Planimetry شاخه ای از هندسه است که به بررسی خواص شکل های صفحه می پردازد. اینها نه تنها مثلث ها، مربع ها، مستطیل ها، بلکه خطوط و زوایای مستقیم را نیز شامل می شود. در پلان سنجی، مفاهیمی مانند زاویه در یک دایره نیز وجود دارد: مرکزی و محاطی. اما منظورشان چیست؟
زاویه مرکزی چیست؟
برای درک اینکه زاویه مرکزی چیست، باید یک دایره تعریف کنید. دایره مجموعه ای از تمام نقاطی است که از یک نقطه معین (مرکز دایره) فاصله دارند.
تمایز آن از دایره بسیار مهم است. باید به خاطر داشت که دایره یک خط بسته است و دایره بخشی از صفحه ای است که با آن محدود شده است. یک چند ضلعی یا یک زاویه را می توان در یک دایره حک کرد.
زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن با مرکز دایره منطبق است و اضلاع آن دایره را در دو نقطه قطع می کنند. کمانی که زاویه آن را با نقاط تقاطع محدود می کند، کمانی است که زاویه داده شده روی آن قرار دارد.
مثال 1 را در نظر بگیرید.
در تصویر، زاویه AOB مرکزی است، زیرا راس زاویه و مرکز دایره یک نقطه O است. روی قوس AB قرار دارد که حاوی نقطه C نیست.
چگونه یک زاویه محاطی با زاویه مرکزی متفاوت است؟
اما در کنار زوایای مرکزی، زوایای محاطی نیز وجود دارد. تفاوت آنها چیست؟ درست مانند زاویه مرکزی، زاویه محاط شده در یک دایره بر روی یک قوس خاص قرار دارد. اما راس آن با مرکز دایره منطبق نیست، بلکه روی آن قرار دارد.
بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم.
زاویه ACB به زاویه ای گفته می شود که در یک دایره در مرکز نقطه O قرار دارد. نقطه C متعلق به دایره است، یعنی روی آن قرار دارد. زاویه روی قوس AB قرار دارد.
زاویه مرکزی چیست
برای رویارویی موفقیت آمیز با مشکلات هندسه، تمایز قائل شدن بین زوایای محاطی و مرکزی کافی نیست. به عنوان یک قاعده، برای حل آنها، باید دقیقاً بدانید که چگونه زاویه مرکزی را در یک دایره پیدا کنید، و بتوانید مقدار آن را بر حسب درجه محاسبه کنید.
بنابراین، زاویه مرکزی برابر با درجه اندازه گیری کمانی است که روی آن قرار دارد.
در تصویر، زاویه AOB بر روی قوس AB برابر با ۶۶ درجه قرار دارد. بنابراین زاویه AOB نیز برابر با 66 درجه است.
بنابراین، زوایای مرکزی بر اساس کمان‌های مساوی برابر هستند.
در شکل، قوس DC برابر با قوس AB است. بنابراین زاویه AOB برابر با زاویه DOC است.
چگونه یک زاویه محاطی پیدا کنیم
ممکن است به نظر برسد که زاویه محاط شده در دایره برابر با زاویه مرکزی است،که بر همین قوس تکیه دارد. با این حال، این یک اشتباه فاحش است. در واقع، حتی با نگاه کردن به نقاشی و مقایسه این زوایا با یکدیگر، می توانید متوجه شوید که اندازه های درجه آنها مقادیر متفاوتی خواهد داشت. پس زاویه محاط شده در دایره چیست؟
میزان درجه یک زاویه محاطی نصف قوسی است که روی آن قرار دارد یا نصف زاویه مرکزی اگر به همان قوس تکیه کنند.
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم. زاویه ACB بر اساس یک قوس برابر با 66 درجه است.
پس زاویه DIA=66°: 2=33°
بیایید برخی از پیامدهای این قضیه را در نظر بگیریم.
- زوایای محاطی، اگر بر اساس یک قوس، وتر یا کمان مساوی باشند، مساوی هستند.
- اگر زوایای محاط شده بر اساس یک وتر باشند، اما رئوس آنها در طرفین مقابل آن قرار داشته باشند، مجموع اندازه گیری درجه چنین زاویه هایی 180 درجه است، زیرا در این حالت هر دو زاویه بر پایه کمان هستند. درجه کل آن 360 درجه (کل دایره)، 360 درجه: 2=180 درجه است
- اگر زاویه محاط شده بر اساس قطر دایره داده شده باشد، اندازه درجه آن 90 درجه است، زیرا قطر یک قوس برابر با 180 درجه، 180 درجه: 2=90 درجه است.
- اگر زوایای مرکزی و محاطی در یک دایره بر اساس یک قوس یا وتر یکسان باشد، زاویه محاط شده برابر با نیمی از زاویه مرکزی است.
مشکلات مربوط به این موضوع را کجا می توان یافت؟ انواع و راه حل های آنها
از آنجایی که دایره و ویژگی‌های آن یکی از مهم‌ترین بخش‌های هندسه است، به‌ویژه پلان‌سنجی، زوایای محاطی و مرکزی در دایره موضوعی است که به طور گسترده و با جزئیات قابل بررسی است.در برنامه درسی مدرسه مطالعه کرد. وظایف اختصاص داده شده به ویژگی های آنها در آزمون دولتی اصلی (OGE) و آزمون دولتی واحد (USE) یافت می شود. به عنوان یک قاعده، برای حل این مشکلات، باید زوایای دایره را بر حسب درجه پیدا کنید.
زوایای بر اساس همان قوس
این نوع مشکل شاید یکی از ساده‌ترین مشکل‌ها باشد، زیرا برای حل آن فقط باید دو ویژگی ساده را بدانید: اگر هر دو زاویه حکاکی شده باشند و به یک وتر تکیه کنند، با هم برابر هستند، اگر یکی از آنها باشد. مرکزی، سپس زاویه محاطی مربوطه برابر با نیمی از آن است. با این حال، هنگام حل آنها، باید بسیار مراقب بود: گاهی اوقات تشخیص این ویژگی دشوار است و دانش آموزان هنگام حل چنین مسائل ساده ای به بن بست می رسند. یک مثال را در نظر بگیرید.
مشکل 1
دایره ای در مرکز نقطه O در نظر گرفته می شود. زاویه AOB 54 درجه است. اندازه گیری درجه زاویه DIA را پیدا کنید.
این کار در یک مرحله حل می شود. تنها چیزی که برای یافتن سریع پاسخ آن نیاز دارید این است که توجه کنید کمانی که هر دو گوشه روی آن قرار دارد یک قوس مشترک است. با دیدن این، می توانید ویژگی از قبل آشنا را اعمال کنید. زاویه ACB نصف زاویه AOB است. پس
1) AOB=54°: 2=27°.
پاسخ: 54°.
زوایای بر اساس کمان های مختلف یک دایره
گاهی اوقات اندازه قوسی که زاویه مورد نیاز روی آن قرار دارد به طور مستقیم در شرایط مشکل مشخص نمی شود. برای محاسبه آن، باید بزرگی این زوایا را تجزیه و تحلیل کنید و آنها را با ویژگی های شناخته شده دایره مقایسه کنید.
مسئله 2
در دایره ای با مرکز O، زاویه AOC120 درجه و زاویه AOB 30 درجه است. گوشه را پیدا کن.
برای شروع، شایان ذکر است که حل این مشکل با استفاده از خواص مثلث متساوی الساقین امکان پذیر است، اما این کار به عملیات ریاضی بیشتری نیاز دارد. بنابراین، در اینجا راه حل را با استفاده از ویژگی های زوایای مرکزی و محاطی در یک دایره تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
بنابراین، زاویه AOC بر روی قوس AC قرار دارد و مرکزی است، به این معنی که قوس AC برابر با زاویه AOC است.
AC=120°
به همین ترتیب، زاویه AOB بر روی قوس AB قرار دارد.
AB=30°.
با دانستن این و اندازه درجه کل دایره (360 درجه)، می توانید به راحتی قدر قوس قبل از میلاد را بیابید.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
راس زاویه CAB، نقطه A، روی دایره قرار دارد. بنابراین، زاویه CAB محاط است و برابر با نیمی از قوس CB است.
زاویه کابین=210 درجه: 2=110 درجه
پاسخ: 110°
مشکلات بر اساس نسبت قوس
بعضی از مسائل به هیچ وجه حاوی داده‌های مربوط به زاویه نیستند، بنابراین باید فقط بر اساس قضایای شناخته شده و ویژگی‌های یک دایره جستجو شوند.
مسئله 1
زاویه محاط شده در دایره ای را پیدا کنید که توسط وتری برابر با شعاع دایره داده شده پشتیبانی می شود.
اگر به صورت ذهنی خطوطی بکشید که انتهای بخش را به مرکز دایره متصل می کند، یک مثلث به دست می آید. با بررسی آن، می بینید که این خطوط شعاع دایره هستند، به این معنی که تمام اضلاع مثلث برابر هستند. می دانیم که تمام زوایای یک مثلث متساوی الاضلاعبرابر با 60 درجه هستند. بنابراین، قوس AB حاوی راس مثلث برابر با 60 درجه است. از اینجا کمان AB را پیدا می کنیم که زاویه مورد نظر بر اساس آن است.
AB=360° - 60°=300°
زاویه ABC=300°: 2=150°
پاسخ: 150°
مسئله 2
در دایره ای که در مرکز نقطه O قرار دارد، کمان ها به صورت 3:7 مرتبط هستند. زاویه محاطی کوچکتر را پیدا کنید.
برای حل، یک قسمت را به عنوان X نشان می دهیم، سپس یک قوس برابر با 3X و دومی به ترتیب برابر با 7X است. با دانستن اینکه درجه یک دایره 360 درجه است، می توانیم یک معادله بنویسیم.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
طبق شرایط، باید زاویه کوچکتری پیدا کنید. بدیهی است که اگر مقدار زاویه مستقیماً با کمانی که روی آن قرار دارد متناسب باشد، زاویه مورد نیاز (کوچکتر) با قوسی برابر با 3X مطابقت دارد.
بنابراین زاویه کوچکتر است (36°3): 2=108°: 2=54°
پاسخ: 54°
مسئله 3
در یک دایره به مرکز نقطه O، زاویه AOB 60 درجه و طول کمان کوچکتر 50 است. طول کمان بزرگتر را محاسبه کنید.
برای محاسبه طول یک کمان بزرگتر، باید نسبتی ایجاد کنید - اینکه قوس کوچکتر چگونه با قوس بزرگتر ارتباط دارد. برای این کار قدر هر دو کمان را بر حسب درجه محاسبه می کنیم. قوس کوچکتر برابر با زاویه ای است که روی آن قرار دارد. اندازه درجه آن 60 درجه است. قوس بزرگتر برابر است با تفاوت بین اندازه گیری درجه دایره (بدون توجه به سایر داده ها برابر است با 360 درجه) و قوس کوچکتر.
قوس بزرگ 360 درجه - 60 درجه=300 درجه است.
از 300 درجه: 60 درجه=5، کمان بزرگتر 5 برابر کوچکتر است.
قوس بزرگ=505=250
پاسخ: 250
بنابراین، البته، موارد دیگری نیز وجود دارندرویکردهایی برای حل مسائل مشابه، اما همه آنها به نوعی مبتنی بر ویژگی های زوایای مرکزی و محاطی، مثلث ها و دایره ها هستند. برای حل موفقیت آمیز آنها، باید نقاشی را با دقت مطالعه کنید و آن را با داده های مسئله مقایسه کنید و همچنین بتوانید دانش نظری خود را در عمل به کار ببرید.
