اغلب در زندگی با نیاز به ارزیابی احتمال وقوع یک رویداد روبرو هستیم. اینکه آیا ارزش خرید بلیط بخت آزمایی را دارد یا خیر، جنسیت فرزند سوم خانواده چیست، آیا فردا هوا صاف می شود یا دوباره باران می بارد - نمونه های بی شماری از این دست وجود دارد. در ساده ترین حالت، باید تعداد نتایج مطلوب را بر تعداد کل رویدادها تقسیم کنید. اگر 10 بلیط برنده در قرعه کشی وجود داشته باشد و در مجموع 50 بلیط وجود داشته باشد، شانس دریافت جایزه 10/50=0.2 است، یعنی 20 در مقابل 100. اما اگر چندین رویداد وجود داشته باشد و آنها نزدیک به هم باشند چه می شود. مربوط؟ در این صورت دیگر به احتمال ساده، بلکه به احتمال شرطی علاقه نخواهیم داشت. این مقدار چیست و چگونه می توان آن را محاسبه کرد - این در مقاله ما مورد بحث قرار خواهد گرفت.
مفهوم
احتمال شرطی احتمال وقوع یک رویداد خاص است، با توجه به اینکه رویداد مرتبط دیگری قبلاً رخ داده است. یک مثال ساده را در نظر بگیریدپرتاب یک سکه اگر هنوز تساوی انجام نشده است، پس شانس گرفتن سر یا دم یکسان خواهد بود. اما اگر پنج بار متوالی سکه با نشان روبه‌بالا قرار گیرد، آن‌گاه موافقت کنید که انتظار ششمین، هفتم و حتی بیشتر از آن دهمین تکرار چنین نتیجه‌ای غیرمنطقی خواهد بود. با هر بار تکرار، احتمال ظاهر شدن دم بیشتر می شود و دیر یا زود از بین می رود.
فرمول احتمال شرطی
حالا بیایید بفهمیم این مقدار چگونه محاسبه می شود. اجازه دهید اولین رویداد را با B، و دومی را با A نشان دهیم. اگر شانس وقوع B با صفر متفاوت باشد، برابری زیر معتبر خواهد بود:
P (A|B)=P (AB) / P (B)، جایی که:
- P (A|B) - احتمال شرطی نتیجه A؛
- P (AB) - احتمال وقوع مشترک رویدادهای A و B؛
- P (B) - احتمال رویداد B.
با تغییر اندکی این نسبت، P (AB)=P (A|B)P (B) را دریافت می کنیم. و اگر از روش القاء استفاده کنیم، می‌توانیم فرمول محصول را استخراج کنیم و از آن برای تعداد دلخواه رویداد استفاده کنیم:
P (A1، A2، A3، …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
تمرین
برای سهولت در درک چگونگی محاسبه احتمال شرطی یک رویداد، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم. فرض کنید یک گلدان حاوی 8 شکلات و 7 نعناع وجود دارد. آنها به یک اندازه و تصادفی هستند.دو تای آنها پشت سر هم بیرون کشیده می شوند. احتمال اینکه هر دوی آنها شکلاتی باشند چقدر است؟ اجازه دهید نماد را معرفی کنیم. بگذارید نتیجه A به این معنی باشد که اولین آب نبات شکلاتی است، نتیجه B دومین آب نبات شکلاتی است. سپس موارد زیر را دریافت می کنید:
P (A)=P (B)=8 / 15،
P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2،
P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
بیایید یک مورد دیگر را در نظر بگیریم. فرض کنید یک خانواده دو فرزند وجود دارد و ما می دانیم که حداقل یک فرزند دختر است.
احتمال مشروط این که این والدین هنوز پسر ندارند چقدر است؟ مانند مورد قبلی، با علامت گذاری شروع می کنیم. فرض کنید P(B) احتمال وجود حداقل یک دختر در خانواده، P(A|B) احتمال دختر بودن فرزند دوم، P(AB) احتمال وجود دو دختر در خانواده باشد. خانواده. حالا بیایید محاسبات را انجام دهیم. در مجموع 4 ترکیب مختلف از جنسیت فرزندان می تواند وجود داشته باشد و در این صورت تنها در یک مورد (در صورت وجود دو پسر در خانواده) هیچ دختری در بین فرزندان وجود نخواهد داشت. بنابراین، احتمال P (B)=3/4، و P (AB)=1/4. سپس، با پیروی از فرمول ما، دریافت می کنیم:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
نتیجه را می توان اینگونه تفسیر کرد: اگر جنسیت یکی از بچه ها را نمی دانستیم، شانس دو دختر 25 در مقابل 100 بود. اما از آنجایی که می دانیم یک فرزند دختر است، احتمال اینکه خانواده پسران نه، به یک سوم افزایش یابد.
