چگونه می توانید مساحت یک مثلث را پیدا کنید

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

مثلث یکی از رایج ترین اشکال هندسی است که در دوران دبستان با آن آشنا شده ایم. هر دانش آموزی در درس هندسه با این سوال روبرو می شود که چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کند. بنابراین، ویژگی های یافتن مساحت یک شکل داده شده را می توان متمایز کرد؟ در این مقاله، فرمول های اساسی لازم برای انجام چنین کاری و همچنین تجزیه و تحلیل انواع مثلث ها را در نظر خواهیم گرفت.

انواع مثلث

می توانید مساحت یک مثلث را به روش های کاملاً متفاوتی پیدا کنید، زیرا در هندسه بیش از یک نوع شکل شامل سه زاویه وجود دارد. این گونه ها عبارتند از:

مثلث حاد.
Obt-angled.
متساوی الاضلاع (درست).
مثلث قائم الزاویه.
تساوی الساقین.

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از انواع مثلث های موجود بیندازیم.

حادمثلث

چنین شکل هندسی رایج ترین شکل در حل مسائل هندسی در نظر گرفته می شود. هنگامی که ترسیم یک مثلث دلخواه ضروری می شود، این گزینه به کمک می آید.

در یک مثلث حاد، همانطور که از نام آن پیداست، همه زوایا تند هستند و مجموع آنها به 180 درجه می رسد.

مثلث زاویه دار

این مثلث نیز بسیار رایج است، اما تا حدودی کمتر از مثلث حاد رایج است. به عنوان مثال، هنگام حل مثلث (یعنی چندین ضلع و زاویه آن را می شناسید و باید عناصر باقی مانده را پیدا کنید)، گاهی اوقات باید تعیین کنید که آیا زاویه منفرد است یا خیر. کسینوس زاویه منفرد یک عدد منفی است.

در یک مثلث منفرد، مقدار یکی از زاویه ها از 90 درجه بیشتر می شود، بنابراین دو زاویه باقیمانده می توانند مقادیر کوچکی داشته باشند (مثلاً 15 درجه یا حتی 3 درجه).

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث از این نوع، باید نکات ظریفی را بدانید که بعداً در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مثلث منتظم و متساوی الساقین

یک چند ضلعی منتظم شکلی است که شامل n زاویه است و همه ضلع ها و زوایا با هم برابرند. این مثلث قائم الزاویه است. از آنجایی که مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است، هر یک از این سه زاویه 60 درجه است.

به یک مثلث منتظم به دلیل خاصیتش، شکل متساوی الاضلاع نیز گفته می شود.

همچنین شایان ذکر است که دریک مثلث منتظم را فقط می توان با یک دایره محک زد و فقط یک دایره را می توان دور آن محصور کرد و مراکز آنها در یک نقطه قرار دارند.

علاوه بر نوع متساوی الاضلاع، می توان یک مثلث متساوی الساقین را نیز انتخاب کرد که کمی با آن تفاوت دارد. در چنین مثلثی دو ضلع و دو زاویه با هم مساوی هستند و ضلع سوم (که زوایای مساوی به آن مجاورند) قاعده است.

شکل یک مثلث متساوی الساقین DEF را نشان می دهد که زوایای D و F آن مساوی است و DF قاعده است.

مثلث قائم الزاویه

یک مثلث قائم الزاویه به این دلیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن قائم الزاویه است، یعنی برابر با ۹۰ درجه. مجموع دو زاویه دیگر 90 درجه است.

بزرگترین ضلع چنین مثلثی که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد، هیپوتنوس است، در حالی که دو ضلع دیگر آن پاها هستند. برای این نوع مثلث ها، قضیه فیثاغورث قابل استفاده است:

مجموع مجذورات طول پاها برابر است با مجذور طول هیپوتانوس.

شکل یک مثلث قائم الزاویه BAC با هیپوتانوز AC و پاهای AB و BC را نشان می دهد.

برای یافتن مساحت یک مثلث با زاویه قائمه، باید مقادیر عددی پایه‌های آن را بدانید.

بیایید به سراغ فرمول های یافتن مساحت این شکل برویم.

فرمول های اصلی ناحیه

در هندسه دو فرمول مناسب برای یافتن مساحت اکثر مثلث ها وجود دارد که عبارتند از: زاویه تند، منفرد، منظم ومثلث متساوی الساقین بیایید هر یک از آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

کنار و ارتفاع

این فرمول برای یافتن مساحت شکل مورد نظر ما جهانی است. برای این کار کافی است طول ضلع و طول ارتفاع کشیده شده به آن را بدانید. خود فرمول (نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع) به این صورت است:

S=½AH،

که در آن A ضلع مثلث داده شده و H ارتفاع مثلث است.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن مساحت یک مثلث حاد زاویه دار ACB، باید ضلع AB آن را در ارتفاع CD ضرب کنید و مقدار حاصل را بر دو تقسیم کنید.

با این حال، پیدا کردن مساحت مثلث از این طریق همیشه آسان نیست. به عنوان مثال، برای استفاده از این فرمول برای یک مثلث منفرد، باید یکی از ضلع های آن را ادامه دهید و تنها پس از آن یک ارتفاع به آن بکشید.

در عمل، این فرمول بیشتر از بقیه استفاده می شود.

در دو طرف و یک گوشه

این فرمول مانند فرمول قبلی برای اکثر مثلث ها مناسب است و در معنای خود نتیجه فرمول یافتن مساحت ضلع و ارتفاع مثلث است. یعنی فرمول مورد بررسی را می توان به راحتی از فرمول قبلی استخراج کرد. جمله بندی او به این صورت است:

S=½sinOAB،

که در آن A و B اضلاع یک مثلث هستند و O زاویه بین ضلع A و B است.

به یاد بیاورید که سینوس یک زاویه را می توان در جدول ویژه ای به نام ریاضیدان برجسته شوروی V. M. Bradis مشاهده کرد.

و حالا بیایید به فرمول های دیگر برویم،فقط برای انواع استثنایی مثلث مناسب است.

مساحت مثلث قائم الزاویه

علاوه بر فرمول جهانی، که شامل نیاز به رسم ارتفاع در مثلث است، مساحت مثلث حاوی زاویه قائمه را می توان با پاهای آن پیدا کرد.

بنابراین، مساحت مثلثی که دارای زاویه قائمه است نصف حاصلضرب پاهای آن است یا:

S=½ab،

که در آن a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.

مثلث منظم

این نوع اشکال هندسی از این جهت متفاوت است که مساحت آن را فقط با مقدار مشخص شده یکی از ضلع های آن می توان یافت (زیرا همه ضلع های یک مثلث منظم برابر هستند). بنابراین، با انجام وظیفه "یافتن مساحت یک مثلث زمانی که اضلاع برابر هستند"، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

S=A²√3 / 4،

که در آن A ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول هرون

آخرین گزینه برای یافتن مساحت مثلث، فرمول هرون است. برای استفاده از آن باید طول سه ضلع شکل را بدانید. فرمول هرون به این صورت است:

S=√p (p - a) (p - b) (p - c)،

که در آن a، b و c اضلاع این مثلث هستند.

گاهی اوقات وظیفه داده می شود: "مساحت یک مثلث منظم - طول ضلع آن را پیدا کنید." در این مورد، باید از فرمول شناخته شده برای یافتن مساحت یک مثلث منظم استفاده کنید و مقدار ضلع (یا مربع آن) را از آن استخراج کنید:

A²=4S / √3.