نمونه هایی از استقرا. روش استقراء ریاضی: مثال های حل

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

دانش واقعی در همه زمان ها بر پایه ایجاد یک الگو و اثبات صحت آن در شرایط خاص استوار بود. برای چنین دوره طولانی وجود استدلال منطقی، فرمول بندی قواعد ارائه شد و ارسطو حتی فهرستی از «استدلال صحیح» تهیه کرد. از لحاظ تاریخی، مرسوم است که همه استنباط ها را به دو نوع تقسیم می کنند - از عینی به جمع (استقراء) و بالعکس (قیاس). لازم به ذکر است که انواع ادله از خاص به عام و از عام به خاص فقط در رابطه وجود دارد و قابل تعویض نیست.

استقرا در ریاضیات

اصطلاح "القاء" (استقرا) ریشه لاتین دارد و به معنای واقعی کلمه "راهنما" ترجمه می شود. با مطالعه دقیق تر، می توان ساختار کلمه را تشخیص داد، یعنی پیشوند لاتین - in- (نشان دهنده عمل هدایت شده به داخل یا داخل بودن) و -duction - مقدمه. شایان ذکر است که دو نوع وجود دارد - القاء کامل و ناقص. فرم کامل با نتیجه گیری از مطالعه همه موضوعات یک کلاس مشخص مشخص می شود.

ناقص - نتیجه گیری،برای همه موارد کلاس اعمال می شود، اما بر اساس مطالعه فقط برخی از واحدها.

استقرا کامل ریاضی - نتیجه‌گیری بر اساس یک نتیجه‌گیری کلی در مورد کل کلاس هر جسمی که از نظر عملکردی با روابط سری طبیعی اعداد بر اساس دانش این ارتباط عملکردی مرتبط هستند. در این حالت، فرآیند اثبات در سه مرحله انجام می‌شود:

• در مورد اول، درستی گزاره استقرای ریاضی ثابت می شود. مثال: f=1، این مبنای استقرا است؛
• مرحله بعدی بر این فرض استوار است که موقعیت برای همه اعداد طبیعی معتبر است. یعنی f=h، این فرضیه استقرایی است؛
• در مرحله سوم، اعتبار موقعیت برای عدد f=h+1 بر اساس صحت موقعیت پاراگراف قبلی ثابت می شود - این یک انتقال استقرایی یا مرحله ای از استقراء ریاضی است.. یک مثال به اصطلاح "اصل دومینو" است: اگر اولین استخوان پشت سر هم بیفتد (بر اساس)، پس همه سنگ های ردیف سقوط می کنند (انتقال).

شوخی و جدی

برای سهولت درک، نمونه هایی از راه حل ها با روش استقراء ریاضی به عنوان مسائل جوک محکوم می شوند. این وظیفه صف مودبانه است:

قوانین رفتاری، مرد را از نوبت گرفتن در مقابل زن منع می کند (در چنین شرایطی او را جلو می گذارند). بر اساس این گفته، اگر آخرین نفر در صف مرد باشد، بقیه مرد هستند

یک مثال قابل توجه از روش استقراء ریاضی مسئله "پرواز بدون بعد" است:

لازم است ثابت شود که درمینی بوس برای هر تعداد نفر مناسب است. درست است که یک نفر می تواند بدون مشکل (مبنا) در داخل حمل و نقل جا شود. اما مهم نیست که چقدر مینی بوس پر باشد، یک مسافر همیشه در آن جا می شود (مرحله القایی)

حلقه های آشنا

نمونه هایی از حل مسائل و معادلات با استقراء ریاضی بسیار رایج هستند. به عنوان مثالی از این رویکرد، مشکل زیر را در نظر بگیرید.

شرط: دایره های h در هواپیما وجود دارد. اثبات این نکته ضروری است که برای هر چیدمان شکل ها، نقشه تشکیل شده توسط آنها را می توان به درستی با دو رنگ رنگ آمیزی کرد.

تصمیم: برای h=1 صدق عبارت واضح است، بنابراین اثبات برای تعداد دایره‌های h+1 ساخته می‌شود.

بیایید فرض کنیم که این عبارت برای هر نقشه ای درست است و دایره های h+1 در صفحه داده شده است. با حذف یکی از دایره‌ها از کل، می‌توانید نقشه‌ای را با رنگ‌های درست با دو رنگ (سیاه و سفید) دریافت کنید.

هنگام بازیابی یک دایره حذف شده، رنگ هر ناحیه به سمت مخالف تغییر می کند (در این مورد، داخل دایره). نتیجه یک نقشه درست با دو رنگ است که باید ثابت شود.

نمونه هایی با اعداد طبیعی

کاربرد روش استقراء ریاضی در زیر نشان داده شده است.

نمونه هایی از راه حل:

ثابت کنید که برای هر h برابری صحیح خواهد بود:

1²+2²+3²+…+h 2^{=h(h+1)(2h+1)/6.}

راه حل:

1. بگذارید h=1، سپس:

R₁=1²=1(1+1)(2+1)/6=1

نتیجه می شود که برای h=1 عبارت صحیح است.

2. با فرض h=d، معادله این است:

R₁=d²=d(d+1)(2d+1)/6=1

3. با فرض h=d+1، معلوم می شود:

R_d+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R_d+1=1²+2²+3 2^+…+d2^+(d+1)2^{=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)}2^{=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)}2 ^{)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=}

(d+1)(2d²+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.

بنابراین، اعتبار برابری برای h=d+1 ثابت می شود، بنابراین گزاره برای هر عدد طبیعی که در مثال حل با استقراء ریاضی نشان داده شده است، صادق است.

وظیفه

شرط: اثبات این امر لازم است که برای هر مقدار h، عبارت 7^h-1 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است.

راه حل:

1. فرض کنید h=1، در این مورد:

R₁=7¹-1=6 (یعنی قابل تقسیم بر 6 بدون باقیمانده)

بنابراین، برای h=1 عبارت درست است؛

2. فرض کنید h=d و 7^d-1 بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است؛

3. اثبات اعتبار عبارت برای h=d+1 فرمول است:

R_d+1=7^d+1 -1=7∙7^d-7+6=7(7^d-1)+6

در این صورت جمله اول بر اساس فرض بند اول بر 6 بخش پذیر است و جمله دوم بر 6 بخش پذیر است.عبارت 6 است. این جمله که 7^h-1 بر 6 بخش پذیر است بدون باقیمانده برای هیچ h طبیعی درست است.

قضاوت نادرست

اغلب، به دلیل نادرست بودن ساختارهای منطقی استفاده شده، از استدلال نادرست در اثبات استفاده می شود. اصولاً زمانی این اتفاق می افتد که ساختار و منطق برهان نقض شود. مثالی از استدلال نادرست، تصویر زیر است.

وظیفه

شرط: اثبات اینکه هر توده سنگی شمع نیست، مورد نیاز است.

راه حل:

1. فرض کنید h=1، در این مورد 1 سنگ در توده وجود دارد و عبارت درست است (مبنا)؛

2. بگذارید برای h=d درست باشد که انبوهی از سنگها انباشته نیست (فرض)؛

3. h=d+1 را فرض کنید، که از آن نتیجه می شود که وقتی یک سنگ دیگر اضافه می شود، مجموعه یک پشته نخواهد بود. نتیجه گیری خود نشان می دهد که این فرض برای همه h طبیعی معتبر است.

خطا در این واقعیت نهفته است که هیچ تعریفی از تعداد سنگ های تشکیل دهنده یک توده وجود ندارد. چنین حذفی را تعمیم عجولانه در روش استقراء ریاضی می نامند. یک مثال این را به وضوح نشان می دهد.

استقرا و قوانین منطق

از نظر تاریخی، نمونه های استقراء و قیاس همیشه دست به دست هم می دهند. رشته های علمی مانند منطق، فلسفه آنها را متضاد توصیف می کند.

از نظر قانون منطق، تعاریف استقرایی مبتنی بر واقعیات است و صحت مقدمات، صحت گزاره حاصل را تعیین نمی کند. اغلب به دست می آیدنتیجه گیری با درجه ای از احتمال و قابل قبول بودن که البته باید با تحقیقات تکمیلی تایید و تایید شود. مثالی از استقراء در منطق عبارت است:

خشکسالی در استونی، خشک در لتونی، خشک در لیتوانی.

استونی، لتونی و لیتوانی کشورهای حوزه بالتیک هستند. خشکسالی در تمام کشورهای بالتیک.

از مثال می توان نتیجه گرفت که با استفاده از روش استقراء نمی توان به اطلاعات یا حقیقت جدید دست یافت. تنها چیزی که می توانید روی آن حساب کنید صحت احتمالی نتایج است. علاوه بر این، صدق فرضیات نتایج یکسانی را تضمین نمی کند. با این حال، این واقعیت به این معنی نیست که استقرا در حیاط خلوت کسر گیاه می شود: تعداد زیادی از مقررات و قوانین علمی با استفاده از روش استقرا اثبات شده است. ریاضیات، زیست شناسی و سایر علوم می تواند به عنوان مثال باشد. این بیشتر به دلیل روش القایی کامل است، اما در برخی موارد جزئی نیز قابل استفاده است.

عصر ارجمند القاء به آن اجازه داد تقریباً در تمام زمینه های فعالیت انسانی نفوذ کند - این علم، اقتصاد و نتیجه گیری روزمره است.

القاء در محیط علمی

روش استقرا مستلزم نگرش دقیق است، زیرا بیش از حد به تعداد جزئیات مطالعه شده کل بستگی دارد: هر چه تعداد مورد مطالعه بیشتر باشد، نتیجه قابل اعتمادتر است. بر اساس این ویژگی، قوانین علمی به دست آمده از استقرا برای مدت طولانی در سطح مفروضات احتمالی آزمایش می شوند تا همه موارد ممکن را جدا و مطالعه کنند.عناصر ساختاری، اتصالات و تأثیرات.

در علم، نتیجه گیری استقرایی بر اساس ویژگی های مهم است، به استثنای مفاد تصادفی. این واقعیت در ارتباط با ویژگی های دانش علمی مهم است. این به وضوح در نمونه های استقراء در علم دیده می شود.

در دنیای علم دو نوع استقرا وجود دارد (در ارتباط با نحوه مطالعه):

1. انتخاب-القاء (یا انتخاب)؛
2. القاء - حذف (حذف).

نوع اول با نمونه‌برداری روشمند (مستقیم) از یک کلاس (زیر کلاس‌ها) از مناطق مختلف آن مشخص می‌شود.

نمونه ای از این نوع القاء به شرح زیر است: نقره (یا نمک های نقره) آب را تصفیه می کند. نتیجه گیری بر اساس مشاهدات درازمدت (نوعی انتخاب تایید و رد - انتخاب) است.

نوع دوم استقراء مبتنی بر نتایجی است که روابط علّی را ایجاد می کند و شرایطی را که با ویژگی های آن مطابقت ندارد، یعنی کلی بودن، رعایت توالی زمانی، ضرورت و عدم ابهام را حذف می کند.

استقرا و استنتاج از دیدگاه فلسفه

اگر به گذشته نگر تاریخی نگاه کنید، اصطلاح «استقرا» اولین بار توسط سقراط ذکر شد. ارسطو نمونه هایی از استقراء در فلسفه را در فرهنگ اصطلاحی تقریبی تر توصیف کرد، اما مسئله استقراء ناقص همچنان باز است. پس از آزار و اذیت قیاس ارسطویی، روش استقرایی به عنوان ثمربخش و تنها روش ممکن در علوم طبیعی شناخته شد. بیکن پدر استقرا به عنوان یک روش خاص مستقل در نظر گرفته می شود، اما او موفق به جدایی نشد.همانطور که معاصران خواستار استقراء از روش قیاسی بودند.

توسعه بیشتر استقرا توسط جی میل انجام شد که نظریه استقرا را از موقعیت چهار روش اصلی در نظر گرفت: توافق، تفاوت، باقیمانده ها و تغییرات مربوطه. جای تعجب نیست که امروزه روش های ذکر شده، وقتی به تفصیل بررسی می شوند، قیاسی هستند.

آگاهی از شکست نظریه های بیکن و میل، دانشمندان را به بررسی مبنای احتمالی استقراء سوق داد. با این حال، حتی در اینجا نیز افراط‌هایی وجود داشت: تلاش‌هایی برای کاهش استقرا به نظریه احتمال با تمام پیامدهای بعدی انجام شد.

Induction در کاربرد عملی در زمینه‌های موضوعی خاص و به دلیل دقت متریک مبنای استقرایی رای اعتماد دریافت می‌کند. نمونه ای از استقراء و قیاس در فلسفه را می توان قانون گرانش جهانی دانست. در تاریخ کشف قانون، نیوتن توانست آن را با دقت 4 درصد تأیید کند. و هنگامی که پس از بیش از دویست سال آزمایش شد، صحت با دقت 0.0001 درصد تأیید شد، اگرچه آزمایش با همان تعمیم های استقرایی انجام شد.

فلسفه مدرن بیشتر به استنباط توجه می کند، که توسط میل منطقی به دست آوردن دانش (یا حقیقت) جدید از آنچه قبلاً شناخته شده است، بدون توسل به تجربه، شهود، اما با استفاده از استدلال "محض" دیکته می شود. هنگام ارجاع به مقدمات واقعی در روش قیاسی، در همه موارد، خروجی یک عبارت درست است.

این مشخصه بسیار مهم نباید ارزش روش استقرایی را تحت الشعاع قرار دهد. از بدو ورود، با تکیه بر دستاوردهای تجربه،همچنین به وسیله ای برای پردازش آن (شامل تعمیم و سیستم سازی) تبدیل می شود.

کاربرد استقرا در اقتصاد

استقرا و کسر از دیرباز به عنوان روش‌هایی برای مطالعه اقتصاد و پیش‌بینی توسعه آن استفاده می‌شده است.

دامنه استفاده از روش القایی بسیار گسترده است: مطالعه تحقق شاخص های پیش بینی (سود، استهلاک و غیره) و ارزیابی کلی از وضعیت شرکت. شکل‌گیری یک سیاست ارتقای سازمانی مؤثر بر اساس حقایق و روابط آنها.

همان روش استقرا در نمودارهای شوهارت استفاده می شود، جایی که با این فرض که فرآیندها به کنترل شده و مدیریت نشده تقسیم می شوند، بیان می شود که چارچوب فرآیند کنترل شده غیرفعال است.

لازم به ذکر است که قوانین علمی با استفاده از روش استقرا توجیه و تأیید می شوند و از آنجایی که اقتصاد علمی است که اغلب از تحلیل ریاضی، نظریه ریسک و داده های آماری استفاده می کند، جای تعجب نیست که استقرا در این روش گنجانده شود. فهرست روش‌های اصلی.

وضعیت زیر می تواند به عنوان نمونه ای از استقراء و قیاس در اقتصاد باشد. افزایش قیمت مواد غذایی (از سبد مصرفی) و کالاهای ضروری، مصرف کننده را به فکر کردن در مورد هزینه های بالای در حال ظهور در دولت (القایی) سوق می دهد. در عین حال، با توجه به هزینه بالا، با استفاده از روش‌های ریاضی می‌توان شاخص‌های افزایش قیمت را برای تک تک کالاها یا دسته‌بندی کالاها (کسر) استخراج کرد.

بیشتر اوقات، کارکنان مدیریت، مدیران و اقتصاددانان به روش القایی اشاره می کنند. به منظور. واسه اینکه. برای اینکهمی توان با صداقت کافی توسعه شرکت، رفتار بازار، پیامدهای رقابت را پیش بینی کرد، یک رویکرد استقرایی - قیاسی برای تجزیه و تحلیل و پردازش اطلاعات مورد نیاز است.

نمونه ای گویا از استقرا در اقتصاد مربوط به قضاوت های غلط:

• سود شرکت 30% کاهش یافت؛

  رقیب خط تولید را گسترش داد؛

  هیچ چیز دیگری تغییر نکرده است؛

• سیاست تولید رقبا باعث کاهش 30 درصدی سود شد؛
• بنابراین نیاز به اجرای سیاست تولید یکسان است.

مثال یک تصویر رنگارنگ از این است که چگونه استفاده نادرست از روش القاء به تباهی شرکت کمک می کند.

قیاس و استقراء در روانشناسی

از آنجایی که یک روش وجود دارد، پس منطقاً یک تفکر درست سازماندهی شده (برای استفاده از روش) نیز وجود دارد. روانشناسی به عنوان علمی که به مطالعه فرآیندهای ذهنی، شکل گیری، رشد، روابط، تعاملات آنها می پردازد، به تفکر «قیاسی» به عنوان یکی از اشکال تجلی قیاس و استقراء توجه دارد. متأسفانه، در صفحات روانشناسی در اینترنت، عملاً هیچ توجیهی برای یکپارچگی روش قیاسی-استقرایی وجود ندارد. اگرچه روانشناسان حرفه ای بیشتر با تظاهرات القاء یا به عبارتی نتیجه گیری های اشتباه مواجه می شوند.

نمونه ای از استقرا در روانشناسی، به عنوان مثالی از قضاوت های نادرست، این جمله است: مادر من فریبکار است، بنابراین، همه زنان فریبکار هستند.شما می توانید حتی نمونه های "اشتباه" بیشتری از استقرا از زندگی بیاموزید:

• دانش آموزی اگر در ریاضیات یک دونه دریافت کند قادر به هیچ کاری نیست؛
• او احمق است؛
• او باهوش است؛
• من می توانم هر کاری انجام دهم؛

- و بسیاری قضاوت های ارزشی دیگر بر اساس پیام های کاملاً تصادفی و گاه بی اهمیت.

لازم به ذکر است: وقتی مغالطه قضاوت های یک فرد به حد پوچی می رسد، برای روان درمانگر جلوی کار وجود دارد. یک نمونه از القاء در یک قرار ملاقات تخصصی:

«بیمار کاملاً مطمئن است که رنگ قرمز فقط در هر تظاهراتی برای او خطر دارد. در نتیجه، شخص این طرح رنگی را - تا آنجا که ممکن است - از زندگی خود حذف کرده است. در محیط خانه، فرصت های زیادی برای زندگی راحت وجود دارد. می توانید تمام موارد قرمز را رد کنید یا آنها را با آنالوگ های ساخته شده در یک طرح رنگ متفاوت جایگزین کنید. اما در مکان های عمومی، در محل کار، در فروشگاه - غیرممکن است. با قرار گرفتن در یک موقعیت استرس، بیمار هر بار "جند و مد" از حالات احساسی کاملا متفاوت را تجربه می کند که می تواند برای دیگران خطرناک باشد.»

این مثال از استقرا، و به طور ناخودآگاه، "ایده های ثابت" نامیده می شود. اگر این اتفاق برای یک فرد سالم روانی بیفتد، می توانیم در مورد عدم سازماندهی فعالیت ذهنی صحبت کنیم. توسعه ابتدایی تفکر قیاسی می تواند راهی برای خلاص شدن از حالت های وسواسی باشد. در موارد دیگر، روانپزشکان با چنین بیمارانی کار می کنند.

نمونه های استقرایی فوق نشان می دهد که «جهل به قانون نمی کنداز عواقب (قضاوت های اشتباه) رهایی می بخشد.»

روانشناسان که بر روی موضوع استدلال قیاسی کار می کنند، فهرستی از توصیه هایی را تهیه کرده اند که برای کمک به افراد در تسلط بر این روش طراحی شده است.

اولین مورد حل مسئله است. همانطور که مشاهده می شود می توان شکل استقرایی را که در ریاضیات استفاده می شود «کلاسیک» دانست و استفاده از این روش به «انضباط» ذهن کمک می کند.

شرط بعدی برای توسعه تفکر قیاسی، گسترش افق است (کسانی که به وضوح فکر می کنند، به وضوح بیان می کنند). این توصیه «دردیده‌ها» را به خزانه‌های علم و اطلاعات (کتابخانه‌ها، وب‌سایت‌ها، طرح‌های آموزشی، سفر و غیره) هدایت می‌کند.

دقت توصیه بعدی است. به هر حال، از مثال‌های استفاده از روش‌های استقرایی به وضوح می‌توان دریافت که از بسیاری جهات تضمین صحت گزاره‌ها است.

آنها انعطاف پذیری ذهن را نادیده نگرفتند، که دلالت بر امکان استفاده از راه ها و رویکردهای مختلف در حل مسئله و همچنین در نظر گرفتن تنوع توسعه رویدادها دارد.

و البته مشاهده که منبع اصلی تجربه تجربی است.

باید به اصطلاح "القای روانی" اشاره ویژه ای کرد. این اصطلاح، اگرچه به ندرت، در اینترنت یافت می شود. همه منابع حداقل صورت‌بندی مختصری از تعریف این واژه ارائه نمی‌دهند، بلکه به «نمونه‌هایی از زندگی» اشاره می‌کنند و در عین حال پیشنهاد یا برخی از اشکال بیماری روانی را به عنوان نوع جدیدی از القاء ارائه می‌کنند.اینها حالتهای افراطی روان انسان است. از همه موارد فوق، واضح است که تلاش برای استخراج یک «اصطلاح جدید» بر اساس مقدمات نادرست (اغلب نادرست) آزمایشگر را محکوم به دریافت یک عبارت اشتباه (یا عجولانه) می کند.

لازم به ذکر است که اشاره به آزمایشات سال 1960 (بدون مشخص کردن مکان، نام آزمایش کنندگان، نمونه افراد و مهمتر از همه هدف آزمایش) به زبان ساده به نظر می رسد. غیرقابل قبول، و این ادعا که مغز اطلاعات را با دور زدن همه اندام‌های ادراک درک می‌کند (عبارت «تأثیر می‌شود» در این مورد به شکلی ارگانیک‌تر می‌آید)، باعث می‌شود در مورد زودباوری و غیر انتقادی نویسنده بیانیه فکر کنیم.

به جای نتیجه گیری

ملکه علوم - ریاضیات، آگاهانه از تمام ذخایر ممکن از روش استقراء و قیاس استفاده می کند. مثال های در نظر گرفته شده به ما این امکان را می دهد که نتیجه بگیریم که استفاده سطحی و نادرست (به قول آنها بدون فکر) حتی دقیق ترین و قابل اعتمادترین روش ها همیشه به نتایج اشتباه منجر می شود.

در آگاهی جمعی، روش کسر با شرلوک هلمز معروف همراه است، که در ساختارهای منطقی خود اغلب از نمونه هایی از استقرا استفاده می کند و در موقعیت های ضروری از کسر استفاده می کند.

مقاله به بررسی نمونه هایی از کاربرد این روش ها در علوم و حوزه های مختلف زندگی انسان پرداخته است.