چند جمله ای، یا چند جمله ای - یکی از ساختارهای جبری اساسی، که در ریاضیات مدرسه و بالاتر یافت می شود. مطالعه چند جمله ای مهم ترین مبحث در درس جبر است، زیرا از یک طرف چند جمله ای ها در مقایسه با انواع دیگر توابع بسیار ساده هستند و از طرف دیگر در حل مسائل آنالیز ریاضی کاربرد زیادی دارند.. پس چند جمله ای چیست؟
تعریف
تعریف واژه چند جمله ای را می توان از طریق مفهوم یک جمله یا تک جمله ای ارائه داد.
یک مونومی عبارتی از شکل cx1i1x2 i2 …x در. در اینجا c یک ثابت است، x1، x2، … x - متغیرها، i1، i2، … در - توان متغیرها سپس یک چند جمله ای هر مجموع محدودی از تک جمله ها است.
برای درک اینکه چند جمله ای چیست، می توانید به مثال های خاصی نگاه کنید.
مثلث مربع که در درس ریاضی پایه هشتم به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، چند جمله ای است: ax2+bx+c.
یک چند جمله ای با دو متغیر ممکن است به این شکل باشد: x2-xy+y2. چنینبه یک چند جمله ای، مربع ناقص اختلاف بین x و y نیز گفته می شود.
طبقه بندی چند جمله ای
درجه چند جمله ای
برای هر تک جمله ای در چند جمله ای، مجموع توان های i1+i2+…+in را پیدا کنید. بزرگترین مجموع را توان چند جمله ای و تک جمله ای مربوط به این مجموع را بالاترین جمله می نامند.
به هر حال، هر ثابتی را می توان چند جمله ای با درجه صفر در نظر گرفت.
چندجمله‌ای‌های کاهش‌یافته و غیرکاهشی
اگر ضریب c برای بالاترین جمله برابر با 1 باشد، چند جمله ای داده می شود، در غیر این صورت نیست.
برای مثال، عبارت x2+2x+1 یک چند جمله ای کاهش یافته است و 2x2+2x+1 کاهش نمی یابد..
چندجمله ای های همگن و ناهمگن
اگر درجات همه اعضای یک چند جمله ای برابر باشد، می گوییم که چنین چند جمله ای همگن است. همه چند جمله ای های دیگر غیر همگن در نظر گرفته می شوند.
چندجمله ای های همگن: x2-xy+y2، xyz+x3 +y 3. ناهمگن: x+1، x2+y.
برای چند جمله ای دو و سه جمله نام های خاصی وجود دارد: به ترتیب دو جمله ای و سه جمله ای.
چندجمله‌ای‌های یک متغیر به یک دسته جداگانه اختصاص داده می‌شوند.
کاربرد چند جمله ای از یک متغیر
چندجمله‌ای‌های یک متغیر، توابع پیوسته با پیچیدگی متفاوت را از یک آرگومان تقریبی می‌کنند.
واقعیت این است که چنین چندجمله ای را می توان به عنوان مجموع جزئی یک سری توان در نظر گرفت و یک تابع پیوسته را می توان به عنوان یک سری با یک خطای دلخواه کوچک نشان داد. سری بسط یک تابع را سری تیلور و آنها می نامندمجموع جزئی به شکل چند جمله ای - چند جمله ای های تیلور.
مطالعه گرافیکی رفتار یک تابع با تقریب آن با چند جمله ای اغلب ساده تر از بررسی مستقیم همان تابع یا استفاده از یک سری است.
به راحتی می توان مشتقات چند جمله ای ها را جستجو کرد. برای ریشه یابی چند جمله ای های درجه 4 به پایین فرمول های آماده ای وجود دارد و برای کار با درجات بالاتر از الگوریتم های تقریبی با دقت بالا استفاده می شود.
همچنین تعمیم چند جمله ای های توصیف شده برای توابع چندین متغیر وجود دارد.
دوجمله ای نیوتن
چند جمله ای های معروف چند جمله ای های نیوتن هستند که توسط دانشمندان برای یافتن ضرایب عبارت (x + y) به دست آمده اند.
کافی است به چند قدرت اول تجزیه دوجمله ای نگاه کنید تا مطمئن شوید که فرمول غیر پیش پا افتاده است:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4؛
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
برای هر ضریب عبارتی وجود دارد که به شما امکان می دهد آن را محاسبه کنید. با این حال، به خاطر سپردن فرمول های دست و پا گیر و انجام هر بار عملیات حسابی لازم برای آن دسته از ریاضیدانانی که اغلب به چنین بسط هایی نیاز دارند، بسیار ناخوشایند خواهد بود. مثلث پاسکال زندگی را برای آنها آسان تر کرد.
شکل بر اساس اصل زیر ساخته شده است. در بالای مثلث 1 نوشته می شود و در هر سطر بعد به یک رقم دیگر تبدیل می شود و در لبه ها عدد 1 قرار می گیرد و وسط خط با مجموع دو عدد مجاور قبلی پر می شود.
وقتی به تصویر نگاه می کنید، همه چیز روشن می شود.
البته استفاده از چندجمله ای ها در ریاضیات به مثال های داده شده محدود نمی شود، معروف ترین آنها.
