کاربرد مشتق. توطئه با مشتقات

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

ریاضیات از دوران باستان سرچشمه می گیرد. به لطف او، معماری، ساخت و ساز و علوم نظامی دور جدیدی از توسعه را به ارمغان آورد، دستاوردهایی که با کمک ریاضیات به دست آمد منجر به حرکت پیشرفت شد. تا به امروز، ریاضیات به عنوان اصلی ترین علمی باقی مانده است که در سایر شاخه ها یافت می شود.

کودکان از کلاس اول برای اینکه آموزش ببینند به تدریج در این محیط ادغام می شوند. درک ریاضیات بسیار مهم است، زیرا به یک درجه یا درجه دیگر در طول زندگی هر فرد رخ می دهد. این مقاله یکی از عناصر کلیدی - یافتن و به کارگیری مشتقات را تجزیه و تحلیل خواهد کرد. هر فردی نمی تواند تصور کند که این مفهوم چقدر گسترده است. بیش از 10 کاربرد مشتقات در زمینه ها یا علوم خاص را در نظر بگیرید.

کاربرد مشتق برای مطالعه یک تابع

مشتق چنین حدی استنسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن زمانی که توان آرگومان به صفر میل می کند. مشتق یک چیز ضروری در مطالعه یک تابع است. به عنوان مثال، می توان از آن برای تعیین افزایش و کاهش دومی، اکسترم، تحدب و تقعر استفاده کرد. حساب دیفرانسیل در برنامه درسی اجباری برای دانشجویان سال اول و دوم دانشگاه های ریاضی گنجانده شده است.

صفرهای محدوده و تابع

مرحله اول هر مطالعه نمودار با یافتن دامنه تعریف، در موارد نادرتر - مقدار آغاز می شود. دامنه تعریف در امتداد محور آبسیسا تنظیم می شود، به عبارت دیگر، این مقادیر عددی در محور OX هستند. غالباً دامنه از قبل تنظیم شده است، اما اگر تنظیم نشده است، باید مقدار آرگومان x ارزیابی شود. فرض کنید، اگر برای برخی از مقادیر آرگومان، تابع معنی ندارد، این آرگومان از محدوده خارج می شود.

صفرهای تابع به روشی ساده یافت می شوند: تابع f(x) باید برابر با صفر باشد و معادله حاصل باید با توجه به یک متغیر x حل شود. ریشه های معادله به دست آمده صفرهای تابع هستند، یعنی در این x تابع 0 است.

افزایش و کاهش

استفاده از مشتق برای مطالعه توابع برای یکنواختی را می توان از دو موقعیت در نظر گرفت. تابع یکنواخت مقوله ای است که فقط مقادیر مثبت مشتق یا فقط مقادیر منفی دارد. به عبارت ساده، تابع فقط در کل بازه مورد مطالعه افزایش یا کاهش می یابد:

افزایش پارامتر. عملکرداگر مشتق f`(x) بزرگتر از صفر باشد، f(x) افزایش می یابد.
پارامتر نزولی. اگر مشتق f`(x) کمتر از صفر باشد، تابع f(x) کاهش می‌یابد.

مماس و شیب

کاربرد مشتق برای مطالعه یک تابع نیز توسط مماس (خط مستقیم جهت دار در یک زاویه) بر نمودار تابع در یک نقطه مشخص تعیین می شود. مماس در یک نقطه (x₀) - خطی که از نقطه ای می گذرد و متعلق به تابعی است که مختصات آن (x₀، f(x است. 0 _{)) و داشتن شیب f`(x}0_).

y=f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - معادله مماس بر نقطه داده شده از نمودار تابع.

معنای هندسی مشتق: مشتق تابع f(x) برابر است با شیب مماس تشکیل شده بر نمودار این تابع در یک نقطه معین x. ضریب زاویه ای نیز به نوبه خود برابر با مماس زاویه تمایل مماس بر محور OX (ابسیسا) در جهت مثبت است. این نتیجه برای استفاده از مشتق در نمودار یک تابع اساسی است.

امتیاز افراطی

استفاده از مشتق برای یک مطالعه شامل یافتن نقاط بالا و پایین است.

برای یافتن و تعیین حداقل و حداکثر امتیاز، باید:

مشتق تابع f(x) را بیابید.
معادله حاصل را صفر کنید.
ریشه های معادله را بیابید.
نقاط بالا و پایین را پیدا کنید.

برای یافتن افراطویژگی ها:

با استفاده از روش بالا حداقل و حداکثر امتیاز را بیابید.
این نقاط را در معادله اصلی جایگزین کنید و y_max و y_دقیقه

را محاسبه کنید

حداکثر نقطه تابع بزرگترین مقدار تابع f(x) در بازه است، به عبارت دیگر x_max.

مینیمم نقطه تابع کوچکترین مقدار تابع f(x) در بازه است، به عبارت دیگر x_name

نقاط اضطراری همان نقاط ماکزیمم و حداقل و حداکثر تابع (y_{حداکثر و} y_حداقل است.) - مقادیر تابعی که با نقاط اکسترموم مطابقت دارد.

تحدب و تقعر

می توانید تحدب و تقعر را با استفاده از مشتق برای رسم تعیین کنید:

یک تابع f(x) که در بازه (a, b) مورد بررسی قرار می گیرد، اگر تابع زیر همه مماس های خود در این بازه قرار گیرد مقعر است.
تابع f(x) مورد مطالعه در بازه (a, b) محدب است اگر تابع بالاتر از همه مماس هایش در داخل این بازه قرار گیرد.

نقطه ای که تحدب و تقعر را از هم جدا می کند، نقطه عطف تابع نامیده می شود.

برای یافتن نقاط عطف:

نقاط بحرانی نوع دوم (مشتق دوم) را پیدا کنید.
نقاط عطف آن نقاط بحرانی هستند که دو علامت متضاد را از هم جدا می کنند.
محاسبه مقادیر تابع در نقاط عطف تابع.

مشتقات جزئی

برنامهدر مسائلی که بیش از یک متغیر ناشناخته استفاده می شود، مشتقاتی از این نوع وجود دارد. اغلب، چنین مشتقاتی هنگام رسم نمودار تابع، به طور دقیق تر، سطوحی در فضا مواجه می شوند، جایی که به جای دو محور، سه مقدار وجود دارد، بنابراین، سه کمیت (دو متغیر و یک ثابت).

قانون اساسی هنگام محاسبه مشتقات جزئی این است که یک متغیر را انتخاب کنید و بقیه را به عنوان ثابت در نظر بگیرید. بنابراین، هنگام محاسبه مشتق جزئی، ثابت مانند یک مقدار عددی می شود (در بسیاری از جداول مشتقات، آنها را با C=const نشان می دهند). معنای چنین مشتقی نرخ تغییر تابع z=f(x, y) در امتداد محورهای OX و OY است، یعنی شیب فرورفتگی ها و برآمدگی های سطح ساخته شده را مشخص می کند.

مشتق در فیزیک

استفاده از مشتق در فیزیک گسترده و مهم است. معنای فیزیکی: مشتق مسیر نسبت به زمان سرعت است و شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است. از معنای فیزیکی، می توان شاخه های بسیاری را به شاخه های مختلف فیزیک کشید، در حالی که معنای مشتق را کاملاً حفظ کرد.

با کمک مشتق، مقادیر زیر پیدا می شود:

سرعت در سینماتیک، که در آن مشتق مسافت طی شده محاسبه می شود. اگر مشتق دوم مسیر یا مشتق اول سرعت پیدا شود، آنگاه شتاب جسم پیدا می شود. علاوه بر این، می توان سرعت لحظه ای یک نقطه مادی را پیدا کرد، اما برای این کار باید افزایش ∆t و ∆r را دانست.
در الکترودینامیک:محاسبه قدرت لحظه ای جریان متناوب و همچنین EMF القای الکترومغناطیسی. با محاسبه مشتق، می توانید حداکثر توان را پیدا کنید. مشتق مقدار بار الکتریکی، قدرت جریان در هادی است.

مشتق در شیمی و زیست شناسی

شیمی: از مشتق برای تعیین سرعت یک واکنش شیمیایی استفاده می شود. معنی شیمیایی مشتق: تابع p=p(t)، در این حالت p مقدار ماده ای است که در زمان t وارد یک واکنش شیمیایی می شود. ∆t - افزایش زمان، ∆p - افزایش کمیت ماده. حد نسبت ∆p به ∆t که در آن ∆t به صفر میل می‌کند، سرعت واکنش شیمیایی نامیده می‌شود. مقدار متوسط یک واکنش شیمیایی نسبت ∆p/∆t است. هنگام تعیین سرعت، لازم است که دقیقاً تمام پارامترها، شرایط لازم، دانستن وضعیت کل ماده و محیط جریان را بدانید. این یک جنبه نسبتاً بزرگ در شیمی است که به طور گسترده در صنایع مختلف و فعالیت های انسانی استفاده می شود.

زیست شناسی: مفهوم مشتق برای محاسبه میانگین نرخ تولید مثل استفاده می شود. معنی بیولوژیکی: تابع y=x(t) داریم. ∆t - افزایش زمان. سپس با کمک برخی تبدیل ها تابع y`=P(t)=x`(t) - فعالیت حیاتی جمعیت زمان t (متوسط نرخ تولید مثل) را به دست می آوریم. این استفاده از مشتق به شما امکان می دهد آمار را نگه دارید، نرخ تولید مثل را دنبال کنید، و غیره.

مشتق در جغرافیا و اقتصاد

مشتق به جغرافیدانان اجازه تصمیم گیری می دهدکارهایی مانند یافتن جمعیت، محاسبه مقادیر در لرزه نگاری، محاسبه رادیواکتیویته شاخص های ژئوفیزیک هسته ای، محاسبه درون یابی.

در اقتصاد، بخش مهمی از محاسبات، حساب دیفرانسیل و محاسبه مشتق است. اول از همه، این به ما امکان می دهد تا حدود ارزش های اقتصادی لازم را تعیین کنیم. به عنوان مثال، بالاترین و کمترین بهره وری نیروی کار، هزینه ها، سود. اساساً این مقادیر از نمودارهای تابع محاسبه می‌شوند، جایی که آنها مادون‌ها را پیدا می‌کنند، یکنواختی تابع را در ناحیه مورد نظر تعیین می‌کنند.

نتیجه گیری

همانطور که در مقاله ذکر شد، نقش این حساب دیفرانسیل در ساختارهای علمی مختلف دخیل است. استفاده از توابع مشتق عنصر مهمی در بخش عملی علم و تولید است. بیهوده نیست که در دبیرستان و دانشگاه به ما یاد داده بودند که نمودارهای پیچیده بسازیم، کاوش کنیم و روی توابع کار کنیم. همانطور که می بینید، بدون مشتقات و محاسبات دیفرانسیل، محاسبه شاخص ها و کمیت های حیاتی غیرممکن خواهد بود. بشر یاد گرفته است که فرآیندهای مختلف را مدلسازی کند و آنها را کشف کند تا مسائل پیچیده ریاضی را حل کند. در واقع، ریاضیات ملکه همه علوم است، زیرا این علم زیربنای سایر رشته های طبیعی و فنی است.