نابرابری ها و سیستم های نابرابری ها یکی از مباحثی است که در جبر دبیرستان تدریس می شود. از نظر سختی، سخت ترین نیست، زیرا قوانین ساده ای دارد (در مورد آنها کمی بعد). به عنوان یک قاعده، دانش آموزان مدرسه راه حل سیستم های نابرابری را به راحتی یاد می گیرند. این نیز به این دلیل است که معلمان به سادگی دانش آموزان خود را در مورد این موضوع "آموزش" می دهند. و آنها نمی توانند این کار را انجام دهند، زیرا در آینده با استفاده از مقادیر ریاضی دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین برای OGE و آزمون دولتی واحد بررسی می شود. در کتاب های درسی مدرسه، مبحث نابرابری ها و سیستم های نابرابری با جزئیات کامل پوشش داده شده است، بنابراین اگر قصد مطالعه آن را دارید، بهتر است به آنها متوسل شوید. این مقاله فقط نقل قولی از بسیاری از مطالب است و ممکن است حاوی برخی حذفیات باشد.
مفهوم سیستم نابرابری
اگر به زبان علمی رجوع کنیم، می توانیم مفهوم «سیستم» را تعریف کنیماین یک مدل ریاضی است که چندین نابرابری را نشان می دهد. البته این مدل نیاز به یک راه حل دارد و پاسخ کلی برای تمام نابرابری های سیستم پیشنهادی در کار خواهد بود (معمولاً به این صورت نوشته می شود، برای به عنوان مثال: "نظام نابرابری های 4 x + 1 > 2 و 30 - x > 6…" را حل کنید.
سیستم های نابرابری ها و سیستم های معادلات
در فرآیند یادگیری یک مبحث جدید، اغلب سوء تفاهم ایجاد می شود. از یک طرف، همه چیز روشن است و ترجیح می دهم شروع به حل وظایف کنم، اما از طرف دیگر، برخی از لحظات در "سایه" باقی می مانند، آنها به خوبی درک نمی شوند. همچنین، برخی از عناصر دانش از قبل به دست آمده را می توان با موارد جدید در هم آمیخت. اشتباهات اغلب در نتیجه این همپوشانی رخ می دهد.
بنابراین، قبل از شروع به تجزیه و تحلیل موضوع خود، باید تفاوت بین معادلات و نابرابری ها، سیستم های آنها را یادآور شویم. برای این کار لازم است یک بار دیگر مشخص شود که این مفاهیم ریاضی چیست. یک معادله همیشه یک برابر است و همیشه با چیزی برابر است (در ریاضیات این کلمه با علامت "=" نشان داده می شود). نابرابری مدلی است که در آن یک مقدار یا بزرگتر یا کوچکتر از مقدار دیگر است یا حاوی این ادعا است که آنها یکسان نیستند. بنابراین، در مورد اول، مناسب است از برابری صحبت کنیم، و در مورد دوم، صرف نظر از اینکه چقدر واضح به نظر می رسد.خود نام، در مورد نابرابری داده های اولیه. سیستم های معادلات و نابرابری ها عملاً با یکدیگر تفاوتی ندارند و روش حل آنها یکسان است. تنها تفاوت این است که اولی از برابری استفاده می کند در حالی که دومی از نابرابری استفاده می کند.
انواع نابرابری
دو نوع نامساوی وجود دارد: عددی و با متغیر مجهول. نوع اول مقادیر (اعداد) ارائه شده است که با یکدیگر برابر نیستند، به عنوان مثال، 8 > 10. نوع دوم نابرابری های حاوی یک متغیر ناشناخته (که با برخی از حروف الفبای لاتین، اغلب X نشان داده می شود) است. این متغیر باید پیدا شود. بسته به تعداد آنها، مدل ریاضی بین نابرابری ها با یک (آنها سیستمی از نابرابری ها را با یک متغیر می سازند) یا چندین متغیر (یک سیستم نابرابری با چندین متغیر را می سازند) تمایز قائل می شود.
دو نوع آخر با توجه به درجه ساخت و میزان پیچیدگی راه حل به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. ساده ها را نابرابری خطی نیز می گویند. آنها به نوبه خود به سختگیرانه و غیر دقیق تقسیم می شوند. به طور خاص "بگویید" که یک مقدار باید یا کمتر یا بیشتر باشد، بنابراین این نابرابری محض است. چندین مثال وجود دارد: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، و غیره. موارد غیر دقیق نیز شامل برابری می شوند. یعنی یک مقدار می تواند بزرگتر یا مساوی با مقدار دیگری باشد (علامت "≧") یا کمتر یا مساوی با مقدار دیگر (علامت "≦"). هنوز در صفدر نابرابری ها، متغیر در ریشه نمی ایستد، مربع، بر چیزی تقسیم نمی شود، به همین دلیل است که به آنها "ساده" می گویند. پیچیده شامل متغیرهای ناشناخته است که یافتن آنها به عملیات ریاضی بیشتری نیاز دارد. آنها اغلب در یک مربع، مکعب یا زیر ریشه هستند، می توانند مدولار، لگاریتمی، کسری و غیره باشند. اما از آنجایی که وظیفه ما درک حل سیستم های نابرابری است، در مورد سیستم نابرابری های خطی صحبت خواهیم کرد. اما قبل از آن باید چند کلمه در مورد خواص آنها گفت.
ویژگی‌های نابرابری
خواص نابرابری ها شامل موارد زیر است:
- اگر عملیات تغییر ترتیب اضلاع اعمال شود، علامت نابرابری معکوس می شود (به عنوان مثال، اگر t1 ≦ t2 ، سپس t 2 ≧ t1).
- هر دو بخش نابرابری به شما امکان می دهد عدد مشابهی را به خودتان اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t1 ≦ t2، سپس t 1 + عدد ≦ t2 + عدد).
- دو یا چند نابرابری با علامت هم جهت به شما امکان می دهد قسمت چپ و راست آنها را اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t1 ≧ t2 ، t3 ≧ t4، سپس t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که در یک عدد مثبت یکسان ضرب یا تقسیم شوند (به عنوان مثال، اگر t1 ≦ t2و عدد ≦ 0، سپس عدد t1 ≧ عدد t2).
- دو یا چند نابرابری که دارای عبارات مثبت و نشانه ای از یک جهت هستند اجازه می دهدیکدیگر را ضرب کنید (برای مثال، اگر t1 ≦ t2، t3 ≦ t4، t1، t2، t3، t 4 ≧ 0 سپس t1 t3 ≦ t2 t4).
- هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که در یک عدد منفی یکسان ضرب یا تقسیم شوند، اما علامت نابرابری تغییر می کند (به عنوان مثال، اگر t1 ≦ t2 و عدد ≦ 0، سپس عدد t1 ≧ عدد t2.
- همه نابرابری ها گذرا هستند (برای مثال، اگر t1 ≦ t2 و t2≦ t3، سپس t1 ≦ t3).
اکنون پس از مطالعه مفاد اصلی نظریه مربوط به نابرابری ها، می توان مستقیماً به بررسی قواعد حل سیستم های آنها پرداخت.
حل سیستم های نابرابری. اطلاعات کلی. راه حل های
همانطور که در بالا ذکر شد، راه حل مقادیر متغیری است که با تمام نابرابری های سیستم داده شده مطابقت دارد. حل سیستم های نابرابری، اجرای عملیات ریاضی است که در نهایت منجر به حل کل سیستم می شود یا ثابت می کند که هیچ راه حلی ندارد. در این مورد، گفته می شود که متغیر به مجموعه اعداد خالی اشاره دارد (به صورت زیر نوشته می شود: حرف نشان دهنده متغیر ∈ (علامت «متعلق» است) ø (علامت «مجموعه خالی»)، به عنوان مثال، x ∈ ø (به این صورت خوانده می شود: "متغیر "x" متعلق به مجموعه خالی است"). چندین روش برای حل سیستم های نابرابری وجود دارد:روش گرافیکی، جبری، جایگزینی. شایان ذکر است که آنها به آن دسته از مدل های ریاضی اشاره می کنند که دارای چندین متغیر مجهول هستند. در مواردی که فقط یکی وجود دارد، روش فاصله گذاری انجام می شود.
روش گرافیکی
به شما امکان می دهد سیستمی از نابرابری ها را با چندین مجهول (از دو یا بیشتر) حل کنید. به لطف این روش، سیستم نابرابری های خطی به راحتی و به سرعت حل می شود، بنابراین رایج ترین روش است. این به این دلیل است که رسم کردن میزان نوشتن عملیات ریاضی را کاهش می دهد. زمانی که کار زیادی انجام شده است و کمی تنوع می خواهید، کمی استراحت از قلم، برداشتن یک مداد با خط کش و انجام اقدامات بعدی با کمک آنها بسیار لذت بخش می شود. با این حال، برخی از این روش خوششان نمی آید، زیرا باید از کار جدا شوید و فعالیت ذهنی خود را به نقاشی تغییر دهید. با این حال، این یک راه بسیار موثر است.
برای حل یک سیستم نابرابری با استفاده از روش گرافیکی، لازم است همه اعضای هر نابرابری به سمت چپ آنها منتقل شوند. علامت ها معکوس می شوند، صفر باید در سمت راست نوشته شود، سپس هر نابرابری باید جداگانه نوشته شود. در نتیجه توابع از نابرابری ها به دست خواهند آمد. پس از آن، می توانید یک مداد و یک خط کش دریافت کنید: اکنون باید نموداری از هر تابع به دست آمده بکشید. کل مجموعه اعدادی که در بازه تقاطع آنها خواهد بود راه حل سیستم نامساوی خواهد بود.
راه جبری
به شما امکان می دهد سیستمی از نابرابری ها را با دو متغیر مجهول حل کنید. نابرابری ها نیز باید علامت نابرابری یکسانی داشته باشند (یعنی فقط علامت «بزرگتر از» یا فقط علامت «کمتر از» و غیره را داشته باشند. این روش علیرغم محدودیت هایی که دارد، پیچیده تر نیز می باشد. در دو مرحله اعمال می شود.
اولین شامل خلاص شدن از شر یکی از متغیرهای ناشناخته است. ابتدا باید آن را انتخاب کنید، سپس وجود اعداد در مقابل این متغیر را بررسی کنید. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد (پس متغیر شبیه یک حرف واحد خواهد بود)، پس چیزی را تغییر نمی دهیم، اگر وجود داشته باشد (نوع متغیر مثلاً 5y یا 12y خواهد بود)، پس باید مطمئن شد که در هر نابرابری عدد مقابل متغیر انتخاب شده یکسان است. برای انجام این کار، باید هر یک از اعضای نابرابری ها را در یک عامل مشترک ضرب کنید، به عنوان مثال، اگر در نامعادله اول 3y و در دومی 5y نوشته شده باشد، باید تمام اعضای نامعادله اول را در 5 ضرب کنید. و دومی با 3. شما به ترتیب 15 و 15 سال دریافت می کنید.
مرحله دوم تصمیم گیری. لازم است سمت چپ هر نامساوی را با تغییر علامت هر جمله به سمت مقابل به سمت راست آنها منتقل کنید، در سمت راست صفر بنویسید. سپس بخش سرگرم کننده می آید: خلاص شدن از متغیر انتخاب شده (که به عنوان "کاهش" شناخته می شود) در حالی که نابرابری ها را جمع می کند. با یک متغیر که باید حل شود، نابرابری دریافت خواهید کرد. پس از آن، شما باید همین کار را انجام دهید، فقط با یک متغیر ناشناخته دیگر. نتایج به دست آمده راه حل سیستم خواهد بود.
روش تعویض
به شما امکان می دهد سیستمی از نابرابری ها را زمانی که فرصت معرفی یک متغیر جدید را دارید حل کنید. معمولاً از این روش زمانی استفاده می شود که متغیر مجهول در یک جمله نابرابری به توان چهارم و در جمله دیگر مجذور شود. بنابراین، این روش با هدف کاهش درجه نابرابری در سیستم است. نابرابری نمونه x4 - x2 - 1 ≦ 0 به صورت زیر حل می شود. یک متغیر جدید معرفی شده است، به عنوان مثال t. آنها می نویسند: "بگذارید t=x2"، سپس مدل به شکل جدیدی بازنویسی می شود. در مورد ما، t2 - t - 1 ≦0 را دریافت می کنیم. این نابرابری باید با روش بازه حل شود (در مورد آن کمی بعد)، سپس به متغیر X برگردید، سپس همین کار را با نابرابری دیگر انجام دهید. پاسخ های دریافتی تصمیم سیستم خواهد بود.
روش فاصله
این ساده ترین راه برای حل سیستم های نابرابری است و در عین حال جهانی و گسترده است. در دبیرستان و حتی در دبیرستان استفاده می شود. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دانش آموز به دنبال فواصل نابرابری در خط اعداد است که در یک دفترچه ترسیم شده است (این یک نمودار نیست، بلکه فقط یک خط مستقیم معمولی با اعداد است). در جایی که فواصل نابرابری ها تلاقی می کنند، جواب سیستم پیدا می شود. برای استفاده از روش فاصله گذاری، این مراحل را دنبال کنید:
- همه اعضای هر نابرابری با تغییر علامت به سمت چپ به سمت چپ منتقل می شوند (صفر در سمت راست نوشته می شود).
- نابرابری ها به طور جداگانه نوشته می شوند، حل هر یک از آنها مشخص می شود.
- تقاطع نابرابری ها روی عددسر راست. همه اعداد در این تقاطع ها راه حل خواهند بود.
از کدام راه استفاده کنیم؟
بدیهی است که ساده ترین و راحت ترین به نظر می رسد، اما مواقعی وجود دارد که کارها به روش خاصی نیاز دارند. اغلب آنها می گویند که باید با استفاده از نمودار یا با استفاده از روش فاصله حل کنید. روش جبری و جایگزینی به ندرت استفاده می شود یا اصلاً استفاده نمی شود ، زیرا کاملاً پیچیده و گیج کننده هستند و علاوه بر این ، بیشتر برای حل سیستم معادلات به جای نامساوی استفاده می شوند ، بنابراین باید به رسم نمودارها و فواصل متوسل شوید. آنها دید را به ارمغان می آورند، که نمی تواند به انجام کارآمد و سریع عملیات ریاضی کمک کند.
اگر چیزی کار نمی کند
در طول مطالعه یک مبحث خاص در جبر، البته ممکن است در درک آن مشکلاتی وجود داشته باشد. و این طبیعی است، زیرا مغز ما به گونه ای طراحی شده است که قادر به درک مطالب پیچیده در یک حرکت نیست. اغلب لازم است یک پاراگراف را دوباره بخوانید، از یک معلم کمک بگیرید یا حل مسائل معمولی را تمرین کنید. در مورد ما، به عنوان مثال، آنها به این شکل به نظر می رسند: "حل سیستم نابرابری ها 3 x + 1 ≧ 0 و 2 x - 1 > 3". بنابراین، تلاش شخصی، کمک از خارج و تمرین به درک هر موضوع پیچیده کمک می کند.
Reshebnik؟
و کتاب راه حل هم خیلی خوبه ولی نه برای تقلب در تکالیف بلکه برای خودیاری. در آنها می توانید سیستم های نابرابری را با یک راه حل پیدا کنید، نگاه کنیدآنها (مانند الگوها)، سعی کنید دقیقاً درک کنید که نویسنده راه حل چگونه با این کار کنار آمده است، و سپس سعی کنید آن را به تنهایی انجام دهید.
نتیجه گیری
جبر یکی از سخت ترین دروس در مدرسه است. خوب، چه کاری می توانید انجام دهید؟ ریاضیات همیشه اینگونه بوده است: برای برخی آسان است و برای برخی دیگر دشوار است. اما در هر صورت باید به خاطر داشت که برنامه آموزش عمومی به گونه ای طراحی شده است که هر دانش آموزی بتواند با آن کنار بیاید. علاوه بر این، باید تعداد زیادی دستیار را در نظر داشته باشید. برخی از آنها در بالا ذکر شده است.
