طیف گسترده ای از روابط در مثال مجموعه ها با تعداد زیادی مفاهیم همراه است که با تعاریف آنها شروع می شود و با تجزیه و تحلیل تحلیلی پارادوکس ها پایان می یابد. تنوع مفهوم مورد بحث در مقاله در مورد مجموعه بی نهایت است. اگرچه، وقتی در مورد انواع دوگانه صحبت می شود، این به معنای روابط باینری بین چندین مقدار است. و همچنین بین اشیا یا عبارات.
به عنوان یک قاعده، روابط دودویی با نماد R نشان داده می شوند، یعنی اگر xRx برای هر مقدار x از فیلد R، چنین ویژگی را بازتابی می نامند، که در آن x و x موضوعات مورد قبول فکری هستند. و R به عنوان نشانه ای از رابطه بین افراد یا شکل دیگری عمل می کند. در همان زمان، اگر xRy® یا yRx را بیان کنید، آنگاه این حالت تقارن را نشان می‌دهد، که در آن ® یک علامت ضمنی شبیه به اتحاد "اگر … سپس …" است. و در نهایت، رمزگشایی کتیبه (xRy Ùy Rz) ®xRz در مورد رابطه گذرا می گوید، و علامت Ù یک ربط است.
یک رابطه باینری که هم انعکاسی، هم متقارن و هم متعدی است، رابطه هم ارزی نامیده می شود. رابطه f یک تابع است و تساوی y=z از Î f و Î f به دست می آید. یک تابع باینری ساده را می توان به راحتی اعمال کردبه دو آرگومان ساده در یک ترتیب معین، و تنها در این مورد معنایی را برای این دو عبارت که در یک مورد خاص گرفته شده است، ارائه می‌کند.
باید گفت که f x را به y نشان می دهد،
اگر f تابعی با محدوده x و محدوده y باشد. با این حال، وقتی f x را به y، و y Í z را برون یابی می کند، این باعث می شود که f x را در z نشان دهد. یک مثال ساده: اگر f(x)=2x برای هر عدد صحیح x درست باشد، گفته می‌شود که f مجموعه علامت‌دار همه اعداد صحیح شناخته شده را به مجموعه اعداد صحیح یکسان، اما این بار اعداد زوج نگاشت می‌کند. همانطور که در بالا ذکر شد، روابط باینری که هم انعکاسی، هم متقارن و هم متعدی هستند، روابط هم ارزی هستند.
براساس موارد فوق، روابط هم ارزی روابط باینری توسط ویژگی ها تعیین می شود:
- بازتاب - نسبت (M ~ N);
- تقارن - اگر برابری M ~ N باشد، N ~ M وجود خواهد داشت؛
- گذر - اگر دو برابری M ~ N و N ~ P، در نتیجه M ~ P.
بیایید ویژگی های اعلام شده روابط باینری را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. انعکاس پذیری یکی از ویژگی های اتصالات خاص است که در آن هر عنصر از مجموعه مورد مطالعه در برابری معینی برای خود قرار دارد. برای مثال، بین اعداد a=c و a³ c ارتباطات بازتابی وجود دارد، زیرا همیشه a=a، c=c، a³ a، c³ c. در عین حال، رابطه نابرابری a>c به دلیل عدم امکان وجود نابرابری a>a ضد بازتابی است. اصل این ویژگی با علائم رمزگذاری شده است: aRc®aRa Ù cRc، در اینجا نماد ® به معنای کلمه "دربر می گیرد" (یا "دلالت دارد")، و علامت Ù - اتحاد "و" (یا ربط) است. از این عبارت نتیجه می شود که اگر قضاوت aRc درست باشد، عبارات aRa و cRc نیز صادق هستند.
تقارن مستلزم وجود یک رابطه است حتی اگر اشیاء ذهنی مبادله شوند، یعنی با یک رابطه متقارن، بازآرایی اشیاء منجر به دگرگونی از نوع "روابط دوتایی" نمی شود. برای مثال، رابطه تساوی a=c به دلیل هم ارزی رابطه c=a متقارن است. گزاره a¹c نیز یکسان است، زیرا با ارتباط با¹a مطابقت دارد.
مجموعه گذرا خاصیتی است که شرایط زیر را برآورده می کند: y н x, z н y ® z н x، که در آن ® علامتی است که جایگزین کلمات: "اگر …، پس …" است. فرمول به صورت شفاهی به صورت زیر خوانده می شود: "اگر y به x بستگی دارد، z متعلق به y است، پس z نیز به x بستگی دارد".
