مبحث "پیشرفت حسابی" در درس عمومی جبر مدارس پایه نهم مطالعه می شود. این موضوع برای مطالعه عمیق بیشتر ریاضیات سری اعداد مهم است. در این مقاله با پیشرفت محاسباتی، تفاوت آن و همچنین با کارهای معمولی که ممکن است دانش‌آموزان با آن روبرو شوند آشنا می‌شویم.
مفهوم پیشرفت جبری
پیشرفت عددی دنباله ای از اعداد است که در آن هر عنصر بعدی را می توان از عنصر قبلی به دست آورد، در صورتی که برخی از قوانین ریاضی اعمال شود. دو نوع پیشرفت ساده وجود دارد: هندسی و حسابی که به آن جبری نیز می گویند. بیایید با جزئیات بیشتر در مورد آن صحبت کنیم.
بیایید یک عدد گویا را تصور کنیم، آن را با نماد a1 نشان دهیم، جایی که شاخص عدد ترتیبی آن را در سری مورد بررسی نشان می دهد. بیایید یک عدد دیگر را به 1 اضافه کنیم، بیایید آن را d نشان دهیم. سپس دومییک عنصر از یک سری را می توان به صورت زیر منعکس کرد: a2=a1+d. حالا دوباره d را اضافه کنید، دریافت می کنیم: a3=a2+d. با ادامه این عملیات ریاضی، می توانید یک سری اعداد کامل به دست آورید که به آنها یک پیشروی حسابی می گویند.
همانطور که از مطالب بالا می توان فهمید، برای یافتن عنصر n-امین این دنباله، باید از فرمول استفاده کنید: a =a1+ (n -1)d. در واقع، با جایگزینی n=1 در عبارت، یک1=a1 را دریافت می کنیم، اگر n=2، فرمول به این معنی است: a2=a1 + 1d، و غیره.
به عنوان مثال، اگر تفاوت یک پیشروی حسابی 5 باشد، و a1=1 باشد، این بدان معناست که سری اعداد نوع مورد نظر به این صورت است: 1، 6، 11، 16، 21، … همانطور که می بینید، هر یک از عبارت های آن 5 بزرگتر از عبارت قبلی است.
فرمول‌های تفاوت پیشروی حسابی
از تعریف فوق از سری اعداد در نظر گرفته شده، نتیجه می شود که برای تعیین آن، باید دو عدد بدانید: a1 و d. دومی را تفاوت این پیشرفت می نامند. این به طور منحصر به فرد رفتار کل سریال را تعیین می کند. در واقع، اگر d مثبت باشد، سری اعداد دائماً افزایش می‌یابد، برعکس، در مورد d منفی، اعداد در سری فقط مدول افزایش می‌یابند، در حالی که قدر مطلق آنها با افزایش عدد n کاهش می‌یابد.
تفاوت پیشروی حسابی چیست؟ دو فرمول اصلی را که برای محاسبه این مقدار استفاده می شود در نظر بگیرید:
- d=an+1-a ، این فرمول مستقیماً از تعریف سری اعداد مورد نظر ناشی می شود.
- d=(-a1+a)/(n-1)، این عبارت با بیان d از فرمول داده شده به دست می آید در بند قبلی مقاله توجه داشته باشید که اگر n=1 باشد، این عبارت نامشخص می شود (0/0). این به این دلیل است که برای تعیین تفاوت آن باید حداقل 2 عنصر سریال را دانست.
این دو فرمول اساسی برای حل هر مشکلی در یافتن تفاوت پیشرفت استفاده می شود. با این حال، فرمول دیگری وجود دارد که شما نیز باید در مورد آن بدانید.
مجموع اولین عناصر
فرمولی که می توان برای تعیین مجموع هر تعداد اعضای یک پیشروی جبری استفاده کرد، طبق شواهد تاریخی، اولین بار توسط "شاهزاده" ریاضیات قرن هجدهم، کارل گاوس، به دست آمد. یک دانشمند آلمانی، در حالی که هنوز پسری در کلاس های ابتدایی یک مدرسه روستایی بود، متوجه شد که برای جمع کردن اعداد طبیعی در مجموعه از 1 تا 100، ابتدا باید اولین عنصر و آخرین عنصر را جمع کنید (مقدار حاصل برابر خواهد شد. به مجموع عناصر ماقبل آخر و دوم، ماقبل آخر و سوم و غیره) و سپس این عدد باید در تعداد این مقادیر، یعنی در 50 ضرب شود.
فرمولی که نتیجه بیان شده را در یک مثال خاص منعکس می کند را می توان به یک مورد دلخواه تعمیم داد. به این صورت خواهد بود: S =n/2(a +a1). توجه داشته باشید که برای یافتن مقدار مشخص شده، آگاهی از تفاوت d لازم نیست.اگر دو عبارت از پیشرفت شناخته شده باشد (a و a1).
مثال 1. با دانستن دو عبارت سری a1 و an
تفاوت را تعیین کنید.
بیایید نحوه اعمال فرمول های ذکر شده در بالا را در مقاله نشان دهیم. بیایید یک مثال ساده بیاوریم: تفاوت پیشروی حسابی ناشناخته است، لازم است تعیین کنیم که اگر a13=-5، 6 و a1 برابر است با چه مقدار خواهد بود. =-12، 1.
از آنجایی که مقادیر دو عنصر دنباله عددی را می دانیم و یکی از آنها اولین عدد است، می توانیم از فرمول شماره 2 برای تعیین تفاوت d استفاده کنیم. داریم: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. در عبارت از مقدار n=13 استفاده کردیم، زیرا عضوی با این شماره سریال است. شناخته شده.
تفاوت حاصل نشان می دهد که پیشرفت در حال افزایش است، علیرغم این واقعیت که عناصر داده شده در شرط مسئله دارای مقدار منفی هستند. مشاهده می شود که a13>a1، اگرچه |a13|<|a 1 |.
مثال 2. اعضای مثبت پیشرفت در مثال 1
بیایید از نتیجه به دست آمده در مثال قبلی برای حل یک مسئله جدید استفاده کنیم. به صورت زیر فرموله می شود: عناصر پیشرفت در مثال شماره 1 از چه عدد دنباله ای شروع به گرفتن مقادیر مثبت می کنند؟
همانطور که نشان داده شد، پیشرفتی که در آن a1=-12، 1 و d=0. 54167 در حال افزایش است، بنابراین از برخی اعداد، اعداد فقط مثبت می شوند. ارزش های. برای تعیین این عدد n، باید یک نابرابری ساده را حل کردبه صورت ریاضی به صورت زیر نوشته می شود: a >0 یا با استفاده از فرمول مناسب، نابرابری را بازنویسی می کنیم: a1 + (n-1)d>0. لازم است n مجهول را پیدا کنیم، بیایید آن را بیان کنیم: n>-1a1/d + 1. اکنون باقی مانده است که مقادیر شناخته شده تفاوت و عضو اول را جایگزین کنیم. از دنباله ما به دست می آوریم: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 یا n>23, 338. از آنجایی که n فقط می تواند مقادیر صحیح بگیرد، از نابرابری حاصل نتیجه می شود که هر یک از اعضای سری که می توانند داشتن عدد بزرگتر از 23 مثبت خواهد بود.
پاسخ خود را با استفاده از فرمول بالا برای محاسبه عناصر 23 و 24 این پیشروی حسابی بررسی کنید. داریم: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (عدد منفی); a24=-12، 1 + 230. 54167=0. 3584 (مقدار مثبت). بنابراین، نتیجه به‌دست‌آمده درست است: با شروع از n=24، همه اعضای سری اعداد بزرگتر از صفر خواهند بود.
مثال 3. چه تعداد سیاهه مربوط می شود؟
بیایید یک مشکل کنجکاو را مطرح کنیم: در حین ورود به سیستم، تصمیم گرفته شد که کنده های اره شده را همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است روی هم قرار دهیم. با دانستن اینکه 10 ردیف در مجموع جا می شوند، چند سیاهه را می توان به این ترتیب انباشته کرد؟
در این روش انباشتن لاگ ها، می توانید به یک چیز جالب توجه کنید: هر ردیف بعدی دارای یک گزارش کمتر از قبلی است، یعنی یک پیشرفت جبری وجود دارد که تفاوت آن d=1 است. با فرض اینکه تعداد لاگ ها در هر ردیف عضوی از این پیشرفت باشد،و همچنین با توجه به اینکه a1=1 (فقط یک گزارش در بالای صفحه قرار می گیرد)، عدد a10 را پیدا می کنیم. داریم: a10=1 + 1(10-1)=10. یعنی در ردیف 10 که روی زمین قرار دارد، 10 کنده وجود خواهد داشت.
مقدار کل این ساختار "همی" را می توان با استفاده از فرمول گاوس به دست آورد. دریافت می کنیم: S10=10/2(10+1)=55 گزارش.
