ریاضیات اساساً یک علم انتزاعی است، اگر از مفاهیم ابتدایی فاصله بگیریم. بنابراین، روی چند سیب، می توانید به صورت بصری عملیات اساسی را که زمینه ریاضیات را تشکیل می دهند، به تصویر بکشید، اما به محض اینکه سطح فعالیت گسترش یابد، این اشیاء ناکافی می شوند. آیا کسی سعی کرده است عملیات روی مجموعه های بی نهایت روی سیب را به تصویر بکشد؟ موضوع همین است، نه. هر چه مفاهیمی که ریاضیات در قضاوت های خود با آنها عمل می کند پیچیده تر می شد، بیان بصری آنها مشکل سازتر به نظر می رسید، که برای تسهیل درک طراحی می شد. با این حال، برای شادی دانش آموزان مدرن و به طور کلی علم، حلقه های اویلر استخراج شد که نمونه ها و احتمالاتی از آنها را در زیر بررسی خواهیم کرد.
کمی از تاریخ
در 17 آوریل 1707، جهان علم را به لئونارد اویلر، دانشمند برجسته ای داد که سهم او در ریاضیات، فیزیک، کشتی سازی و حتی تئوری موسیقی قابل ارزیابی نیست.
آثار او تا به امروز در سرتاسر جهان شناخته شده و مورد تقاضا است، علیرغم این واقعیت که علم ثابت نشده است. جالب توجه این واقعیت است که آقای اویلر مستقیماً در تشکیل مدرسه ریاضیات عالی روسیه شرکت کرد، به خصوص که به اراده سرنوشت، او دو بار به ایالت ما بازگشت. این دانشمند توانایی منحصربه‌فردی در ساخت الگوریتم‌هایی داشت که در منطق خود شفاف بودند و همه چیز اضافی را قطع می‌کردند و در کوتاه‌ترین زمان ممکن از کلی به جزئی می‌رفتند. ما همه شایستگی های او را فهرست نمی کنیم، زیرا زمان قابل توجهی می برد و مستقیماً به موضوع مقاله می پردازیم. این او بود که استفاده از یک نمایش گرافیکی از عملیات روی مجموعه ها را پیشنهاد کرد. حلقه‌های اویلر می‌توانند راه‌حل هر، حتی پیچیده‌ترین مسئله را تجسم کنند.
نکته چیست؟
در عمل، دایره های اویلر، که طرح آنها در زیر نشان داده شده است، می توانند نه تنها در ریاضیات استفاده شوند، زیرا مفهوم "مجموعه" نه تنها در این رشته ذاتی است. بنابراین، آنها با موفقیت در مدیریت اعمال می شوند.
نمودار بالا روابط مجموعه های A (اعداد غیر منطقی)، B (اعداد گویا) و C (اعداد طبیعی) را نشان می دهد. دایره ها نشان می دهند که مجموعه C در مجموعه B گنجانده شده است، در حالی که مجموعه A به هیچ وجه با آنها تلاقی ندارد. مثال ساده ترین است، اما به وضوح ویژگی های "روابط مجموعه ها" را توضیح می دهد، که برای مقایسه واقعی بیش از حد انتزاعی هستند، اگر فقط به دلیل بی نهایت بودنشان.
جبر منطق
این منطقهمنطق ریاضی با عباراتی عمل می کند که می توانند هم درست و هم نادرست باشند. به عنوان مثال، از ابتدایی: عدد 625 بر 25 بخش پذیر است، عدد 625 بر 5 بخش پذیر است، عدد 625 عدد اول است. گزاره های اول و دوم درست و آخری نادرست است. البته، در عمل همه چیز پیچیده تر است، اما ماهیت به وضوح نشان داده می شود. و البته، دایره های اویلر دوباره درگیر راه حل هستند، مثال هایی با استفاده از آنها بسیار راحت و بصری هستند که نمی توان نادیده گرفت.
کمی تئوری:
- اجازه می دهیم مجموعه های A و B وجود داشته باشند و خالی نباشند، سپس عملیات های تقاطع، اتحاد و نفی زیر برای آنها تعریف شده است.
- تقاطع مجموعه های A و B شامل عناصری است که به طور همزمان به هر دو مجموعه A و مجموعه B تعلق دارند.
- اتحاد مجموعه های A و B شامل عناصری است که به مجموعه A یا مجموعه B تعلق دارند.
- نفی مجموعه A مجموعه ای است که از عناصری تشکیل شده است که به مجموعه A تعلق ندارند.
همه اینها دوباره توسط حلقه های اویلر در منطق به تصویر کشیده شده است، زیرا با کمک آنها هر کار، صرف نظر از میزان پیچیدگی، آشکار و بصری می شود.
بدیهیات جبر منطق
فرض کنید 1 و 0 وجود دارند و در مجموعه A تعریف شده اند، سپس:
- نفی نفی مجموعه A مجموعه A است؛
- اتحاد مجموعه A با not_A برابر 1 است؛
- اتحاد مجموعه A با 1 برابر است با 1؛
- اتحاد مجموعه A با خودش مجموعه A است؛
- اتحاد مجموعه Aبا 0 یک مجموعه A وجود دارد؛
- تقاطع مجموعه A با not_A 0 است؛
- تقاطع مجموعه A با خودش مجموعه A است؛
- تقاطع مجموعه A با 0 برابر است با 0؛
- تقاطع مجموعه A با 1 مجموعه A است.
ویژگی های اساسی جبر منطق
بگذارید مجموعه های A و B وجود داشته باشند و خالی نباشند، سپس:
- برای تقاطع و اتحاد مجموعه های A و B، قانون جابجایی اعمال می شود؛
- قانون ترکیب برای تقاطع و اتحاد مجموعه های A و B اعمال می شود؛
- قانون توزیعی برای تقاطع و اتحاد مجموعه های A و B اعمال می شود؛
- نفی تقاطع مجموعه های A و B، تقاطع نفی مجموعه های A و B است؛
- نفی اتحاد مجموعه های A و B، اتحاد نفی مجموعه های A و B است.
در زیر دایره های اویلر، نمونه هایی از تقاطع و اتحاد مجموعه های A، B و C را نشان می دهد.
چشم انداز
آثار لئونارد اویلر به طور موجهی اساس ریاضیات مدرن در نظر گرفته می شوند، اما اکنون آنها با موفقیت در زمینه هایی از فعالیت های انسانی که نسبتاً اخیراً ظاهر شده اند استفاده می شوند، به عنوان مثال، حاکمیت شرکتی را در نظر بگیرید: حلقه های اویلر، مثال ها و نمودارها مکانیسم های مدل‌های توسعه، چه نسخه روسی یا انگلیسی-آمریکایی.
