرفه آینده باشد، می‌تواند با معیارهای زیر هدایت شود:
W - دوست دارم چه کار کنم؟
D - من چه کار می کنم؟
P- چگونه می توانم پول خوبی به دست بیاورم؟
بیایید این را به صورت نمودار رسم کنیم: دایره های اویلر (نمونه هایی در منطق - رابطه تقاطع):
نتیجه آن حرفه هایی خواهد بود که در تقاطع هر سه دایره خواهند بود.
دایره های اویلر-ون در هنگام محاسبه ترکیب ها و ویژگی ها جایگاه جداگانه ای در ریاضیات (نظریه مجموعه ها) اشغال می کنند. دایره های اویلر مجموعه عناصر در تصویر مستطیلی قرار گرفته اند که مجموعه جهانی (U) را نشان می دهد. به جای دایره، می توان از شکل های بسته دیگری نیز استفاده کرد، اما ماهیت این تغییر نمی کند. ارقام با توجه به شرایط مسئله (در کلی ترین حالت) با یکدیگر تلاقی می کنند. همچنین این ارقام باید بر اساس آن برچسب گذاری شوند. عناصر مجموعه های مورد بررسی می توانند نقاطی باشند که در قسمت های مختلف نمودار قرار دارند. بر اساس آن، می‌توانید مناطق خاصی را سایه بزنید و در نتیجه مجموعه‌های تازه تشکیل‌شده را مشخص کنید.
با این مجموعه ها می توان عملیات ریاضی پایه را انجام داد: جمع (مجموع مجموعه عناصر)، تفریق (تفاوت)، ضرب (محصول). علاوه بر این، به لطف نمودارهای اویلر-ون، می توان مجموعه ها را با تعداد عناصر موجود در آنها مقایسه کرد، بدون احتساب آنها.
