فرمول های مساحت یک بخش از دایره و طول قوس آن

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

دایره شکل اصلی در هندسه است که ویژگی های آن در مدرسه در کلاس هشتم مورد توجه قرار می گیرد. یکی از مشکلات معمولی مرتبط با دایره، یافتن مساحت قسمتی از آن است که به آن بخش دایره ای می گویند. در این مقاله فرمول هایی برای مساحت یک بخش و طول قوس آن و همچنین نمونه ای از استفاده از آنها برای حل یک مسئله خاص ارائه شده است.

مفهوم دایره و دایره

قبل از ارائه فرمول برای مساحت یک بخش از یک دایره، بیایید در نظر بگیریم که شکل نشان داده شده چیست. طبق تعریف ریاضی، دایره به شکلی در صفحه ای که همه نقاط آن از یک نقطه (مرکز) به یک اندازه فاصله دارند، درک می شود.

هنگام در نظر گرفتن یک دایره، از اصطلاحات زیر استفاده می شود:

• Radius - پاره ای که از نقطه مرکزی تا منحنی دایره کشیده می شود. معمولاً با حرف R نشان داده می شود.

قطر

• قطعه ای است که دو نقطه از دایره را به هم متصل می کند، اما از مرکز شکل نیز می گذرد.معمولاً با حرف D نشان داده می شود.
• قوس بخشی از یک دایره منحنی است. یا بر حسب واحد طول یا با استفاده از زاویه اندازه گیری می شود.

دایره یکی دیگر از شکل های هندسی مهم است، این مجموعه ای از نقاط است که توسط یک دایره منحنی محدود شده است.

مساحت و دور دایره

مقادیر ذکر شده در عنوان مورد با استفاده از دو فرمول ساده محاسبه می شود. آنها در زیر فهرست شده اند:

• محیط: L=2piR.
• مساحت دایره: S=piR².

در این فرمول ها، پی مقداری ثابت به نام Pi است. غیر منطقی است، یعنی نمی توان آن را دقیقاً به صورت کسر ساده بیان کرد. پی تقریباً 3.1416 است.

همانطور که از عبارات بالا می بینید، برای محاسبه مساحت و طول کافی است فقط شعاع دایره را بدانید.

مساحت بخش دایره و طول قوس آن

قبل از در نظر گرفتن فرمول های مربوطه، به یاد می آوریم که زاویه در هندسه معمولاً به دو روش اصلی بیان می شود:

• در درجات نیمی و یک چرخش کامل حول محور آن 360^o;

است

• بر حسب رادیان، که به صورت کسر pi بیان می شود و با معادله زیر به درجه مربوط می شود: 2pi=360^o.

قطعه یک دایره شکلی است که با سه خط محدود شده است: یک قوس یک دایره و دو شعاع واقع در انتهای این کمان. نمونه ای از بخش دایره ای در عکس زیر نشان داده شده است.

دریافت ایده ای از چیستی بخش برای یک دایره، آسان استنحوه محاسبه مساحت آن و طول قوس مربوطه را درک کنید. از شکل بالا می توان دریافت که قوس بخش با زاویه θ مطابقت دارد. می دانیم که یک دایره کامل با رادیان 2pi مطابقت دارد، بنابراین فرمول مساحت یک بخش دایره ای به شکل زیر است: S₁=Sθ/(2 pi)=piR 2^θ/(2pi)=θR2^{/2. در اینجا زاویه θ بر حسب رادیان بیان می شود. یک فرمول مشابه برای مساحت بخش، اگر زاویه θ بر حسب درجه اندازه گیری شود، به این صورت خواهد بود: S}1_=piθR2 ^/360.

طول قوس تشکیل دهنده یک بخش با فرمول محاسبه می شود: L₁=θ2piR/(2pi)=θR. و اگر θ بر حسب درجه شناخته شود، آنگاه: L₁=piθR/180.

نمونه ای از حل مسئله

بیایید از مثال یک مسئله ساده برای نشان دادن نحوه استفاده از فرمول های مساحت یک بخش از یک دایره و طول قوس آن استفاده کنیم.

معلوم است که چرخ 12 پره دارد. هنگامی که چرخ یک دور کامل انجام می دهد، مسافت 1.5 متری را طی می کند. مساحت بین دو پره مجاور چرخ چقدر است و طول قوس بین آنها چقدر است؟

همانطور که از فرمول های مربوطه می بینید، برای استفاده از آنها، باید دو کمیت را بدانید: شعاع دایره و زاویه قوس. شعاع را می توان با دانستن دور چرخ محاسبه کرد، زیرا مسافت طی شده توسط آن در یک دور دقیقاً با آن مطابقت دارد. ما داریم: 2Rpi=1.5، از این رو: R=1.5/(2pi)=0.2387 متر. زاویه بین نزدیکترین پره ها را می توان با دانستن تعداد آنها تعیین کرد.با فرض اینکه همه 12 پره دایره را به طور مساوی به بخش های مساوی تقسیم کنند، 12 بخش یکسان به دست می آید. بر این اساس، اندازه زاویه ای قوس بین دو پره عبارت است از: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 رادیان.

ما همه مقادیر لازم را پیدا کرده‌ایم، اکنون می‌توان آن‌ها را در فرمول‌ها جایگزین کرد و مقادیر مورد نیاز با شرایط مسئله را محاسبه کرد. دریافت می کنیم: S₁=0.5236(0.2387)²/2=0.0149 m^2، یا 149cm²; L₁=0.52360.2387=0.125 متر یا 12.5 سانتی متر.