این مقاله بر بخش خاصی از ریاضیات به نام ترکیبیات تمرکز خواهد کرد. فرمول ها، قوانین، نمونه هایی از حل مسئله - همه اینها را می توانید در اینجا با خواندن مقاله تا انتها بیابید.
خب، این بخش چیست؟ ترکیبیات به موضوع شمارش هر جسم می پردازد. اما در این مورد، اشیاء آلو، گلابی یا سیب نیستند، بلکه چیز دیگری هستند. ترکیبات به ما کمک می کند تا احتمال یک رویداد را پیدا کنیم. مثلاً هنگام ورق بازی، احتمال اینکه حریف برگ برنده داشته باشد چقدر است؟ یا چنین مثالی - احتمال اینکه از یک کیسه بیست توپ دقیقاً سفید شوید چقدر است؟ برای این نوع کارها است که ما باید حداقل اصول این بخش از ریاضیات را بدانیم.
پیکربندی های ترکیبی
با توجه به مبحث مفاهیم اساسی و فرمول های ترکیبیات، نمی توان به پیکربندی های ترکیبی توجه نکرد. آنها نه تنها برای فرمولاسیون، بلکه برای حل مسائل مختلف ترکیبی نیز استفاده می شوند. نمونه هایی از این مدل ها عبارتند از:
- جایگزینی؛
- جایگزینی;
- ترکیب؛
- ترکیب شماره؛
- تقسیم شماره.
در مورد سه مورد اول بعداً با جزئیات بیشتر صحبت خواهیم کرد، اما در این قسمت به ترکیب و تقسیم بندی خواهیم پرداخت. وقتی آنها در مورد ترکیب یک عدد معین صحبت می کنند (مثلاً a)، منظور آنها نمایش عدد a به عنوان مجموع منظم چند اعداد مثبت است. و تقسیم یک مجموع نامرتب است.
بخش
قبل از اینکه مستقیماً به سراغ فرمول های ترکیبیات و بررسی مسائل برویم، توجه به این نکته خالی از لطف نیست که ترکیبیات نیز مانند سایر بخش های ریاضیات دارای زیربخش های خاص خود است. این موارد عبارتند از:
- شماری;
- ساختاری;
- افراطی;
- نظریه رمزی؛
- احتمال;
- توپولوژیک؛
- بی نهایت.
در مورد اول، ما در مورد ترکیبات شمارشی صحبت می کنیم، مسائل شامل شمارش یا شمارش پیکربندی های مختلف است که توسط عناصر مجموعه ها تشکیل می شوند. قاعدتاً محدودیت هایی برای این مجموعه ها اعمال می شود (قابلیت تمایز، عدم تشخیص، امکان تکرار و …). و تعداد این تنظیمات با استفاده از قانون جمع یا ضرب محاسبه می شود که کمی بعد در مورد آن صحبت خواهیم کرد. ترکیبات ساختاری شامل نظریه‌های نمودارها و ماتروئیدها می‌شود. نمونه ای از مسئله ترکیبیات اکستریمال این است که بزرگترین بعد یک گراف چیست که ویژگی های زیر را برآورده می کند… در پاراگراف چهارم به نظریه رمزی اشاره کردیم که وجود ساختارهای منظم را در پیکربندی های تصادفی مطالعه می کند. احتمالیترکیبات می تواند به این سؤال پاسخ دهد - احتمال اینکه یک مجموعه معین دارای خاصیت خاصی باشد چقدر است. همانطور که ممکن است حدس بزنید، ترکیبات توپولوژیکی از روش‌هایی در توپولوژی استفاده می‌کند. و در نهایت، نکته هفتم - ترکیبات بینهایت کاربرد روشهای ترکیبی را در مجموعه های نامتناهی مطالعه می کند.
قانون اضافه
در میان فرمول های ترکیبیات می توان فرمول های کاملاً ساده ای را پیدا کرد که مدت هاست با آنها آشنا بوده ایم. یک مثال قانون جمع است. فرض کنید دو عمل (C و E) به ما داده شده است، اگر آنها متقابلاً منحصر به فرد باشند، عمل C را می توان به چندین روش انجام داد (مثلاً a) و عمل E را می توان به صورت b انجام داد، سپس هر یک از آنها (C) یا E) را می توان به روش های a + b انجام داد.
در تئوری، درک این موضوع کاملاً دشوار است، ما سعی می کنیم با یک مثال ساده کل موضوع را منتقل کنیم. بیایید میانگین تعداد دانش آموزان در یک کلاس را در نظر بگیریم - فرض کنید بیست و پنج نفر است. در میان آنها پانزده دختر و ده پسر هستند. روزانه یک نفر به کلاس اختصاص داده می شود. امروز چند راه برای تعیین یک متصدی کلاس وجود دارد؟ راه حل مشکل بسیار ساده است، ما به قانون جمع متوسل می شویم. در متن تکلیف نیامده است که فقط پسران یا فقط دختران می توانند در حال انجام وظیفه باشند. بنابراین، این می تواند هر یک از پانزده دختر یا هر یک از ده پسر باشد. با استفاده از قانون جمع، یک مثال نسبتاً ساده به دست می آوریم که یک دانش آموز دبستانی به راحتی می تواند با آن کنار بیاید: 15 + 10. با محاسبه، پاسخ را می گیریم: بیست و پنج. یعنی فقط بیست و پنج راه وجود داردبرای امروز یک کلاس وظیفه تعیین کنید.
قانون ضرب
قاعده ضرب نیز به فرمول های اصلی ترکیبات تعلق دارد. بیایید با تئوری شروع کنیم. فرض کنید باید چندین عمل (الف) انجام دهیم: اولین عمل به 1 روش، دوم - به 2 روش، سوم - به 3 روش و به همین ترتیب تا آخرین عمل a به روش sa انجام شود. سپس تمام این اعمال (که کل آن را داریم) می توان به روش N انجام داد. چگونه N مجهول را محاسبه کنیم؟ فرمول در این مورد به ما کمک می کند: N \u003d c1c2c3…ca.
باز هم، هیچ چیز در تئوری مشخص نیست، اجازه دهید به یک مثال ساده از اعمال قانون ضرب برویم. بیایید همین کلاس بیست و پنج نفری را که در آن پانزده دختر و ده پسر در آن درس می خوانند، انتخاب کنیم. فقط این بار باید دو نفر را انتخاب کنیم. آنها می توانند فقط پسر باشند یا دختر یا پسر با یک دختر. ما به حل ابتدایی مشکل می پردازیم. ما اولین همراه را انتخاب می کنیم، همانطور که در پاراگراف آخر تصمیم گرفتیم، بیست و پنج گزینه ممکن را دریافت می کنیم. نفر دوم وظیفه می تواند هر یک از افراد باقی مانده باشد. ما بیست و پنج دانش آموز داشتیم، یکی را انتخاب کردیم، یعنی هر بیست و چهار نفر باقی مانده می توانند نفر دوم باشند. در نهایت، قانون ضرب را اعمال می کنیم و متوجه می شویم که دو همراه را می توان به ششصد روش انتخاب کرد. این عدد را با ضرب بیست و پنج و بیست و چهار به دست آوردیم.
مبادله
اکنون یک فرمول ترکیبی دیگر را در نظر خواهیم گرفت. در این بخش از مقاله، مابیایید در مورد جایگشت صحبت کنیم. بلافاصله با یک مثال مشکل را در نظر بگیرید. بیایید توپ های بیلیارد را بگیریم، تعداد n ام آنها را داریم. ما باید محاسبه کنیم: چند گزینه وجود دارد تا آنها را در یک ردیف مرتب کنیم، یعنی یک مجموعه منظم بسازیم.
بیایید شروع کنیم، اگر توپ نداریم، پس گزینه های قرارگیری صفر نیز داریم. و اگر یک توپ داشته باشیم، ترتیب آن نیز یکسان است (از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت: Р1=1). دو توپ را می توان به دو روش مختلف مرتب کرد: 1، 2 و 2، 1. بنابراین، Р2=2. سه توپ را می توان به شش روش مرتب کرد (Р3=6): 1، 2، 3; 1، 3، 2; 2، 1، 3; 2، 3، 1; 3، 2، 1; 3، 1، 2. و اگر نه سه توپ، بلکه ده یا پانزده توپ وجود دارد؟ فهرست کردن همه گزینه های ممکن بسیار طولانی است، سپس ترکیبات به کمک ما می آید. فرمول جایگشت به ما کمک می کند تا پاسخ سوال خود را پیدا کنیم. Pn=nP(n-1). اگر بخواهیم فرمول را ساده کنیم، بدست می آوریم: Pn=n (n - 1) … 21. و این حاصل ضرب اولین اعداد طبیعی است. چنین عددی فاکتوریل نامیده می شود و با n نشان داده می شود!
بیایید مشکل را در نظر بگیریم. رهبر هر روز صبح دسته خود را در یک صف (بیست نفر) می سازد. سه دوست صمیمی در این گروه وجود دارد - کوستیا، ساشا و لشا. احتمال اینکه آنها در کنار یکدیگر باشند چقدر است؟ برای یافتن پاسخ سوال، باید احتمال یک نتیجه "خوب" را بر تعداد کل نتایج تقسیم کنید. تعداد کل جایگشت ها 20 است!=2.5 کوئینتیلیون چگونه تعداد نتایج "خوب" را بشماریم؟ فرض کنید که کوستیا، ساشا و لشا یک سوپرمن هستند. سپس ماما فقط هجده موضوع داریم. تعداد جایگشت ها در این مورد 18=6.5 کوادریلیون است. با همه اینها، کوستیا، ساشا و لشا می توانند خودسرانه در سه گانه تقسیم ناپذیر خود بین خود حرکت کنند و این 3 مورد دیگر است!=6 گزینه بنابراین ما در مجموع 18 صورت فلکی "خوب" داریم!3! فقط باید احتمال مورد نظر را پیدا کنیم: (18!3!) / 20! که تقریباً 0.016 است. اگر به درصد تبدیل شود، فقط 1.6٪ است.
اسکان
حالا یک فرمول ترکیبی بسیار مهم و ضروری دیگر را در نظر خواهیم گرفت. محل اقامت موضوع بعدی ماست که پیشنهاد می کنیم در این قسمت از مقاله به آن توجه کنید. ما قرار است پیچیده تر شویم. بیایید فرض کنیم که می‌خواهیم جایگشت‌های ممکن را نه از کل مجموعه (n)، بلکه از یک کوچکتر (m) در نظر بگیریم. یعنی جایگشت n مورد را با m در نظر می گیریم.
فرمول های اساسی ترکیبات را نه تنها باید حفظ کرد، بلکه باید فهمید. حتی با وجود این واقعیت که آنها پیچیده تر می شوند، زیرا ما نه یک پارامتر، بلکه دو پارامتر داریم. فرض کنید m \u003d 1، سپس A \u003d 1، m \u003d 2، سپس A \u003d n(n - 1). اگر فرمول را ساده‌تر کنیم و با استفاده از فاکتوریل به نمادگذاری تغییر دهیم، یک فرمول کاملاً مختصر به دست می‌آوریم: A \u003d n! / (n - m)!
ترکیب
تقریباً تمام فرمول های اصلی ترکیبات را با مثال در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به مرحله پایانی بررسی دوره مقدماتی ترکیبیات - آشنایی با ترکیب - برویم. حالا از n موردی که داریم، m را انتخاب می کنیم، در حالی که همه آنها را به تمام روش های ممکن انتخاب می کنیم. پس این چه تفاوتی با محل اقامت دارد؟ ما نخواهیمنظم را در نظر بگیرید این مجموعه نامرتب ترکیبی خواهد بود.
فوراً نماد را معرفی کنید: C. ما توپ های m را از n قرار می دهیم. ما توجه به نظم را متوقف می کنیم و ترکیبات تکراری دریافت می کنیم. برای بدست آوردن تعداد ترکیب ها باید تعداد قرارگیری ها را بر m تقسیم کنیم! (m فاکتوریل). یعنی C \u003d A / m! بنابراین، چند راه برای انتخاب از بین n توپ وجود دارد که تقریباً برابر است با تعداد زیادی که تقریباً همه چیز را انتخاب کنید. یک تعبیر منطقی برای این وجود دارد: انتخاب اندک مانند دور ریختن تقریباً همه چیز است. در این مرحله ذکر این نکته نیز ضروری است که هنگام تلاش برای انتخاب نیمی از موارد می توان به حداکثر تعداد ترکیبات دست یافت.
چگونه فرمولی برای حل یک مسئله انتخاب کنیم؟
ما به طور مفصل فرمول های اصلی ترکیبات را بررسی کرده ایم: جایگذاری، جایگشت و ترکیب. اکنون وظیفه ما تسهیل انتخاب فرمول لازم برای حل مسئله در ترکیبات است. می توانید از طرح نسبتاً ساده زیر استفاده کنید:
- از خود بپرسید: آیا ترتیب عناصر در متن مسئله در نظر گرفته شده است؟
- اگر پاسخ منفی است، از فرمول ترکیبی استفاده کنید (C=n! / (m!(n - m)!)).
- اگر پاسخ منفی است، پس باید به یک سوال دیگر پاسخ دهید: آیا همه عناصر در ترکیب گنجانده شده اند؟
- اگر پاسخ مثبت است، از فرمول جایگشت استفاده کنید (P=n!).
- اگر پاسخ منفی است، از فرمول تخصیص استفاده کنید (A=n! / (n - m)!).
مثال
عناصر ترکیبیات، فرمول ها و برخی مسائل دیگر را در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به ادامه مطلب برویمبا در نظر گرفتن یک مشکل واقعی تصور کنید که یک کیوی، یک پرتقال و یک موز در مقابل خود دارید.
سوال اول: از چند طریق می توان آنها را بازآرایی کرد؟ برای این کار از فرمول جایگشت استفاده می کنیم: P=3!=6 راه.
سوال دوم: از چند طریق می توان یک میوه را انتخاب کرد؟ این واضح است، ما فقط سه گزینه داریم - کیوی، پرتقال یا موز را انتخاب کنید، اما ما از فرمول ترکیبی استفاده می کنیم: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
سوال سوم: از چند طریق می توان دو میوه را انتخاب کرد؟ چه گزینه هایی داریم؟ کیوی و پرتقال؛ کیوی و موز؛ پرتقال و موز. یعنی سه گزینه، اما بررسی آن با استفاده از فرمول ترکیبی آسان است: C \u003d 3! / (1!2!)=3
سوال چهارم: از چند طریق می توان سه میوه را انتخاب کرد؟ همانطور که می بینید، تنها یک راه برای انتخاب سه میوه وجود دارد: یک کیوی، یک پرتقال و یک موز. C=3! / (0!3!)=1.
سوال پنجم: از چند راه می توانید حداقل یک میوه را انتخاب کنید؟ این شرایط به این معنی است که می توانیم یک، دو یا هر سه میوه را مصرف کنیم. بنابراین، C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7 را اضافه می کنیم. یعنی هفت راه برای برداشتن حداقل یک میوه از میز داریم.
