منطق نمادین شاخه ای از علم است که به بررسی اشکال صحیح استدلال می پردازد. این نقش اساسی در فلسفه، ریاضیات و علوم کامپیوتر ایفا می کند. منطق نیز مانند فلسفه و ریاضیات ریشه ای کهن دارد. اولین رساله ها در مورد ماهیت استدلال صحیح بیش از 2000 سال پیش نوشته شده است. برخی از مشهورترین فیلسوفان یونان باستان بیش از 2300 سال پیش در مورد ماهیت ماندگاری نوشتند. متفکران چینی باستان در همان زمان در مورد پارادوکس های منطقی می نوشتند. اگرچه ریشه‌های آن به گذشته‌های دور برمی‌گردد، اما منطق هنوز یک رشته تحصیلی پر جنب و جوش است.
منطق نمادین ریاضی
همچنین باید بتوانید درک کنید و استدلال کنید، به همین دلیل است که وقتی تجهیزات خاصی برای تجزیه و تحلیل و تشخیص حوزه های مختلف زندگی وجود نداشت، به نتیجه گیری های منطقی توجه ویژه ای شد. منطق نمادین مدرن از آثار ارسطو (384-322 قبل از میلاد)، فیلسوف بزرگ یونانی و یکی از تأثیرگذارترین متفکران تمام دوران برخاسته است. موفقیت های بعدی بودتوسط کریسیپوس، فیلسوف رواقی یونانی، که پایه های آنچه را که اکنون منطق گزاره ای می نامیم، ایجاد کرد.
منطق ریاضی یا نمادین فقط در قرن نوزدهم توسعه یافت. آثار بول، دو مورگان، شرودر ظاهر شد که در آن دانشمندان آموزه های ارسطو را جبری کردند و بدین وسیله مبنایی برای حساب گزاره ای تشکیل دادند. این کار توسط Frege و Preece دنبال شد که در آن مفاهیم متغیرها و کمیت‌نماها معرفی شدند که شروع به استفاده در منطق کردند. بنابراین محاسبه محمولات - گزاره های مربوط به موضوع شکل گرفت.
منطق ضمن اثبات حقایق غیرقابل انکار زمانی که هیچ تایید مستقیمی از حقیقت وجود نداشت. قرار بود عبارات منطقی طرف مقابل را به صحت قانع کند.
فرمول های منطقی بر اساس اصل اثبات ریاضی ساخته شده اند. بنابراین آنها مخاطبین را به دقت و قابلیت اطمینان متقاعد کردند.
با این حال، همه اشکال استدلال در کلمات نوشته می شد. هیچ مکانیزم رسمی وجود نداشت که یک حساب استنتاج منطقی ایجاد کند. مردم شروع به شک کردند که آیا دانشمند پشت محاسبات ریاضی پنهان شده است یا نه، و در پشت آنها بیهودگی حدس های خود را پنهان می کرد، زیرا هرکسی می تواند استدلال های خود را به نفع دیگری ارائه کند.
تولد معناداری: منطق استوار در ریاضیات به عنوان اثبات صدق
در اواخر قرن هجدهم، منطق ریاضی یا نمادین به عنوان علمی ظهور کرد که شامل فرآیند مطالعه درستی نتیجه‌گیری‌ها می‌شد. قرار بود پایان منطقی و ارتباطی داشته باشند. اما چگونه بود برای اثباتیا داده های تحقیق را توجیه کنید؟
فیلسوف و ریاضیدان بزرگ آلمانی گوتفرید لایبنیتس یکی از اولین کسانی بود که به ضرورت رسمی کردن استدلال های منطقی پی برد. این رویای لایب نیتس بود: ایجاد یک زبان رسمی جهانی از علم که همه مناقشات فلسفی را به یک محاسبه ساده تقلیل دهد و استدلال در چنین مباحثی را به این زبان بازنگری کند. منطق ریاضی یا نمادین به شکل فرمول هایی ظاهر شد که کارها و راه حل ها را در مسائل فلسفی تسهیل می کرد. بله، و این حوزه از علم اهمیت بیشتری پیدا کرد، زیرا پس از آن گفتگوهای بی معنی فلسفی به انتهایی تبدیل شد که خود ریاضیات بر آن تکیه می کند!
در زمان ما منطق سنتی ارسطویی نمادین است که ساده و بی تکلف است. در قرن نوزدهم، علم با پارادوکس مجموعه‌ها مواجه شد، که منجر به ناسازگاری در آن راه‌حل‌های بسیار معروف توالی‌های منطقی ارسطو شد. این مشکل باید حل می شد، زیرا در علم نمی توان حتی خطاهای سطحی داشت.
رسمیت لوئیس کارول - منطق نمادین و مراحل تبدیل آن
منطق رسمی اکنون موضوعی است که در دوره گنجانده شده است. با این حال، ظاهر خود را مدیون نماد نمادین است، همان چیزی که در ابتدا خلق شده است. منطق نمادین روشی برای نمایش عبارات منطقی با استفاده از نمادها و متغیرها به جای زبان معمولی است. این ابهام همراه با زبان های رایج مانند روسی را از بین می برد و کار را آسان تر می کند.
سیستم های بسیاری از منطق نمادین وجود دارد، مانند:
- گزاره کلاسیک.
- منطق مرتبه اول.
- Modal.
منطق نمادین که توسط لوئیس کارول فهمیده می شود باید گزاره های درست و نادرست را در سؤال پرسیده شده نشان دهد. هر کدام می توانند کاراکترهای جداگانه داشته باشند یا استفاده از کاراکترهای خاص را حذف کنند. در اینجا چند نمونه از گزاره هایی وجود دارد که زنجیره منطقی نتیجه گیری را می بندد:
- همه افرادی که با من یکسان هستند موجوداتی هستند که وجود دارند.
- همه قهرمانانی که شبیه بتمن هستند موجوداتی هستند که وجود دارند.
- بنابراین (از آنجایی که من و بتمن هرگز در یک مکان دیده نشدیم)، همه افرادی که شبیه من هستند، قهرمانانی مشابه بتمن هستند.
این یک قیاس شکل معتبر نیست، اما همان ساختار زیر است:
- همه سگها پستانداران هستند.
- همه گربه ها پستانداران هستند.
- به همین دلیل است که همه سگ ها گربه هستند.
باید بدیهی باشد که شکل نمادین فوق در منطق معتبر نیست. اما در منطق، عدالت با این عبارت تعریف می شود: اگر مقدمه درست بود، نتیجه درست می شد. این به وضوح درست نیست. همین امر در مورد نمونه قهرمان که همان شکل را دارد نیز صادق خواهد بود. اعتبار فقط در مورد استدلال های قیاسی صدق می کند که به منظور اثبات نتیجه گیری خود با قطعیت است، زیرا استدلال قیاسی نمی تواند معتبر باشد. این "اصلاحات" در آمار نیز در مواردی که نتیجه خطای داده وجود دارد اعمال می شود و منطق نمادین مدرن به عنوانرسمی بودن داده های ساده شده در بسیاری از این موارد کمک می کند.
استقرا در منطق مدرن
برهان استقرایی فقط برای نشان دادن نتیجه گیری آن با احتمال زیاد یا رد است. استدلال های استقرایی یا قوی هستند یا ضعیف.
به عنوان یک استدلال استقرایی، مثال ابرقهرمان بتمن به سادگی ضعیف است. وجود بتمن مشکوک است، بنابراین یکی از اظهارات قبلاً با احتمال زیاد اشتباه است. اگرچه شما هرگز او را در همان مکان دیگری ندیده اید، اما مضحک است که این بیان را به عنوان مدرک در نظر بگیرید. برای درک ماهیت منطق، تصور کنید:
- شما هرگز در مکانی مشابه بومی گینه دیده نشده اید.
- غیر قابل قبول است که شما و فرد گینه ای یک فرد باشید.
- حالا تصور کنید که شما و یک آفریقایی هرگز در یک مکان ملاقات نکرده اید. قابل قبول نیست که شما و یک آفریقایی یک نفر باشید. اما گینه و آفریقا به هم رسیدند، بنابراین شما نمی توانید همزمان هر دو باشید. شواهد مبنی بر اینکه شما آفریقایی یا گینه ای هستید به میزان قابل توجهی کاهش یافته است.
از این دیدگاه، خود ایده منطق نمادین بر رابطه پیشینی با ریاضیات دلالت نمی کند. تنها چیزی که برای تشخیص منطق به عنوان یک نماد لازم است، استفاده گسترده از نمادها برای نمایش عملیات منطقی است.
نظریه منطقی کارول: درهم تنیدگی یا مینیمالیسم در فلسفه ریاضی
کارول چند راه غیرمعمول یاد گرفتکه او را وادار کرد تا مشکلات نسبتاً دشواری را که همکارانش با آن مواجه بودند حل کند. این امر به دلیل پیچیدگی نمادهای منطقی و سیستم هایی که او در نتیجه کار خود دریافت کرد، از پیشرفت قابل توجهی جلوگیری کرد. دلیل وجود منطق نمادین کارول مشکل حذف است. چگونه می توان نتیجه ای را که باید از مجموعه ای از مقدمات در مورد رابطه بین عبارات معین گرفته شود پیدا کرد؟ حذف "اصطلاحات میانی".
برای حل این مشکل اصلی منطق در اواسط قرن نوزدهم بود که ابزارهای نمادین، نموداری و حتی مکانیکی اختراع شدند. با این حال، روشهای کارول برای پردازش چنین «توالی‌های منطقی» (به قول او) همیشه راه‌حل درستی ارائه نمی‌دهد. بعدها، فیلسوف دو مقاله در مورد فرضیه ها منتشر کرد که در مجله ذهن منعکس شده است: پارادوکس منطقی (1894) و آنچه لاک پشت به آشیل گفت (1895).
این مقالات به طور گسترده توسط منطق دانان قرن نوزدهم و بیستم مورد بحث قرار گرفت (پیرس، راسل، رایل، پیشین، کواین، و غیره). مقاله اول اغلب به عنوان یک تصویر خوب از پارادوکس های دلالت مادی ذکر می شود، در حالی که مقاله دوم به آنچه به عنوان پارادوکس استنتاج معروف است منتهی می شود.
سادگی نمادها در منطق
زبان نمادین منطق جایگزین جملات طولانی مبهم است. راحت است، زیرا در زبان روسی می توانید در مورد شرایط مختلف یک چیز را بگویید، که باعث می شود گیج شوید، و در ریاضیات، نمادها جایگزین هویت هر معنی می شوند.
- اول، اختصار برای کارایی مهم است.منطق نمادین نمی تواند بدون علائم و نشانه ها عمل کند، در غیر این صورت فقط فلسفی و بدون حق معنای واقعی باقی می ماند.
- ثانیاً، نمادها دیدن و فرمول‌بندی حقایق منطقی را آسان‌تر می‌کنند. موارد 1 و 2 دستکاری "جبری" فرمول های منطقی را تشویق می کند.
- سوم، وقتی منطق حقایق منطقی را بیان می کند، صورت بندی نمادین مطالعه ساختار منطق را تشویق می کند. این مربوط به نکته قبل است. بنابراین، منطق نمادین خود را به مطالعه ریاضی منطق، که شاخه‌ای از موضوع منطق ریاضی است، می‌رساند.
- چهارم، هنگام تکرار پاسخ، استفاده از نمادها کمکی برای جلوگیری از ابهام (مثلاً معانی متعدد) زبان عادی است. همچنین کمک می کند تا اطمینان حاصل شود که معنی منحصر به فرد است.
سرانجام، زبان نمادین منطق، محاسبات محمولی را که فرگه معرفی کرده است، اجازه می دهد. در طول سالها، نماد نمادین برای خود حساب محمول اصلاح شده و کارآمدتر شده است، زیرا نمادگذاری خوب در ریاضیات و منطق مهم است.
هستی شناسی ارسطو از دوران باستان
دانشمندان زمانی به کار متفکر علاقه مند شدند که شروع به استفاده از روش های اسلینین در تفاسیر خود کردند. این کتاب نظریه های منطق کلاسیک و مدال را ارائه می دهد. بخش مهمی از مفهوم، کاهش به CNF در منطق نمادین فرمول منطق گزاره بود. مخفف به معنای پیوند یا تفکیک متغیرها است.
Slinin Ya. A. پیشنهاد کرد که نفی های پیچیده، که به کاهش مکرر فرمول ها نیاز دارند، باید به یک فرمول فرعی تبدیل شوند. بنابراین، او برخی از مقادیر را به مقادیر کمتر تبدیل کرد و مشکلات را در یک نسخه خلاصه شده حل کرد. کار با نفی به فرمول های دو مورگان تقلیل یافت. قوانینی که نام دی مورگان را یدک می‌کشند، یک جفت قضیه مرتبط هستند که امکان تبدیل گزاره‌ها و فرمول‌ها را به موارد جایگزین و اغلب راحت‌تر می‌دهند. قوانین به شرح زیر است:
- نفی (یا ناسازگاری) یک تفکیک برابر است با اتحاد نفی جایگزین ها - p یا q برابر با p و نه q یا به طور نمادین ~ (p ⊦ q) ≡ ~ p ~q است.
- نفی حرف ربط برابر است با تفکیک نفی حروف ربط اصلی، یعنی نه (p و q) برابر نیست با p یا نه q، یا به طور نمادین ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
به لطف این داده های اولیه، بسیاری از ریاضیدانان شروع به استفاده از فرمول ها برای حل مسائل پیچیده منطقی کردند. بسیاری از مردم می دانند که دوره ای از سخنرانی ها وجود دارد که در آن منطقه تقاطع توابع مطالعه می شود. و تفسیر ماتریس نیز بر اساس فرمول های منطقی است. جوهر منطق در ارتباط جبری چیست؟ این یک تابع خطی سطحی است، زمانی که می‌توانید علم اعداد و فلسفه را در یک کاسه به‌عنوان حوزه‌ای «بی‌روح» و غیر سودمند از استدلال قرار دهید. گرچه ای. کانت به عنوان یک ریاضیدان و فیلسوف غیر از این فکر می کرد. او خاطرنشان کرد که تا زمانی که خلاف آن ثابت نشود، فلسفه چیزی نیست. و شواهد باید از نظر علمی معتبر باشد. و چنین شد که فلسفه به لطف آن اهمیت پیدا کردمطابقت با ماهیت واقعی اعداد و محاسبات.
کاربرد منطق در علم و دنیای مادی واقعیت
فیلسوفان معمولاً علم استدلال منطقی را فقط برای برخی پروژه‌های جاه‌طلبانه پس از مدرک (معمولاً با درجه بالایی از تخصص، مانند اضافه کردن به علوم اجتماعی، روان‌شناسی، یا طبقه‌بندی اخلاقی) به کار نمی‌برند. این متناقض است که علم فلسفی روش محاسبه صدق و کذب را «تولد» کرد، اما خود فیلسوفان از آن استفاده نمی کنند. پس چنین قیاسهای ریاضی واضحی برای چه کسی ایجاد و تبدیل شده است؟
- برنامه نویسان و مهندسان از منطق نمادین (که تفاوت چندانی با اصلی ندارد) برای پیاده سازی برنامه های کامپیوتری و حتی تابلوهای طراحی استفاده کردند.
- در مورد رایانه‌ها، منطق به اندازه‌ای پیچیده شده است که بتواند فراخوانی‌های توابع متعدد و همچنین ریاضیات را پیش ببرد و مسائل ریاضی را حل کند. بیشتر آن مبتنی بر دانش حل مسئله ریاضی و احتمال همراه با قواعد منطقی حذف، گسترش و کاهش پذیری است.
- زبان های کامپیوتری را نمی توان به راحتی درک کرد تا در محدوده دانش ریاضیات به طور منطقی کار کنند و حتی عملکردهای خاصی را انجام دهند. بسیاری از زبان رایانه احتمالاً فقط توسط رایانه ها ثبت شده یا قابل درک است. اکنون برنامه نویسان اغلب به رایانه ها اجازه انجام وظایف منطقی و حل آنها را می دهند.
در طول چنین پیش نیازهایی، بسیاری از دانشمندان ایجاد مواد پیشرفته را نه برای علم، بلکه برایسهولت استفاده از رسانه و فناوری شاید به زودی منطق به حوزه های اقتصاد، تجارت و حتی کوانتوم "دو وجهی" نفوذ کند که هم مانند اتم و هم مانند یک موج رفتار می کند.
منطق کوانتومی در عمل مدرن تحلیل ریاضی
منطق کوانتومی (QL) به عنوان تلاشی برای ساختن یک ساختار گزاره ای توسعه یافت که امکان توصیف رویدادهای جالب در مکانیک کوانتومی (QM) را فراهم کند. QL جایگزین ساختار بولی شد، که برای نمایش قلمرو اتمی کافی نبود، اگرچه برای گفتمان فیزیک کلاسیک مناسب است.
ساختار ریاضی یک زبان گزاره‌ای درباره سیستم‌های کلاسیک مجموعه‌ای از قدرت‌ها است که تا حدی توسط مجموعه گنجاندن مرتب شده‌اند، با یک جفت عملیات نشان‌دهنده اتحاد و گسست.
این جبر با گفتمان پدیده‌های کلاسیک و نسبیتی سازگار است، اما با نظریه‌ای که مثلاً دادن مقادیر صدق همزمان را ممنوع می‌کند، ناسازگار است. پیشنهاد پدران بنیانگذار QL برای جایگزینی ساختار بولی منطق کلاسیک با ساختار ضعیف‌تری ایجاد شد که ویژگی‌های توزیعی پیوند و تفکیک را تضعیف کند.
تضعیف نفوذ نمادین تثبیت شده: آیا حقیقت واقعاً در ریاضیات به عنوان یک علم دقیق مورد نیاز است
در طول توسعه خود، منطق کوانتومی نه تنها به سنتی، بلکه به چندین حوزه از تحقیقات مدرن اشاره کرد که سعی در درک مکانیک از دیدگاه منطقی داشتند. چندگانهرویکردهای کوانتومی برای معرفی استراتژی‌ها و مسائل مختلف مورد بحث در ادبیات مکانیک کوانتومی. در صورت امکان، فرمول های غیر ضروری حذف می شوند تا درک شهودی از مفاهیم قبل از به دست آوردن یا معرفی ریاضیات مرتبط ارائه شود.
یک سوال همیشگی در تفسیر مکانیک کوانتومی این است که آیا توضیحات اصولی کلاسیک برای پدیده‌های مکانیک کوانتومی در دسترس است یا خیر. منطق کوانتومی نقش بزرگی در شکل‌دهی و اصلاح این بحث ایفا کرده است، به‌ویژه به ما این امکان را می‌دهد تا در مورد منظورمان از توضیح کلاسیک نسبتاً دقیق باشیم. اکنون می توان با دقت مشخص کرد که کدام نظریه ها را می توان قابل اعتماد دانست و کدام یک نتیجه منطقی قضاوت های ریاضی هستند.
