برای اینکه خواننده آسان تر تصور کند که هایپربولوئید چیست - یک شی سه بعدی - ابتدا باید هذلولی منحنی به همین نام را در نظر بگیرید که در فضای دو بعدی قرار می گیرد.
هذلولی دو محور دارد: محور واقعی که در این شکل با محور آبسیسا منطبق است و محور خیالی با محور y. اگر به طور ذهنی شروع به چرخاندن معادله هذلولی حول محور خیالی آن کنید، سطحی که توسط منحنی «دیده می‌شود» یک هیپربولوئید تک ورق خواهد بود.
با این حال، اگر ما شروع به چرخش هذلولی حول محور واقعی خود به این ترتیب کنیم، آنگاه هر یک از دو "نیمه" منحنی سطح جداگانه خود را تشکیل می دهد و با هم به آن دو می گویند. هایپربولوئید ورقه ای.
که با چرخش منحنی صفحه مربوطه به دست می آیند، به ترتیب هیپربولوئیدهای چرخش نامیده می شوند. آنها دارای پارامترهایی در تمام جهات عمود بر محور چرخش هستند،متعلق به منحنی چرخشی به طور کلی، این مورد نیست.
معادله هایپربولوئید
به طور کلی، یک سطح را می توان با معادلات زیر در مختصات دکارتی (x, y, z) تعریف کرد:
در مورد هیپربولوئید چرخش، تقارن آن حول محوری که به دور آن می چرخد با برابری ضرایب a=b بیان می شود.
ویژگی هایپربولوئید
او حقه دارد. ما می دانیم که منحنی ها در یک صفحه دارای کانون هستند - برای مثال در مورد هذلولی، ماژول اختلاف فاصله از یک نقطه دلخواه روی یک هذلولی به یک کانون و دومی با تعریف ثابت است، در واقع تمرکز است. امتیاز.
هنگام حرکت به فضای سه بعدی، تعریف عملاً تغییر نمی کند: کانون ها دوباره دو نقطه هستند و تفاوت فاصله آنها تا یک نقطه دلخواه متعلق به سطح هیپربولوئید ثابت است. همانطور که می بینید، فقط مختصات سوم از تغییرات برای همه نقاط ممکن ظاهر شد، زیرا اکنون آنها در فضا تنظیم شده اند. به طور کلی، تعریف فوکوس معادل شناسایی نوع منحنی یا سطح است: با صحبت در مورد نحوه قرارگیری نقاط سطح نسبت به کانون ها، در واقع به این سوال پاسخ می دهیم که هایپربولوئید چیست و چگونه به نظر می رسد.
شایان ذکر است که هذلولی دارای مجانبی است - خطوط مستقیم که شاخه های آن به سمت بی نهایت میل می کنند. اگر هنگام ساخت یک هیپربولوئید انقلاب، مجانبی را به صورت ذهنی همراه با هذلولی بچرخانید، علاوه بر هذلولی، مخروطی به نام مجانبی نیز بدست می آید. مخروط مجانبی استبرای هایپربولوئیدهای یک ورقی و دو ورقی.
یکی دیگر از مشخصه های مهم که فقط یک هایپربولوئید یک ورق دارد، ژنراتورهای مستطیل هستند. همانطور که از نام پیداست، اینها خطوط هستند و کاملاً روی یک سطح مشخص قرار می گیرند. دو ژنراتور مستطیلی از هر نقطه یک هایپربولوئید یک ورقه عبور می کنند. آنها به ترتیب به دو خانواده از خطوط تعلق دارند که با سیستم معادلات زیر توصیف می شوند:
بنابراین، یک هایپربولوئید یک ورقی می تواند به طور کامل از تعداد نامتناهی خط مستقیم از دو خانواده تشکیل شده باشد، و هر خط از یکی از آنها با تمام خطوط دیگری قطع می شود. سطوح متناظر با چنین خصوصیاتی را دارای قاعده می نامند. آنها را می توان با استفاده از چرخش یک خط مستقیم ساخت. تعریف از طریق چینش متقابل خطوط (مولدهای مستقیم خطی) در فضا نیز می تواند به عنوان یک نام ابهام از چیستی هیپربولوئید عمل کند.
خواص جالب هایپربولوئید
منحنی‌های مرتبه دوم و سطوح چرخش متناظر آنها، هر کدام ویژگی‌های نوری جالبی دارند که با کانون‌ها مرتبط است. در مورد یک هایپربولوئید، این فرمول بندی به صورت زیر است: اگر یک پرتو از یک کانون شلیک شود، پس از انعکاس از نزدیکترین "دیوار"، به گونه ای جهت می گیرد که گویی از کانون دوم آمده است.
هیپربولوئیدها در زندگی
به احتمال زیاد، بیشتر خوانندگان آشنایی خود را با هندسه تحلیلی و سطوح درجه دوم از رمان علمی تخیلی الکسی تولستوی آغاز کردند."مهندس هایپربولوئید گارین". با این حال، خود نویسنده یا به خوبی نمی‌دانست هیپربولوئید چیست، یا دقت را فدای هنر کرده است: اختراع توصیف‌شده، از نظر ویژگی‌های فیزیکی، بیشتر یک پارابولوئید است که همه پرتوها را در یک کانون جمع‌آوری می‌کند (در حالی که خواص نوری هیپربولوئید با پراکندگی پرتوها مرتبط است.
ساختارهای به اصطلاح هیپربولوئید در معماری بسیار محبوب هستند: اینها سازه هایی هستند که به شکل یک هایپربولوئید تک ورق یا یک سهمی هذلولی هستند. واقعیت این است که فقط این سطوح چرخشی مرتبه دوم دارای ژنراتورهای مستقیم هستند: بنابراین، یک ساختار منحنی فقط از تیرهای مستقیم ساخته می شود. مزایای چنین سازه هایی در توانایی مقاومت در برابر بارهای سنگین، به عنوان مثال، از باد است: شکل هایپربولوئید در ساخت سازه های بلند، به عنوان مثال، برج های تلویزیون استفاده می شود.
