هندسه شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختارها در فضا و رابطه بین آنها می پردازد. به نوبه خود از بخش هایی نیز تشکیل شده است که یکی از آنها استریومتری است. این برای مطالعه خواص شکل های حجمی واقع در فضا فراهم می کند: یک مکعب، یک هرم، یک توپ، یک مخروط، یک استوانه، و غیره.
مخروط جسمی در فضای اقلیدسی است که یک سطح مخروطی شکل و صفحه‌ای را که انتهای مولدهای آن روی آن قرار دارند محدود می‌کند. تشکیل آن در فرآیند چرخش مثلث قائم الزاویه به دور هر یک از پایه های آن اتفاق می افتد، بنابراین به بدنه های انقلاب تعلق دارد.
اجزای مخروطی
انواع مخروط های زیر متمایز می شوند: مورب (یا مایل) و مستقیم. مایل آن چیزی است که محور آن با مرکز قاعده اش تقاطع می کند و زاویه قائمه ندارد. به همین دلیل، ارتفاع در چنین مخروطی با محور منطبق نیست، زیرا قطعه ای است که از بالای بدنه به صفحه آن پایین می آید.پایه در 90 درجه.
آن مخروطی را که محور آن بر قاعده آن عمود است مخروط مستقیم می گویند. محور و ارتفاع در چنین جسم هندسی به دلیل این واقعیت است که راس در آن بالاتر از مرکز قطر پایه قرار دارد.
مخروط از عناصر زیر تشکیل شده است:
- دایره ای که پایه آن است.
- سمت.
- نقطه ای که در صفحه پایه قرار ندارد به نام بالای مخروط.
- قطعه هایی که نقاط دایره قاعده جسم هندسی و بالای آن را به هم متصل می کنند.
همه این بخش ها ژنراتیک مخروط هستند. آنها به قاعده جسم هندسی متمایل هستند و در مورد مخروط راست، برآمدگی آنها برابر است، زیرا راس از نقاط دایره پایه به یک اندازه فاصله دارد. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که در یک مخروط منظم (مستقیم)، ژنراتورها با هم برابرند، یعنی طول یکسانی دارند و با محور (یا ارتفاع) و پایه زاویه‌های یکسانی تشکیل می‌دهند.
از آنجایی که در یک جسم مایل (یا مایل) چرخشی، راس نسبت به مرکز صفحه پایه جابجا می شود، ژنراتورها در چنین جسمی دارای طول ها و برآمدگی های متفاوتی هستند، زیرا هر یک از آنها در فاصله متفاوتی قرار دارند. از هر دو نقطه از دایره پایه علاوه بر این، زوایای بین آنها و ارتفاع مخروط نیز متفاوت خواهد بود.
طول ژنراتورها در مخروط سمت راست
همانطور که قبلاً نوشته شد، ارتفاع در بدنه هندسی مستقیم چرخشی عمود بر صفحه قاعده است. بنابراین، ژنراتیکس، ارتفاع و شعاع پایه یک مثلث قائم الزاویه در مخروط ایجاد می کند.
یعنی با دانستن شعاع قاعده و ارتفاع با استفاده از فرمول قضیه فیثاغورث می توان طول ژنراتیکس را محاسبه کرد که برابر مجموع مجذورات شعاع پایه و ارتفاع:
l2 =r2+ h2 یا l=√r 2 + h2
جایی که l یک نسل است؛
r – شعاع؛
h – ارتفاع.
زاینده در مخروط مایل
با توجه به اینکه در مخروط مایل یا مایل طول ژنراتورها یکسان نیست، محاسبه آنها بدون ساخت و محاسبات اضافی امکان پذیر نخواهد بود.
اول از همه، باید ارتفاع، طول محور و شعاع پایه را بدانید.
با داشتن این داده، می توانید با استفاده از فرمول قضیه فیثاغورث، بخشی از شعاع واقع بین محور و ارتفاع را محاسبه کنید:
r1=√k2 - h2
جایی که r1 بخشی از شعاع بین محور و ارتفاع است؛
k - طول محور؛
h – ارتفاع.
در نتیجه اضافه کردن شعاع (r) و قسمتی که بین محور و ارتفاع قرار دارد (r1)، می توانید تمام سمت راست را پیدا کنید. مثلث تشکیل شده توسط ژنراتیکس مخروط، قسمت ارتفاع و قطر آن:
R=r + r1
که در آن R پایه مثلثی است که از ارتفاع، ژنراتیکس و بخشی از قطر پایه تشکیل شده است؛
r – شعاع پایه؛
r1 - بخشی از شعاع بین محور و ارتفاع.
با استفاده از همان فرمول از قضیه فیثاغورث، می توانید طول ژنراتیکس مخروط را پیدا کنید:
l=√h2+ R2
یا بدون محاسبه R جداگانه، دو فرمول را در یک فرمول ترکیب کنید:
l=√h2 + (r + r1)2.
با وجود اینکه مخروط مستقیم یا مایل است و نوع داده های ورودی، همه روش ها برای یافتن طول ژنراتیکس همیشه به یک نتیجه می رسند - استفاده از قضیه فیثاغورث.
بخش مخروطی
قطع محوری مخروط صفحه ای است که در امتداد محور یا ارتفاع خود می گذرد. در یک مخروط راست، چنین مقطعی یک مثلث متساوی الساقین است که در آن ارتفاع مثلث ارتفاع بدنه، اضلاع آن مولدها و قاعده قطر قاعده است. در جسم هندسی متساوی الاضلاع، مقطع محوری یک مثلث متساوی الاضلاع است، زیرا در این مخروط قطر قاعده و ژنراتورها برابر است.
صفحه مقطع محوری در مخروط مستقیم، صفحه تقارن آن است. دلیل این امر این است که قسمت بالای آن بالای مرکز پایه آن است، یعنی صفحه قسمت محوری مخروط را به دو قسمت یکسان تقسیم می کند.
از آنجایی که ارتفاع و محور در یک جامد شیبدار مطابقت ندارند، صفحه قسمت محوری ممکن است شامل ارتفاع نباشد. اگر بتوان مجموعه ای از مقاطع محوری را در چنین مخروطی ساخت ، زیرا فقط یک شرط برای این کار باید رعایت شود - باید فقط از محور عبور کند ، سپس فقط یک بخش محوری از هواپیما که به ارتفاع آن تعلق دارد. این مخروط را می توان ترسیم کرد، زیرا تعداد شرایط افزایش می یابد، و همانطور که مشخص است، دو خط (با هم) می توانند متعلق بهفقط یک هواپیما.
منطقه بخش
بخش محوری مخروط که قبلاً ذکر شد یک مثلث است. بر این اساس، مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه کرد:
S=1/2dh یا S=1/22rh
که در آن S سطح مقطع است؛
d – قطر پایه؛
r – شعاع؛
h – ارتفاع.
در مخروط مایل یا مایل، مقطع در امتداد محور نیز مثلث است، بنابراین سطح مقطع در آن به طور مشابه محاسبه می شود.
جلد
از آنجایی که مخروط یک شکل سه بعدی در فضای سه بعدی است، می توانیم حجم آن را محاسبه کنیم. حجم یک مخروط عددی است که این جسم را در واحد حجم مشخص می‌کند، یعنی در m3. محاسبه به راست یا مایل بودن آن (میل) بستگی ندارد، زیرا فرمول های این دو نوع جسم تفاوتی ندارند.
همانطور که قبلاً گفته شد، تشکیل یک مخروط راست به دلیل چرخش یک مثلث قائم الزاویه در امتداد یکی از پایه های آن رخ می دهد. مخروط مایل یا مایل به طور متفاوتی تشکیل می شود، زیرا ارتفاع آن از مرکز صفحه پایه بدنه دور می شود. با این حال، چنین تفاوت هایی در ساختار، روش محاسبه حجم آن را تحت تأثیر قرار نمی دهد.
محاسبه حجم
فرمول حجم هر مخروط به این صورت است:
V=1/3πhr2
که در آن V حجم مخروط است؛
h – ارتفاع؛
r – شعاع؛
π - ثابت برابر با 3، 14.
برای محاسبه حجم یک مخروط، باید اطلاعاتی در مورد ارتفاع و شعاع قاعده بدن داشته باشید.
برای محاسبه ارتفاع یک جسم، باید شعاع قاعده و طول مولد آن را بدانید. از آنجایی که شعاع، ارتفاع و ژنراتیکس در یک مثلث قائم الزاویه ترکیب می شوند، می توان ارتفاع را با استفاده از فرمول قضیه فیثاغورث محاسبه کرد (a2+ b2=c 2 یا در مورد ما h2+ r2=l2 ، که در آن l - generatrix). در این حالت، ارتفاع با استخراج ریشه دوم اختلاف بین مربع های هیپوتنوز و پای دیگر محاسبه می شود:
a=√c2- b2
یعنی ارتفاع مخروط برابر با مقداری خواهد بود که پس از استخراج جذر از اختلاف مجذور طول ژنراتیکس و مربع شعاع پایه بدست می آید:
h=√l2 - r2
با محاسبه ارتفاع به این روش و دانستن شعاع پایه آن می توانید حجم مخروط را محاسبه کنید. در این مورد، ژنراتیکس نقش مهمی ایفا می کند، زیرا به عنوان یک عنصر کمکی در محاسبات عمل می کند.
به همین ترتیب، اگر ارتفاع جسم و طول ژنراتیکس آن را بدانید، می توانید شعاع قاعده آن را با استخراج ریشه دوم اختلاف بین مجذور ژنراتیکس و مربع ارتفاع پیدا کنید.:
r=√l2 - h2
سپس با استفاده از همان فرمول بالا، حجم مخروط را محاسبه کنید.
حجم مخروط مایل
از آنجایی که فرمول حجم یک مخروط برای همه انواع بدنه چرخشی یکسان است، تفاوت در محاسبه آن جستجوی ارتفاع است.
برای اینکه ارتفاع یک مخروط مایل را دریابیم، داده های ورودی باید شامل طول ژنراتریس، شعاع پایه و فاصله بین مرکز باشد.پایه و محل تلاقی ارتفاع بدنه با صفحه قاعده آن. با دانستن این موضوع، می توانید به راحتی آن قسمت از قطر پایه را که قاعده یک مثلث قائم الزاویه (از ارتفاع، ژنراتیکس و صفحه پایه تشکیل می شود) محاسبه کنید. سپس، دوباره با استفاده از قضیه فیثاغورث، ارتفاع مخروط و متعاقباً حجم آن را محاسبه کنید.
