در مقاله ای که مورد توجه شما قرار گرفت، نمونه هایی از مدل های ریاضی را ارائه می دهیم. علاوه بر این، به مراحل ایجاد مدل ها و تحلیل برخی از وظایف مرتبط با مدل سازی ریاضی خواهیم پرداخت.
یکی دیگر از سوالات ما در مورد مدل های ریاضی در اقتصاد است، مثال هایی که کمی بعد به تعریف آن خواهیم پرداخت. پیشنهاد می کنیم گفتگوی خود را با مفهوم "مدل" آغاز کنیم، به طور خلاصه طبقه بندی آنها را در نظر بگیریم و به سؤالات اصلی خود برویم.
مفهوم "مدل"
ما اغلب کلمه "مدل" را می شنویم. چیست؟ این اصطلاح تعاریف زیادی دارد، در اینجا فقط سه مورد از آنها وجود دارد:
- یک شی خاص که برای دریافت و ذخیره اطلاعات، منعکس کننده برخی ویژگی ها یا ویژگی ها، و غیره، از اصل این شی ایجاد می شود (این شی خاص را می توان به اشکال مختلف بیان کرد: ذهنی، توصیف با استفاده از علائم، و غیره)؛
- نیز به معنای نمایش هر موقعیت خاص، زندگی یامدیریتی؛
- مدل می تواند به عنوان یک کپی کاهش یافته از هر شی ای عمل کند (آنها برای مطالعه و تجزیه و تحلیل دقیق تر ایجاد شده اند، زیرا مدل ساختار و روابط را منعکس می کند).
مدل
بر اساس همه چیزهایی که قبلاً گفته شد، می توانیم یک نتیجه کوچک بگیریم: این مدل به شما امکان می دهد یک سیستم یا شی پیچیده را با جزئیات مطالعه کنید.
همه مدل ها را می توان بر اساس تعدادی معیار طبقه بندی کرد:
- بر اساس حوزه استفاده (آموزشی، تجربی، علمی و فنی، بازی، شبیه سازی)؛
- براساس دینامیک (ایستا و پویا)؛
- بر اساس شاخه دانش (فیزیک، شیمیایی، جغرافیایی، تاریخی، جامعه شناسی، اقتصادی، ریاضی)؛
- از طریق ارائه (مادی و اطلاعاتی).
مدل های اطلاعاتی به نوبه خود به دو دسته نشانه ای و کلامی تقسیم می شوند. و نمادین - روی رایانه و غیر رایانه. حالا بیایید به بررسی دقیق نمونه هایی از یک مدل ریاضی بپردازیم.
مدل ریاضی
همانطور که ممکن است حدس بزنید، یک مدل ریاضی برخی از ویژگی های یک شی یا پدیده را با استفاده از نمادهای ریاضی خاص منعکس می کند. ریاضیات برای مدلسازی الگوهای دنیای اطراف به زبان خاص خود مورد نیاز است.
روش مدلسازی ریاضی مدت‌ها پیش، هزاران سال پیش، همراه با ظهور این علم پدید آمد. با این حال، انگیزه توسعه این روش مدلسازی با ظاهر رایانه‌ها (رایانه‌های الکترونیکی) داده شد.
حالا بیایید به طبقه بندی برویم. همچنین می توان آن را با توجه به برخی علائم انجام داد. آن ها هستنددر جدول زیر ارائه شده است.
| طبقه بندی بر اساس شاخه علم | کاربرد مدل های ریاضی در فیزیک، جامعه شناسی، شیمی و غیره |
| با توجه به دستگاه ریاضی مورد استفاده در فرآیند مدلسازی | مدلهای مبتنی بر معادلات دیفرانسیل، تبدیل‌های جبری گسسته و موارد مشابه |
| با الگوبرداری از اهداف | بر اساس این اصل، مدل های توصیفی، بهینه سازی، چند معیاره، بازی و شبیه سازی وجود دارد |
پیشنهاد می کنیم که آخرین طبقه بندی را متوقف کرده و نگاهی دقیق تر بیندازیم، زیرا الگوهای کلی مدل سازی و اهداف مدل های در حال ایجاد را منعکس می کند.
مدل های توصیفی
در این فصل، پیشنهاد می کنیم با جزئیات بیشتر در مورد مدل های ریاضی توصیفی صحبت کنیم. برای اینکه همه چیز خیلی واضح باشد، یک مثال آورده می شود.
برای شروع، این دیدگاه را می توان توصیفی نامید. این به این دلیل است که ما فقط محاسبات و پیش بینی می کنیم، اما به هیچ وجه نمی توانیم بر نتیجه رویداد تأثیر بگذاریم.
یک مثال قابل توجه از یک مدل ریاضی توصیفی، محاسبه مسیر پرواز، سرعت، فاصله از زمین دنباله‌داری است که به وسعت منظومه شمسی ما حمله کرده است. این مدل توصیفی است، زیرا تمام نتایج به‌دست‌آمده تنها می‌توانند ما را از نوعی خطر آگاه کنند. تأثیری بر نتیجه رویداد، افسوس که ما نداریممی توان. با این حال، بر اساس محاسبات به‌دست‌آمده، می‌توان هر گونه اقدامی را برای نجات حیات روی زمین انجام داد.
مدل های بهینه سازی
اکنون کمی در مورد مدل های اقتصادی و ریاضی صحبت می کنیم که نمونه های آن می تواند موقعیت های مختلف باشد. در این مورد، ما در مورد مدل هایی صحبت می کنیم که به یافتن پاسخ مناسب در شرایط خاص کمک می کنند. آنها باید برخی از پارامترها را داشته باشند. برای اینکه کاملا واضح باشد، یک مثال از بخش کشاورزی در نظر بگیرید.
انبار غله داریم، اما دانه ها خیلی زود خراب می شوند. در این مورد، ما باید رژیم دمایی مناسب را انتخاب کنیم و فرآیند ذخیره سازی را بهینه کنیم.
بنابراین، می توانیم مفهوم "مدل بهینه سازی" را تعریف کنیم. از نظر ریاضی، این یک سیستم معادلات (هر دو خطی و غیر خطی) است که حل آن به یافتن راه حل بهینه در یک وضعیت اقتصادی خاص کمک می کند. ما نمونه ای از یک مدل ریاضی (بهینه سازی) را در نظر گرفتیم، اما می خواهم اضافه کنم: این نوع به کلاس مسائل شدید تعلق دارد، آنها به توصیف عملکرد سیستم اقتصادی کمک می کنند.
به یک نکته دیگر توجه کنید: مدل ها می توانند ماهیت متفاوتی داشته باشند (جدول زیر را ببینید).
| قطعی |
در این مورد، نتیجه به داده های ورودی بستگی دارد |
| تصادفی | شرح فرآیندهای تصادفی. در این حالت، نتیجه تعریف نشده باقی می‌ماند |
مدلهای چند معیاری
اکنون از شما دعوت می کنیم تا کمی در مورد آن صحبت کنیدمدل ریاضی بهینه سازی چند هدفه قبل از آن، یک مثال از یک مدل ریاضی برای بهینه‌سازی یک فرآیند با توجه به هر یک از معیارها ارائه کردیم، اما اگر تعداد آنها زیاد باشد چه می‌شود؟
یک مثال بارز از یک کار چند معیاره، سازماندهی تغذیه مناسب، سالم و در عین حال اقتصادی برای گروه های بزرگی از مردم است. چنین وظایفی اغلب در ارتش، غذاخوری های مدرسه، اردوهای تابستانی، بیمارستان ها و غیره یافت می شود.
چه معیارهایی در این مشکل به ما داده شده است؟
- غذا باید سالم باشد.
- هزینه غذا باید به حداقل برسد.
همانطور که می بینید، این اهداف به هیچ وجه با هم منطبق نیستند. این بدان معنی است که هنگام حل یک مسئله، باید به دنبال راه حل بهینه، تعادل بین دو معیار بود.
مدل های بازی
در مورد مدل های بازی، درک مفهوم "تئوری بازی" ضروری است. به بیان ساده، این مدل ها منعکس کننده مدل های ریاضی درگیری های واقعی هستند. فقط توجه داشته باشید که برخلاف یک درگیری واقعی، مدل ریاضی بازی قوانین خاص خود را دارد.
اکنون حداقل اطلاعاتی از تئوری بازی وجود دارد که به شما کمک می کند تا بفهمید مدل بازی چیست. و بنابراین، در مدل لزوما مهمانی ها (دو یا بیشتر) وجود دارد که معمولاً به آنها بازیکن می گویند.
همه مدل ها دارای برخی ویژگی ها هستند.
| موضوعات | تعداد بازیکنان |
| استراتژی | گزینه‌هایی برای اقدامات احتمالی |
| پرداخت | نتیجه درگیری (برد یا باخت). |
مدل بازی می تواند جفت یا چندتایی باشد. اگر دو موضوع داشته باشیم، درگیری زوج است، اگر بیشتر باشد - چندگانه. یک بازی متضاد را نیز می توان متمایز کرد که به آن بازی حاصل جمع صفر نیز می گویند. این مدلی است که در آن سود یکی از شرکت کنندگان برابر با ضرر دیگری است.
مدل های شبیه سازی
در این قسمت به مدل های ریاضی شبیه سازی می پردازیم. نمونه هایی از وظایف عبارتند از:
- مدل دینامیک تعداد میکروارگانیسم ها؛
- مدل حرکت مولکولها و غیره.
در این مورد، ما در مورد مدل هایی صحبت می کنیم که تا حد امکان به فرآیندهای واقعی نزدیک هستند. به طور کلی، آنها از هر تجلی در طبیعت تقلید می کنند. به عنوان مثال، در مورد اول، می توانیم پویایی تعداد مورچه ها در یک کلنی را مدل کنیم. در این صورت می توانید سرنوشت هر فردی را مشاهده کنید. در این مورد، توصیف ریاضی به ندرت استفاده می شود، اغلب شرایط نوشته شده وجود دارد:
- بعد از پنج روز ماده تخم می گذارد؛
- 20 روز بعد مورچه می میرد، و به همین ترتیب.
بنابراین، مدل های شبیه سازی برای توصیف یک سیستم بزرگ استفاده می شود. نتیجه گیری ریاضی پردازش داده های آماری دریافتی است.
نیازها
خیلی مهمتوجه داشته باشید که برخی از الزامات برای این نوع مدل وجود دارد که از جمله مواردی است که در جدول زیر آمده است.
| تطبیق پذیری | این ویژگی به شما امکان می دهد از یک مدل در هنگام توصیف گروه هایی از اشیاء از یک نوع استفاده کنید. توجه به این نکته مهم است که مدلهای ریاضی جهانی کاملاً مستقل از ماهیت فیزیکی شیء مورد مطالعه هستند |
| کفایت | درک این نکته مهم است که این ویژگی به شما امکان می دهد تا فرآیندهای واقعی را با دقت هر چه بیشتر بازتولید کنید. در مسائل عملیاتی، این ویژگی مدلسازی ریاضی بسیار مهم است. نمونه ای از یک مدل، فرآیند بهینه سازی استفاده از سیستم گاز است. در این حالت، شاخص های محاسبه شده و واقعی با هم مقایسه می شوند، در نتیجه صحت مدل تدوین شده بررسی می شود |
| دقت | این شرط به معنای همزمانی مقادیری است که هنگام محاسبه مدل ریاضی و پارامترهای ورودی شی واقعی خود به دست می آوریم |
| اقتصاد | نیازهای مقرون به صرفه بودن برای هر مدل ریاضی با هزینه های پیاده سازی مشخص می شود. اگر کار با مدل به صورت دستی انجام شود، باید محاسبه کرد که برای حل یک مسئله با استفاده از این مدل ریاضی چقدر زمان لازم است. اگر در مورد طراحی به کمک رایانه صحبت می کنیم، شاخص های هزینه زمان و حافظه رایانه محاسبه می شود |
مراحلمدلینگ
در مجموع، مرسوم است که چهار مرحله را در مدلسازی ریاضی از هم تشخیص دهیم.
- قوانینی را که اجزای مدل را به هم مرتبط می کند، فرموله کنید.
- تحقیق مسائل ریاضی.
- روشن کردن همزمانی نتایج عملی و نظری.
- تحلیل و نوسازی مدل.
مدل اقتصادی و ریاضی
در این بخش به طور مختصر به موضوع مدل های اقتصادی و ریاضی می پردازیم. نمونه هایی از وظایف عبارتند از:
- تشکیل برنامه تولیدی برای تولید فرآورده های گوشتی، تضمین حداکثر سود تولید؛
- با محاسبه تعداد بهینه میز و صندلی برای تولید در یک کارخانه مبلمان و غیره، سود سازمان را به حداکثر برسانید.
مدل اقتصادی-ریاضی یک انتزاع اقتصادی را نشان می دهد که با استفاده از اصطلاحات و علائم ریاضی بیان می شود.
مدل ریاضی رایانه
نمونه‌هایی از یک مدل ریاضی کامپیوتری عبارتند از:
- مشکلات هیدرولیک با استفاده از فلوچارت ها، نمودارها، جداول و غیره؛
- مشکلات در مکانیک جامدات و غیره.
مدل رایانه ای تصویری از یک شی یا سیستم است که به صورت:
ارائه می شود
- جدول;
- فلوچارت;
- نمودار؛
- گرافیک و غیره.
در عین حال، این مدل ساختار و اتصالات سیستم را منعکس می کند.
ساخت یک مدل اقتصادی-ریاضی
ما قبلاً در مورد چه اقتصادی صحبت کرده ایممدل ریاضی. نمونه ای از حل مشکل در حال حاضر در نظر گرفته خواهد شد. ما باید برنامه تولید را تجزیه و تحلیل کنیم تا ذخیره افزایش سود را با تغییر در مجموعه شناسایی کنیم.
مسئله را به طور کامل در نظر نخواهیم گرفت، بلکه فقط یک مدل اقتصادی و ریاضی ایجاد می کنیم. ملاک وظیفه ما حداکثر کردن سود است. سپس تابع به شکل: Л=р1х1+р2х2… تمایل به حداکثر دارد. در این مدل p سود هر واحد، x تعداد واحدهای تولید شده است. علاوه بر این، بر اساس مدل ساخته شده، باید محاسبات و جمع بندی انجام شود.
نمونه ای از ساخت یک مدل ریاضی ساده
وظیفه. ماهیگیر با صید زیر بازگشت:
- 8 ماهی - ساکنان دریاهای شمال؛
- 20% صید - ساکنان دریاهای جنوب؛
- هیچ ماهی از رودخانه محلی پیدا نشد.
چند ماهی از فروشگاه خرید؟
بنابراین، نمونه ای از ساخت مدل ریاضی این مسئله به شرح زیر است. تعداد کل ماهی ها را x نشان می دهیم. پس از این شرط، 0.2 برابر تعداد ماهی‌هایی است که در عرض‌های جغرافیایی جنوبی زندگی می‌کنند. اکنون تمام اطلاعات موجود را با هم ترکیب می کنیم و مدل ریاضی مسئله را بدست می آوریم: x=0، 2x+8. معادله را حل می کنیم و جواب سوال اصلی را می گیریم: او 10 ماهی از فروشگاه خرید.
