تبدیل فوریه
تبدیلی است که توابع برخی از متغیرهای واقعی را مقایسه می کند. این عمل هر بار که صداهای مختلف را درک می کنیم انجام می شود. گوش یک "محاسبه" خودکار را انجام می دهد، که آگاهی ما فقط پس از مطالعه بخش مربوط به ریاضیات عالی قادر به انجام آن است. اندام شنوایی انسان تبدیلی ایجاد می کند که در نتیجه آن صدا (حرکت نوسانی ذرات شرطی در یک محیط الاستیک که به صورت موجی در محیط جامد، مایع یا گاز منتشر می شود) به شکل طیفی از مقادیر متوالی ارائه می شود. از سطح حجم صداهای با ارتفاع های مختلف. پس از آن، مغز این اطلاعات را به صدایی آشنا برای همه تبدیل می کند.
تبدیل فوریه ریاضی
تغییر امواج صوتی یا سایر فرآیندهای نوسانی (از تابش نور و جزر و مد اقیانوس تا چرخه‌های فعالیت ستاره‌ای یا خورشیدی) را نیز می‌توان با استفاده از روش‌های ریاضی انجام داد. بنابراین، با استفاده از این تکنیک ها، می توان توابع را با نمایش فرآیندهای نوسانی به عنوان مجموعه ای از اجزای سینوسی، یعنی منحنی های موجی کهاز پایین به بالا بروید، سپس به پایین برگردید، مانند یک موج دریا. تبدیل فوریه - تبدیلی که تابع آن فاز یا دامنه هر سینوسی مربوط به فرکانس خاصی را توصیف می کند. فاز نقطه شروع منحنی است و دامنه ارتفاع آن است.
تبدیل فوریه (نمونه های آن در عکس نشان داده شده است) ابزار بسیار قدرتمندی است که در زمینه های مختلف علوم مورد استفاده قرار می گیرد. در برخی موارد، از آن به عنوان وسیله ای برای حل معادلات نسبتاً پیچیده استفاده می شود که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر نور، انرژی حرارتی یا الکتریکی رخ می دهد، توصیف می کند. در موارد دیگر، به شما امکان می دهد تا اجزای منظم سیگنال های نوسانی پیچیده را تعیین کنید، به لطف آنها می توانید مشاهدات تجربی مختلف در شیمی، پزشکی و ستاره شناسی را به درستی تفسیر کنید.
پیشینه تاریخی
اولین کسی که این روش را به کار برد، ریاضیدان فرانسوی ژان باپتیست فوریه بود. این تبدیل که بعداً به نام او نامگذاری شد، در ابتدا برای توصیف مکانیسم انتقال گرما استفاده شد. فوریه تمام زندگی بزرگسالی خود را صرف مطالعه خواص گرما کرد. او کمک زیادی به نظریه ریاضی تعیین ریشه معادلات جبری کرد. فوریه استاد تجزیه و تحلیل در دانشکده پلی تکنیک، دبیر مؤسسه مصر شناسی بود، در خدمت امپراتوری بود، جایی که در طول ساخت جاده تورین (تحت رهبری او، بیش از 80 هزار کیلومتر مربع مالاریا) خود را متمایز کرد.باتلاق ها). با این حال، تمام این فعالیت شدید دانشمند را از انجام تجزیه و تحلیل ریاضی باز نداشت. او در سال 1802 معادله ای را استخراج کرد که انتشار گرما در جامدات را توصیف می کند. در سال 1807 دانشمند روشی را برای حل این معادله کشف کرد که به آن تبدیل فوریه می گفتند.
تجزیه و تحلیل هدایت حرارتی
دانشمند از یک روش ریاضی برای توصیف مکانیسم انتقال گرما استفاده کرد. یک مثال راحت، که در آن هیچ مشکلی در محاسبه وجود ندارد، انتشار انرژی حرارتی از طریق یک حلقه آهنی است که در یک قسمت در آتش غوطه ور شده است. برای انجام آزمایشات، فوریه بخشی از این حلقه را داغ داغ کرد و آن را در ماسه ریز مدفون کرد. پس از آن، او اندازه گیری دما را در طرف مقابل آن انجام داد. در ابتدا، توزیع گرما نامنظم است: بخشی از حلقه سرد و دیگری گرم است؛ یک گرادیان دمایی شدید بین این مناطق مشاهده می شود. با این حال، در فرآیند انتشار گرما در تمام سطح فلز، یکنواخت تر می شود. بنابراین، به زودی این فرآیند به شکل یک سینوسی در می آید. در ابتدا نمودار به آرامی افزایش می یابد و همچنین به آرامی کاهش می یابد، دقیقاً مطابق با قوانین تغییر تابع کسینوس یا سینوس. موج به تدریج کاهش می یابد و در نتیجه دما در تمام سطح حلقه یکسان می شود.
نویسنده این روش پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه را می توان به تعدادی سینوسی ابتدایی تجزیه کرد. هر کدام از آنها فاز (موقعیت اولیه) و دمای مخصوص به خود را خواهند داشتبیشترین. علاوه بر این، هر یک از این مؤلفه‌ها از حداقل به حداکثر تغییر می‌کند و در یک چرخش کامل به دور حلقه، تعداد صحیح بار برمی‌گردد. مولفه ای با یک دوره را هارمونیک بنیادی و مقداری با دو یا چند دوره را دومین و غیره می نامیدند. بنابراین، تابع ریاضی که حداکثر دما، فاز یا موقعیت را توصیف می کند، تبدیل فوریه تابع توزیع نامیده می شود. دانشمند یک جزء واحد را که توصیف آن از نظر ریاضی دشوار است، به ابزاری با کاربرد آسان کاهش داد - سری کسینوس و سینوس که به طور خلاصه توزیع اصلی را نشان می‌دهند.
ماهیت تحلیل
با اعمال این تجزیه و تحلیل برای تبدیل انتشار گرما از طریق یک جسم جامد که شکل حلقوی دارد، ریاضیدان استدلال کرد که افزایش دوره های مولفه سینوسی منجر به فروپاشی سریع آن می شود. این امر در هارمونیک های بنیادی و دوم به وضوح دیده می شود. در دومی، دما در یک گذر دو بار به حداکثر و حداقل مقدار می رسد و در اولی فقط یک بار. به نظر می رسد که فاصله پوشش داده شده توسط گرما در هارمونیک دوم نصف فاصله اصلی خواهد بود. علاوه بر این، شیب در دومی نیز دو برابر شیب اولی خواهد بود. بنابراین، از آنجایی که جریان گرمای شدیدتر مسافتی را دو برابر کوتاه‌تر طی می‌کند، این هارمونیک چهار برابر سریعتر از حالت اصلی به عنوان تابعی از زمان تحلیل می‌رود. در آینده، این روند حتی سریعتر خواهد بود. این ریاضیدان معتقد بود که این روش به شما امکان می دهد فرآیند توزیع دمای اولیه را در طول زمان محاسبه کنید.
چالش برای معاصران
الگوریتم تبدیل فوریه مبانی نظری ریاضیات در آن زمان را به چالش کشید. در آغاز قرن نوزدهم، اکثر دانشمندان برجسته، از جمله لاگرانژ، لاپلاس، پواسون، لژاندر و بیوت، اظهارات او را مبنی بر اینکه توزیع دمای اولیه به اجزایی در قالب یک هارمونیک اساسی و فرکانس‌های بالاتر تجزیه می‌شود، نپذیرفتند. با این حال، آکادمی علوم نتوانست نتایج به دست آمده توسط این ریاضیدان را نادیده بگیرد و برای نظریه قوانین هدایت گرما و همچنین مقایسه آن با آزمایش های فیزیکی به او جایزه اعطا کرد. در رویکرد فوریه، ایراد اصلی این واقعیت بود که تابع ناپیوسته با مجموع چندین تابع سینوسی که پیوسته هستند نشان داده می شود. پس از همه، آنها خطوط صاف و منحنی پاره شده را توصیف می کنند. معاصران دانشمند هرگز با وضعیت مشابهی روبرو نشدند، زمانی که توابع ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته، مانند درجه دوم، خطی، سینوسی یا نمایی توصیف می شدند. در صورتی که ریاضیدان در اظهارات خود درست گفته باشد، مجموع یک سری نامتناهی از یک تابع مثلثاتی باید به یک عدد دقیق گام به گام کاهش یابد. در آن زمان، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. با این حال، علیرغم تردیدها، برخی از محققان (به عنوان مثال کلود ناویر، سوفی ژرمن) دامنه تحقیقات را گسترش داده و آنها را فراتر از تجزیه و تحلیل توزیع انرژی حرارتی برده اند. در همین حال، ریاضیدانان به مبارزه با این سوال ادامه دادند که آیا مجموع چندین تابع سینوسی را می توان به نمایشی دقیق از یک ناپیوسته تقلیل داد.
200 سالهتاریخچه
این نظریه طی دو قرن تکامل یافته است، امروز بالاخره شکل گرفته است. با کمک آن، توابع مکانی یا زمانی به اجزای سینوسی تقسیم می شوند که فرکانس، فاز و دامنه خاص خود را دارند. این تبدیل با دو روش مختلف ریاضی به دست می آید. اولین مورد زمانی استفاده می شود که تابع اصلی پیوسته است، و دومی - زمانی که با مجموعه ای از تغییرات مجزا نشان داده می شود. اگر عبارت از مقادیری بدست آید که با فواصل گسسته تعریف شده اند، می توان آن را به چندین عبارت سینوسی با فرکانس های گسسته تقسیم کرد - از پایین ترین و سپس دو بار، سه بار و غیره بالاتر از اصلی. چنین مجموعی سری فوریه نامیده می شود. اگر به عبارت اولیه مقداری برای هر عدد واقعی داده شود، آنگاه می توان آن را به چندین سینوسی از همه فرکانس های ممکن تجزیه کرد. معمولاً انتگرال فوریه نامیده می شود و راه حل مستلزم تبدیلات انتگرالی تابع است. صرف نظر از اینکه چگونه تبدیل به دست می آید، برای هر فرکانس باید دو عدد مشخص شود: دامنه و فرکانس. این مقادیر به صورت یک عدد مختلط منفرد بیان می شوند. تئوری بیان متغیرهای مختلط همراه با تبدیل فوریه، انجام محاسبات در طراحی مدارهای الکتریکی مختلف، تجزیه و تحلیل ارتعاشات مکانیکی، مطالعه مکانیسم انتشار موج و غیره را ممکن ساخت.
تبدیل فوریه امروز
امروزه، مطالعه این فرآیند عمدتاً به یافتن مؤثر کاهش می یابدروش های انتقال از یک تابع به شکل تبدیل شده آن و بالعکس. این راه حل تبدیل فوریه مستقیم و معکوس نامیده می شود. چه مفهومی داره؟ برای تعیین انتگرال و تولید تبدیل فوریه مستقیم، می توان از روش های ریاضی یا تحلیلی استفاده کرد. علیرغم این واقعیت که هنگام استفاده از آنها در عمل مشکلات خاصی ایجاد می شود، اکثر انتگرال ها قبلاً پیدا شده و در کتاب های مرجع ریاضی گنجانده شده اند. از روش‌های عددی می‌توان برای محاسبه عباراتی استفاده کرد که شکل آنها بر اساس داده‌های تجربی است، یا توابعی که انتگرال آنها در جداول موجود نیست و ارائه آنها به شکل تحلیلی دشوار است.
قبل از ظهور رایانه ها، محاسبات چنین تبدیل ها بسیار خسته کننده بود، آنها نیاز به اجرای دستی تعداد زیادی عملیات حسابی داشتند که به تعداد نقاط توصیف کننده تابع موج بستگی داشت. برای تسهیل محاسبات، امروزه برنامه های خاصی وجود دارد که امکان پیاده سازی روش های تحلیلی جدید را فراهم کرده است. بنابراین، در سال 1965، جیمز کولی و جان توکی نرم افزاری را ایجاد کردند که به "تبدیل سریع فوریه" معروف شد. این به شما امکان می دهد با کاهش تعداد ضرب در تجزیه و تحلیل منحنی، در زمان برای محاسبات صرفه جویی کنید. روش تبدیل فوریه سریع بر اساس تقسیم منحنی به تعداد زیادی مقادیر نمونه یکنواخت است. بر این اساس، تعداد ضرب‌ها با همان کاهش تعداد امتیازها نصف می‌شود.
اعمال تبدیل فوریه
ایناین فرآیند در زمینه های مختلف علوم مورد استفاده قرار می گیرد: در نظریه اعداد، فیزیک، پردازش سیگنال، ترکیبیات، نظریه احتمال، رمزنگاری، آمار، اقیانوس شناسی، اپتیک، آکوستیک، هندسه و غیره. امکانات غنی کاربرد آن مبتنی بر تعدادی ویژگی مفید است که به آنها "خواص تبدیل فوریه" می گویند. آنها را در نظر بگیرید.
1. تبدیل تابع یک عملگر خطی است و با نرمال سازی مناسب، واحد است. این ویژگی به عنوان قضیه پارسوال یا به طور کلی قضیه پلانچرل یا دوآلیسم پونتریاگین شناخته می شود.
2. تحول برگشت پذیر است. علاوه بر این، نتیجه معکوس تقریباً همان شکلی است که در راه حل مستقیم وجود دارد.
3. عبارات پایه سینوسی توابع متمایز خود هستند. این بدان معنی است که چنین نمایشی معادلات خطی با ضریب ثابت را به معادلات جبری معمولی تغییر می دهد.
4. با توجه به قضیه "کانولوشن"، این فرآیند یک عملیات پیچیده را به یک ضرب ابتدایی تبدیل می کند.
5. تبدیل فوریه گسسته را می توان به سرعت در رایانه با استفاده از روش "سریع" محاسبه کرد.
انواع تبدیل فوریه
1. اغلب، این اصطلاح برای نشان دادن یک تبدیل پیوسته به کار می رود که هر عبارت مربع انتگرال پذیر را به عنوان مجموع عبارات نمایی پیچیده با فرکانس ها و دامنه های زاویه ای خاص ارائه می دهد. این گونه دارای چندین شکل مختلف است که می تواندبا ضرایب ثابت متفاوت است. روش پیوسته شامل یک جدول تبدیل است که در کتاب های مرجع ریاضی یافت می شود. حالت تعمیم‌یافته یک تبدیل کسری است که با استفاده از آن می‌توان فرآیند داده شده را به توان واقعی مورد نیاز افزایش داد.
2. حالت پیوسته تعمیم تکنیک اولیه سری فوریه است که برای توابع یا عبارات تناوبی مختلف که در یک ناحیه محدود وجود دارند و آنها را به صورت سری سینوسی نشان می‌دهند تعریف شده است.
3. تبدیل فوریه گسسته. این روش در فناوری کامپیوتر برای محاسبات علمی و برای پردازش سیگنال دیجیتال استفاده می شود. برای انجام این نوع محاسبه، به توابعی نیاز است که به جای انتگرال فوریه پیوسته، نقاط منفرد، نواحی تناوبی یا محدود را در یک مجموعه گسسته تعریف کنند. تبدیل سیگنال در این مورد به صورت مجموع سینوسی ها نشان داده می شود. در عین حال، استفاده از روش "سریع" امکان اعمال راه حل های گسسته برای هر مشکل عملی را ممکن می کند.
4. تبدیل فوریه پنجره ای شکل تعمیم یافته روش کلاسیک است. بر خلاف راه حل استاندارد، هنگامی که از طیف سیگنال استفاده می شود، که در محدوده کامل وجود یک متغیر معین گرفته می شود، در اینجا فقط توزیع فرکانس محلی مورد توجه خاص است، مشروط بر اینکه متغیر اصلی (زمان) حفظ شود..
5. تبدیل فوریه دو بعدی. این روش برای کار با آرایه های داده دو بعدی استفاده می شود. در این حالت ابتدا تبدیل در یک جهت و سپس در انجام می شوددیگر.
نتیجه گیری
امروزه روش فوریه در زمینه‌های مختلف علم جا افتاده است. به عنوان مثال، در سال 1962 شکل مارپیچ دوگانه DNA با استفاده از تجزیه و تحلیل فوریه همراه با پراش اشعه ایکس کشف شد. دومی بر روی کریستال های الیاف DNA متمرکز شد، در نتیجه، تصویری که با پراش تابش به دست آمد، روی فیلم ثبت شد. این تصویر اطلاعاتی در مورد مقدار دامنه در هنگام استفاده از تبدیل فوریه به یک ساختار بلوری مشخص می دهد. داده های فاز با مقایسه نقشه پراش DNA با نقشه های بدست آمده از تجزیه و تحلیل ساختارهای شیمیایی مشابه به دست آمد. در نتیجه، زیست شناسان ساختار کریستالی - عملکرد اصلی را بازسازی کردند.
تبدیل فوریه نقش بسیار زیادی در مطالعه فضا، فیزیک نیمه هادی ها و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار، زلزله شناسی و بررسی های پزشکی ایفا می کند.
