روش گاوس برای آدمک ها: نمونه هایی از راه حل ها

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در این مقاله، روش به عنوان روشی برای حل سیستم معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل کلی بنویسید و سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که بی‌نهایت راه‌حل دارند نیز کار کنید. یا اصلاً آن را ندارید.

حل با روش گاوس به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات خود را به صورت ماتریس بنویسیم. به نظر می رسد این است. سیستم گرفته شده است:

ضرایب به شکل جدول و در سمت راست در یک ستون جداگانه - اعضای آزاد نوشته می شوند. ستون با اعضای آزاد برای راحتی توسط یک نوار عمودی از هم جدا شده است. ماتریسی که شامل این ستون است Extended نامیده می شود.

بعد، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با روش گاوس است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به این شکل باشد، به طوری که در قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه می شوید که آخرین خط قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود. و غیره.

این توضیحی از راه حل گاوسی با کلی ترین عبارات است. و اگر سیستم به طور ناگهانی راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت است؟ برای پاسخ به این سؤالات و بسیاری سؤالات دیگر، لازم است تمام عناصر به کار رفته در حل به روش گاوس به طور جداگانه در نظر گرفته شود.

ماتریس ها، خواص آنها

هیچ معنای پنهانی در ماتریس وجود ندارد. این فقط یک راه راحت برای ثبت داده ها برای عملیات های بعدی است. حتی بچه های مدرسه هم نباید از آنها بترسند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساختن یک ماتریس مثلثی خلاصه می‌شود، یک مستطیل در ورودی ظاهر می‌شود، فقط در جایی که هیچ عددی وجود ندارد، صفر است. صفرها را می توان حذف کرد، اما آنها ضمنی هستند.

ماتریس دارای اندازه است. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" آن تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (حروف بزرگ لاتین معمولاً برای تعیین آنها استفاده می شود) به عنوان A_m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است وm=n - ترتیب آن. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با تعداد سطر و ستون آن نشان داد: a_xy; x - شماره ردیف، تغییر [1، m]، y - شماره ستون، تغییر [1، n].

در روش گاوسی، ماتریس ها نقطه اصلی حل نیستند. در اصل، تمام عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد، با این حال، نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر خواهد بود و در آن گیج شدن بسیار آسان تر خواهد بود.

مقدماتی

ماتریس نیز یک تعیین کننده دارد. این یک ویژگی بسیار مهم است. فهمیدن معنای آن اکنون ارزش آن را ندارد، می توانید به سادگی نحوه محاسبه آن را نشان دهید و سپس بگویید که چه ویژگی های ماتریس را تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند: مورب ها با شیب به سمت راست - با علامت "بعلاوه" با شیب به سمت چپ - با علامت "منهای".

بسیار مهم است که توجه داشته باشید که تعیین کننده را فقط می توان برای یک ماتریس مربع محاسبه کرد. برای یک ماتریس مستطیلی، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد سطرها و تعداد ستون ها کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصر واقع در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی عددی غیر از صفر باشد، آن را مینور اصلی ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبلنحوه شروع حل یک سیستم معادلات با روش گاوس، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً وجود ندارد. در چنین حالت غم انگیزی، باید بیشتر پیش بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم ها

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر مرتبه تعیین کننده غیرصفر آن است (با به یاد آوردن مینور پایه، می توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس ترتیب مینور پایه است).

روش کارها با رتبه، SLOW را می توان به:

تقسیم کرد

• مفاصل. برای سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از اصطلاحات آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما لزوماً یک راه حل ندارند، بنابراین، سیستم های مشترک علاوه بر این به موارد زیر تقسیم می شوند:
• - قطعی - داشتن یک راه حل منحصر به فرد. در سیستم‌های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات برابر است (یا تعداد ستون‌ها که یکسان است)؛
• - نامشخص - با تعداد نامتناهی راه حل. رتبه ماتریس ها در چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
• ناسازگار. برای چنین سیستم هایی، رتبه های ماتریس اصلی و توسعه یافته مطابقت ندارند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس خوب است زیرا به شما امکان می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) یا یک راه حل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل به دست آورید.

تغییرهای ابتدایی

قبلچگونه به طور مستقیم به حل سیستم ادامه دهید، می توانید آن را کمتر دست و پا گیر کنید و برای محاسبات راحت تر کنید. این از طریق دگرگونی های ابتدایی به دست می آید - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی فوق فقط برای ماتریس هایی معتبر است که منبع آنها دقیقاً SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تبدیل ها آمده است:

1. تغییر رشته ها. بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهیم، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. بنابراین، امکان جابه‌جایی ردیف‌ها در ماتریس این سیستم نیز وجود دارد و البته ستون اعضای آزاد را فراموش نکردیم.
2. ضرب همه عناصر یک رشته در مقداری فاکتور. بسیار مفید! با آن می توانید اعداد بزرگ را در ماتریس کاهش دهید یا صفرها را حذف کنید. مجموعه راه حل ها، طبق معمول، تغییر نخواهد کرد و انجام عملیات بیشتر راحت تر خواهد شد. نکته اصلی این است که ضریب نباید برابر با صفر باشد.
3. خطوط با ضرایب متناسب را حذف کنید. این تا حدی از پاراگراف قبلی پیروی می کند. اگر دو یا چند ردیف در ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، پس هنگام ضرب / تقسیم یکی از ردیف ها بر ضریب تناسب، دو (یا، دوباره، بیشتر) ردیف کاملاً یکسان به دست می آید و می توانید موارد اضافی را حذف کنید و فقط باقی بمانید. یک.
4. خط تهی را حذف کنید. اگر در جریان تبدیل‌ها، رشته‌ای در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله عضو آزاد، صفر باشند، چنین رشته‌ای را می‌توان صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
5. افزودن به عناصر یک ردیف از عناصر ردیف دیگر (مطابق باستون های مربوطه) ضرب در مقداری ضریب. مبهم ترین و مهمترین تحول از همه. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتر در مورد آن صحبت کنیم.

افزودن یک رشته ضرب در ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله جدا کنید. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | b₂

فرض کنید باید اولین مورد ضرب در ضریب "-2" را به دومی اضافه کنید.

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

سپس ردیف دوم در ماتریس با یک ردیف جدید جایگزین می شود، در حالی که ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | b₂

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو رشته، یکی از عناصر رشته جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستم به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای بدست آورد که از قبل حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار برای تمام سطرهایی که کمتر از ضریب اصلی هستند به صفر یک برسیم، می‌توانیم مانند مراحل، تا انتهای ماتریس پایین برویم و معادله‌ای با یک مجهول به دست آوریم. به این می گویندسیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

به طور کلی

بگذارید یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را اینگونه بنویسید:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از اعضای آزاد به ماتریس گسترش یافته اضافه می شود و برای راحتی با یک نوار از هم جدا می شود.

بعدی:

• ردیف اول ماتریس در ضریب k=(-a₂₁/a₁₁) ضرب می شود؛
• اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند؛
• به جای ردیف دوم، نتیجه جمع پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود؛
• اکنون اولین ضریب در خط دوم جدید a₁₁ × (-a₂₁/a_{11 است) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

حالا همون سری تبدیل انجام میشه فقط خط اول و سوم درگیره. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a₂₁ با a₃₁ جایگزین می شود. سپس همه چیز برای ₄₁، … a_m1 تکرار می شود. نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف‌های [2, m] برابر با صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنید و همان الگوریتم را با شروع از خط دوم اجرا کنید:

• k ضریب=(-a₃₂/a₂₂);
• دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود؛
• نتیجه اضافه به خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند؛
• در ردیف‌های [3، m] ماتریس، دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تکرار شود تا ضریب k=(-a_{m, m-1}/a_mm ظاهر شود). این بدان معنی است که الگوریتم آخرین بار فقط برای معادله پایین اجرا شده است. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. خط پایین حاوی معادله a_mn × x =b_m. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x =b_m/a_mn. ریشه به دست آمده در ردیف بالا جایگزین می شود تا x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1, n×(b}m_/a دقیقه_))÷am-1، n-1_{. و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد، و با رسیدن به "بالای" سیستم، می توان مجموعه ای از راه حل ها را پیدا کرد [x}1_{، … x ]. این تنها خواهد بود.}

وقتی راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر، به جز جمله آزاد، برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0=b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجا که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

وقتی بی نهایت راه حل وجود دارد

ممکن است معلوم شود که در ماتریس مثلثی کاهش یافته هیچ ردیفی با یک عنصر - ضریب معادله و یکی - یک عضو آزاد وجود ندارد. فقط رشته هایی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه آن را انجام دهیم؟

همهمتغیرهای موجود در ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. اساسی - اینها کسانی هستند که "روی لبه" ردیف ها در ماتریس پله ای ایستاده اند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه بر حسب متغیرهای آزاد نوشته می‌شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در بقیه معادلات در حد امکان به جای متغیر پایه، عبارت بدست آمده برای آن جایگزین می شود. اگر نتیجه باز هم عبارتی باشد که فقط یک متغیر پایه داشته باشد، دوباره از آنجا بیان می شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به صورت یک عبارت با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.

همچنین می توانید راه حل اصلی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس مقادیر متغیرهای اساسی را برای این مورد خاص محاسبه کنید. بی نهایت راه حل های خاص وجود دارد.

راه حل با مثال های خاص

اینجا یک سیستم معادلات است.

برای راحتی کار، بهتر است ماتریس آن را فوراً بسازید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوس، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد - سپس اولین عناصر سودآورتر خواهد بود.بقیه ردیف ها پس از انجام عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معناست که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن ردیف دوم به جای ردیف اول مفید خواهد بود.

بعد باید خط دوم و سوم را تغییر دهید تا عناصر اول صفر شوند. برای انجام این کار، آنها را به ضریب اول ضرب کنید:

خط دوم: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

خط سوم: k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a_{31+ k×a}11_{=5 + (-5)×1=0}

a'₃₂ =a_{32+ k×a}12 _{=1 + (-5)×2=-9}

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5)×12=-57

حالا، برای اینکه گیج نشوید، باید یک ماتریس با نتایج میانی تبدیلات بنویسید.

بدیهی است که چنین ماتریسی را می توان با کمک برخی عملیات خواناتر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" همه "منهای" را از خط دوم حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در خط سوم همه عناصر مضرب سه هستند. پس شما می توانیدرشته را با این عدد برش دهید، هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - همزمان برای حذف مقادیر منفی).

بسیار زیباتر به نظر می رسد. حالا باید خط اول را رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه کنید، در ضریب ضربی که عنصر a₃₂ صفر شود.

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (اگر در طول برخی تبدیل ها در پاسخ معلوم شد که یک عدد صحیح نیست، توصیه می شود آن را "همانطور که هست" به شکل یک کسری معمولی رها کنید، و تنها پس از آن، هنگامی که پاسخ ها دریافت شد، تصمیم بگیرید که آیا گرد کنید و به شکل دیگری تبدیل کنید. نماد)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک شکل پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با روش گاوس مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توان انجام داد حذف ضریب کلی "-1/7" از خط سوم است.

اکنون همهخوب. نکته کوچک است - دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

الگوریتمی که با آن ریشه ها اکنون پیدا می شوند، در روش گاوس حرکت معکوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z:

است

z=61/9

بعد، به معادله دوم برگردید:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

و اولین معادله به شما امکان می دهد x را پیدا کنید:

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن یک راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x₁=-2/3، y=-65/9، z=61/9.

نمونه ای از یک سیستم نامعین

نوع حل یک سیستم معین به روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است، حال لازم است در صورتی که سیستم نامشخص است، یعنی بی نهایت راه حل برای آن پیدا شود، مورد بررسی قرار گیرد.

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x ₄ - 3x₅=-2 (2)

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

شکل سیستم در حال حاضر هشدار دهنده است، زیرا تعداد مجهولات n=5 است، و رتبه ماتریس سیستم در حال حاضر دقیقاً کمتر از این عدد است، زیرا تعداد ردیف ها m=است. 4، یعنی بزرگترین ترتیب تعیین کننده مربع 4 است.تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و باید به دنبال شکل کلی آن باشیم. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را به شما می دهد.

ابتدا، طبق معمول، ماتریس تقویت شده کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل است، بنابراین شما نیازی به لمس چیزی ندارید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و اضافه کردن آنها به سطرهای مورد نیاز، ماتریسی به شکل زیر بدست می آوریم:

همانطور که می بینید، ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصر متناسب با یکدیگر تشکیل شده اند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین می توان یکی از آنها را بلافاصله حذف کرد، و بقیه را در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را به دست آورد. و دوباره، یکی از دو خط یکسان را ترک کنید.

نتیجه چنین ماتریسی است. سیستم هنوز نوشته نشده است، در اینجا لازم است متغیرهای اساسی تعیین شوند - ضرایب a₁₁=1 و a₂₂=1 و رایگان - بقیه.

فقط یک متغیر اساسی در معادله دوم وجود دارد - x₂. بنابراین، می توان آن را از آنجا بیان کرد، با نوشتن از طریق متغیرهای x₃، x₄، x₅، که رایگان هستند.

عبارت به دست آمده را با معادله اول جایگزین کنید.

معادله ای به دست آمد که در آنتنها متغیر اصلی x₁ است. بیایید همان کار را با x₂ با آن انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دوتا از آنها وجود دارد بر حسب سه متغیر آزاد بیان می شوند، اکنون می توانید پاسخ را به صورت کلی بنویسید.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی، به عنوان یک قاعده، صفرها به عنوان مقادیر برای متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

-16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از یک سیستم ناسازگار

حل سیستم های معادلات ناسازگار با روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جواب ندارد، پایان می یابد. یعنی مرحله با محاسبه ریشه که کاملا طولانی و کسالت بار است از بین می رود. سیستم زیر در حال بررسی است:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

طبق معمول، ماتریس کامپایل شده است:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به شکل پلکانی کاهش یافت:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل معادله ای به شکل

است.

0=7،

بدون راه حل. بنابراین، سیستمناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی است.

مزایا و معایب روش

اگر روشی را برای حل SLAE روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله در نظر گرفته شده است جذاب ترین به نظر می رسد. در تبدیل‌های ابتدایی، گیج شدن بسیار دشوارتر از آن است که شما به صورت دستی به دنبال تعیین کننده یا ماتریس معکوس پیچیده باشید. با این حال، اگر از برنامه‌هایی برای کار با داده‌هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می‌کنید، معلوم می‌شود که چنین برنامه‌هایی قبلاً حاوی الگوریتم‌هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس‌ها هستند - ماتریس‌های تعیین‌کننده، فرعی‌ها، ماتریس‌های معکوس و جابجا شده و غیره.. و اگر مطمئن هستید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا کاربرد آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده و ماتریس های معکوس شروع و پایان می یابد.

برنامه

از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE وارد شده در جدول به شکل ماتریس توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها، دستورات خوب بسیاری وجود دارد: جمع (شما می توانید فقط ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس (همچنین بامحدودیت‌های خاص)، یافتن ماتریس‌های معکوس و جابجا شده و مهم‌تر از همه، محاسبه دترمینان. اگر این کار وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، تعیین رتبه یک ماتریس و در نتیجه تعیین سازگاری یا ناسازگاری آن بسیار سریعتر است.