اعداد مختلط: تعریف و مفاهیم اساسی

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

هنگام مطالعه خواص یک معادله درجه دوم، محدودیتی تعیین شد - برای ممیز کمتر از صفر، هیچ راه حلی وجود ندارد. بلافاصله مقرر شد که ما در مورد مجموعه ای از اعداد واقعی صحبت می کنیم. ذهن کنجکاو یک ریاضیدان علاقه مند خواهد شد - راز موجود در بند در مورد مقادیر واقعی چیست؟

به مرور زمان، ریاضیدانان مفهوم اعداد مختلط را معرفی کردند که در آن مقدار شرطی ریشه دوم منهای یک به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.

پیشینه تاریخی

نظریه ریاضی به ترتیب از ساده به پیچیده توسعه می یابد. بیایید بفهمیم مفهومی به نام "اعداد مختلط" چگونه بوجود آمد و چرا به آن نیاز است.

از زمان های بسیار قدیم، اساس ریاضیات حساب معمول بود. محققان فقط مجموعه طبیعی ارزش ها را می دانستند. جمع و تفریق ساده بود. با پیچیده تر شدن روابط اقتصادی، به جای افزودن مقادیر یکسان، از ضرب شروع به استفاده کرد. یک عملیات معکوس وجود داردضرب - تقسیم.

مفهوم اعداد طبیعی استفاده از عملیات حسابی را محدود می کرد. حل تمام مسائل تقسیم بر روی مجموعه مقادیر صحیح غیرممکن است. کار با کسری ابتدا به مفهوم ارزش های عقلانی و سپس به ارزش های غیر منطقی منجر شد. اگر برای منطقی بتوان مکان دقیق نقطه را روی خط نشان داد، برای غیر منطقی نمی توان چنین نقطه ای را نشان داد. شما فقط می توانید فاصله را تقریبی کنید. اتحاد اعداد گویا و غیر منطقی یک مجموعه واقعی را تشکیل می دهد که می تواند به عنوان یک خط معین با یک مقیاس معین نشان داده شود. هر مرحله در امتداد خط یک عدد طبیعی است و بین آنها مقادیر گویا و غیر منطقی وجود دارد.

دوران ریاضیات نظری آغاز شده است. توسعه نجوم، مکانیک، فیزیک مستلزم حل معادلات پیچیده تر و بیشتر بود. به طور کلی، ریشه های معادله درجه دوم پیدا شد. هنگام حل یک چند جمله ای مکعبی پیچیده تر، دانشمندان با یک تناقض مواجه شدند. مفهوم ریشه مکعب از منفی منطقی است، اما برای یک جذر، عدم قطعیت به دست می آید. علاوه بر این، معادله درجه دوم فقط یک مورد خاص از یک مکعب است.

در سال 1545، J. Cardano ایتالیایی پیشنهاد کرد که مفهوم عدد خیالی را معرفی کند.

این عدد دومین ریشه منهای یک است. اصطلاح عدد مختلط سرانجام تنها سیصد سال بعد در آثار گاوس ریاضیدان معروف شکل گرفت. او پیشنهاد کرد که تمام قوانین جبر به طور رسمی به عدد خیالی تعمیم داده شود. خط واقعی به گسترش یافته استهواپیماها دنیا بزرگتر است.

مفاهیم اساسی

تعدادی از توابع را که محدودیت هایی در مجموعه واقعی دارند به یاد بیاورید:

• y=arcsin(x)، تعریف شده بین منفی و مثبت 1.
• y=ln(x)، لگاریتم اعشاری با آرگومان های مثبت معنا پیدا می کند.
• ریشه مربع y=√x، فقط برای x ≧ 0 محاسبه شده است.

با نشان دادن i=√(-1)، چنین مفهومی را به عنوان یک عدد خیالی معرفی می کنیم، این همه محدودیت ها را از دامنه تعریف توابع بالا حذف می کند. عباراتی مانند y=arcsin(2)، y=ln(-4)، y=√(-5) در فضایی از اعداد مختلط معنا پیدا می کنند.

شکل جبری را می توان به عنوان یک عبارت z=x + i×y روی مجموعه مقادیر واقعی x و y نوشت و i² =-1.

مفهوم جدید تمام محدودیت‌های استفاده از هر تابع جبری را حذف می‌کند و شبیه نمودار یک خط مستقیم در مختصات مقادیر واقعی و خیالی است.

هواپیمای پیچیده

شکل هندسی اعداد مختلط به صورت بصری به ما امکان می دهد بسیاری از ویژگی های آنها را نشان دهیم. در محور Re(z) مقادیر x واقعی را علامت گذاری می کنیم، در Im(z) - مقادیر خیالی y، سپس نقطه z در صفحه مقدار مختلط مورد نیاز را نشان می دهد.

تعریف:

• Re(z) - محور واقعی.
• Im(z) - به معنای محور خیالی است.
• z - نقطه شرطی یک عدد مختلط.
• مقدار عددی طول بردار از صفر تا z نامیده می شودماژول.
• محورهای واقعی و خیالی هواپیما را به چهار قسمت تقسیم می کنند. با مقدار مثبت مختصات - یک چهارم. وقتی آرگومان محور واقعی کمتر از 0 باشد و محور خیالی بزرگتر از 0 - ربع II باشد. وقتی مختصات منفی است - سه ماهه سوم. سه ماهه آخر و چهارم حاوی مقادیر واقعی مثبت و مقادیر خیالی منفی است.

بنابراین، در صفحه ای با مقادیر مختصات x و y، همیشه می توان نقطه ای از یک عدد مختلط را مجسم کرد. کاراکتر i معرفی می شود تا قسمت واقعی را از قسمت خیالی جدا کند.

خواص

1. وقتی مقدار آرگومان فرضی صفر است، فقط یک عدد (z=x) به دست می‌آوریم که روی محور واقعی قرار دارد و به مجموعه واقعی تعلق دارد.
2. مورد خاص وقتی مقدار آرگومان واقعی صفر می شود، عبارت z=i×y مربوط به محل نقطه روی محور فرضی است.
3. شکل کلی z=x + i×y برای مقادیر غیر صفر آرگومان ها خواهد بود. مکان نقطه مشخص کننده عدد مختلط را در یکی از ربع ها نشان می دهد.

نماد مثلثاتی

سیستم مختصات قطبی و تعریف توابع مثلثاتی sin و cos را به یاد بیاورید. بدیهی است که با کمک این توابع می توان موقعیت هر نقطه از هواپیما را توصیف کرد. برای این کار کافی است طول پرتو قطبی و زاویه تمایل به محور واقعی را بدانید.

تعریف. یک ورودی به شکل ∣z ∣ در مجموع توابع مثلثاتی cos(ϴ) و قسمت خیالی i ×sin(ϴ) ضرب شود عدد مختلط مثلثاتی نامیده می شود. در اینجا تعیین زاویه تمایل به محور واقعی است

ϴ=arg(z) و r=∣z∣، طول تیر.

از تعریف و ویژگی های توابع مثلثاتی، فرمول بسیار مهم Moivre به دست می آید:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

با استفاده از این فرمول، حل بسیاری از سیستم های معادلات حاوی توابع مثلثاتی راحت است. به خصوص زمانی که مشکل افزایش قدرت به وجود می آید.

ماژول و فاز

برای تکمیل شرح یک مجموعه پیچیده، دو تعریف مهم را پیشنهاد می کنیم.

با دانستن قضیه فیثاغورث، محاسبه طول پرتو در سیستم مختصات قطبی آسان است.

r=∣z∣=√(x² + y²)، چنین نمادی در یک فضای پیچیده "" نامیده می شود. ماژول" و فاصله 0 تا یک نقطه در صفحه را مشخص می کند.

زاویه میل تیر مختلط به خط واقعی ϴ معمولاً فاز نامیده می شود.

تعریف نشان می دهد که بخش های واقعی و خیالی با استفاده از توابع چرخه ای توصیف می شوند. یعنی:

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × sin(ϴ);

برعکس، فاز از طریق فرمول:

به مقادیر جبری مربوط می شود.

ϴ=آرکتان (x / y) + μ، تصحیح µ برای در نظر گرفتن تناوب توابع هندسی معرفی می‌شود.

فرمول اویلر

ریاضیدانان اغلب از شکل نمایی استفاده می کنند. اعداد صفحه مختلط به صورت عبارات

نوشته می شوند

z=r × e^i×ϴ ، که از فرمول اویلر ناشی می شود.

این رکورد به طور گسترده برای محاسبه عملی مقادیر فیزیکی استفاده می شود. فرم ارائه در فرماعداد مختلط نمایی مخصوصاً برای محاسبات مهندسی مناسب هستند، جایی که محاسبه مدارهایی با جریان سینوسی ضروری است و لازم است مقدار انتگرال توابع با دوره معین را بدانیم. محاسبات خود به عنوان ابزاری در طراحی ماشین‌ها و مکانیزم‌های مختلف عمل می‌کنند.

تعریف عملیات

همانطور که قبلاً اشاره شد، تمام قوانین جبری کار با توابع ریاضی پایه برای اعداد مختلط اعمال می شود.

عملیات جمع

هنگام افزودن مقادیر مختلط، بخشهای واقعی و خیالی آنها نیز اضافه می شود.

z=z₁ + z₂ که در آن z₁ و z2 _{- اعداد مختلط عمومی. با تبدیل عبارت، پس از باز کردن پرانتزها و ساده کردن نماد، آرگومان واقعی x=(x}1 _{+ x}2_{)، آرگومان خیالی y را دریافت می کنیم.=(y 1} + y₂).

روی نمودار، طبق قانون متوازی الاضلاع معروف، مانند جمع دو بردار به نظر می رسد.

عملیات تفریق

به عنوان یک مورد خاص جمع در نظر گرفته می شود، زمانی که یک عدد مثبت است، دیگری منفی است، یعنی در ربع آینه قرار دارد. نماد جبری مانند تفاوت بین بخش های واقعی و خیالی است.

z=z₁ - z₂، یا با در نظر گرفتن مقادیر آرگومان‌ها، به طور مشابه با جمع عملیات، ما برای مقادیر واقعی x=(x₁ -x₂) و y فرضی=(y_{1) بدست می آوریم} - y₂).

ضرب در صفحه مختلط

با استفاده از قوانین کار با چند جمله ای ها، فرمول را استخراج می کنیمبرای حل اعداد مختلط.

با پیروی از قوانین کلی جبری z=z₁×z₂، هر آرگومان را توصیف کنید و موارد مشابه را فهرست کنید. قسمت های واقعی و خیالی را می توان اینگونه نوشت:

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y ₂،
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

اگر از اعداد مختلط نمایی استفاده کنیم زیباتر به نظر می رسد.

عبارت به این شکل است: z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r_۲ × eiϴ2^=r۱ _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

به سادگی، ماژول ها ضرب می شوند و فازها اضافه می شوند.

بخش

وقتی عمل تقسیم را به عنوان معکوس ضرب در نظر می گیریم، یک عبارت ساده در نماد نمایی به دست می آوریم. تقسیم مقدار z₁ بر z₂ نتیجه تقسیم ماژول ها و اختلاف فاز آنهاست. به طور رسمی، هنگام استفاده از شکل نمایی اعداد مختلط، به نظر می رسد:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

در قالب نماد جبری، عملیات تقسیم اعداد صفحه مختلط کمی پیچیده‌تر نوشته می‌شود:

z=z₁ / z_2.

با توصیف آرگومان ها و انجام تبدیل های چند جمله ای، به راحتی می توان مقادیر را به دست آورد.x=x₁ × x₂ + y₁ × y₂ ، به ترتیب y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ ، با این حال، در فضای توصیف شده، این عبارت منطقی است اگر z₂ ≠ 0.

استخراج ریشه

همه موارد فوق را می توان هنگام تعریف توابع جبری پیچیده تر - افزایش به هر توان و معکوس آن - استخراج ریشه به کار برد.

با استفاده از مفهوم کلی افزایش به توان n، به این تعریف می رسیم:

zⁿ =(r × e^iϴ).

با استفاده از خصوصیات رایج، بازنویسی کنید:

zⁿ =rⁿ × e^iϴ.

فرمول ساده ای برای افزایش یک عدد مختلط به توان داریم.

از تعریف مدرک به یک پیامد بسیار مهم می رسیم. توان زوج واحد خیالی همیشه 1 است. هر توان فرد واحد خیالی همیشه -1 است.

حالا بیایید تابع معکوس - استخراج ریشه را مطالعه کنیم.

برای سهولت نمادگذاری، اجازه دهید n=2 را در نظر بگیریم. صفر برای w ≦ 0، هیچ راه حلی وجود ندارد.

بیایید به ساده ترین معادله درجه دوم نگاه کنیم z² =1. با استفاده از فرمول های اعداد مختلط، r² × e ^{را بازنویسی کنید.i2ϴ} =r² × e^i2ϴ=ei0^{. از رکورد می توان دریافت که r}2 ^{=1 و ϴ=0، بنابراین، ما یک راه حل منحصر به فرد برابر با 1 داریم.اما این با این تصور که z=-1 نیز با تعریف جذر مطابقت دارد، در تضاد است.}

بیایید بفهمیم چه چیزهایی را در نظر نمی گیریم. اگر نماد مثلثاتی را به خاطر بیاوریم، عبارت را بازیابی می کنیم - با تغییر دوره ای در فاز ϴ، عدد مختلط تغییر نمی کند. اجازه دهید p مقدار دوره را نشان دهد، سپس r² × e^i2ϴ =e داریمi(0+p)^{، از آنجا 2=0 + p، یا ϴ=p / 2. بنابراین، e}i0 ^{=1 و e}i^p/2 =-1. ما راه حل دوم را دریافت کردیم که با درک کلی از جذر مطابقت دارد.

بنابراین، برای یافتن ریشه دلخواه یک عدد مختلط، این روش را دنبال می کنیم.

• شکل نمایی را بنویسید w=∣w∣ × e^i(arg (w) + pk) ^{، k یک عدد صحیح دلخواه است.}
• عدد مورد نظر نیز به شکل اویلر z=r × e^iϴ نشان داده می شود.
• از تعریف کلی تابع استخراج ریشه استفاده کنید r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
• از خصوصیات کلی برابری ماژول ها و آرگومان ها، rⁿ =∣w∣ و nϴ=arg (w) + p×k می نویسیم.
• رکورد نهایی ریشه یک عدد مختلط با فرمول z=√∣w∣ × e^{i (} توصیف می شود ^arg (w) + pk ^{) /} .
• نکته. مقدار ∣w∣، طبق تعریف،یک عدد واقعی مثبت است، بنابراین ریشه هر درجه معنی دارد.

فیلد و صرف

در پایان، دو تعریف مهم ارائه می کنیم که برای حل مسائل کاربردی با اعداد مختلط اهمیت کمی دارند، اما برای توسعه بیشتر نظریه ریاضی ضروری هستند.

گفته می شود که عبارات جمع و ضرب اگر بدیهیات هر یک از عناصر صفحه مختلط z را برآورده کنند یک میدان تشکیل می دهند:

1. مجموع مختلط با تغییر مکان عبارات پیچیده تغییر نمی کند.
2. گزاره درست است - در یک عبارت پیچیده، هر مجموع دو عدد را می توان با مقدار آنها جایگزین کرد.
3. یک مقدار خنثی 0 وجود دارد که برای آن z + 0=0 + z=z درست است.
4. برای هر z یک متضاد - z وجود دارد که جمع آن صفر می شود.
5. هنگام تغییر مکان عوامل پیچیده، محصول پیچیده تغییر نمی کند.
6. ضرب هر دو عدد را می توان با مقدار آنها جایگزین کرد.
7. یک مقدار خنثی 1 وجود دارد که ضرب در آن عدد مختلط را تغییر نمی دهد.
8. برای هر z ≠ 0، معکوس z^-1 وجود دارد که در 1 ضرب می شود.
9. ضرب مجموع دو عدد در یک سوم معادل عمل ضرب هر یک از آنها در این عدد و جمع کردن نتایج است.
10. 0 ≠ 1.

اعداد z₁ =x + i×y و z₂ =x - i×y مزدوج نامیده می شوند.

قضیه. برای صرف، عبارت درست است:

• مجموع جمع برابر است با مجموع عناصر مزدوج.
• مزدوج محصول استمحصول صرف.
• همزمان با خود عدد برابر است.

در جبر عمومی، چنین ویژگی هایی را خودمورفیسم میدانی می نامند.

نمونه

با پیروی از قوانین و فرمول های داده شده اعداد مختلط، می توانید به راحتی با آنها کار کنید.

بیایید ساده ترین مثال ها را در نظر بگیریم.

مسئله 1. با استفاده از معادله 3y +5 x i=15 - 7i، x و y را تعیین کنید.

تصمیم. تعریف برابری های مختلط را به یاد بیاورید، سپس 3y=15، 5x=-7. بنابراین، x=-7 / 5، y=5.

کار 2. مقادیر 2 + i²⁸ و 1 + i¹³⁵ را محاسبه کنید.

تصمیم. بدیهی است که 28 یک عدد زوج است، از نتیجه تعریف یک عدد مختلط در توان ما داریم i²⁸ =1، به این معنی که عبارت 2 + i ²⁸ =3. مقدار دوم، i¹³⁵ =-1، سپس 1 + i¹³⁵ =0.

کار 3. حاصل ضرب مقادیر 2 + 5i و 4 + 3i را محاسبه کنید.

تصمیم. از خصوصیات کلی ضرب اعداد مختلط، (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) به دست می آید. مقدار جدید -7 + 26i خواهد بود.

کار 4. محاسبه ریشه های معادله z³ =-i.

تصمیم. روش های مختلفی برای یافتن عدد مختلط وجود دارد. بیایید یکی از موارد ممکن را در نظر بگیریم. طبق تعریف، ∣ - i∣=1، فاز -i -p / 4 است. معادله اصلی را می توان به صورت r³e^{i بازنویسی کرد.}3ϴ ^=e-p/4+pk ^{، از آنجا z=e}-p / 12 + pk/3^{، برای هر عدد صحیح k.}

مجموعه راه حل به شکل (e^-ip/12،e^ip/4، e^{i۲ p/3}).

چرا به اعداد مختلط نیاز داریم

تاریخ مثال‌های زیادی می‌داند که دانشمندان با کار بر روی یک نظریه، حتی به کاربرد عملی نتایج خود فکر نمی‌کنند. ریاضیات قبل از هر چیز یک بازی ذهنی است، پایبندی دقیق به روابط علت و معلولی. تقریباً تمام ساختارهای ریاضی به حل معادلات انتگرال و دیفرانسیل تقلیل می‌یابند و آن‌ها نیز به نوبه خود با تقریبی با یافتن ریشه‌های چندجمله‌ای حل می‌شوند. در اینجا ابتدا با پارادوکس اعداد خیالی روبرو می شویم.

دانشمندان طبیعت گرا، با حل مسائل کاملاً عملی، با توسل به حل معادلات مختلف، پارادوکس های ریاضی را کشف می کنند. تفسیر این تناقضات منجر به اکتشافات کاملاً شگفت انگیزی می شود. ماهیت دوگانه امواج الکترومغناطیسی یکی از این نمونه هاست. اعداد مختلط نقش مهمی در درک خصوصیات آنها دارند.

این به نوبه خود کاربرد عملی در اپتیک، الکترونیک رادیویی، انرژی و بسیاری از زمینه های فناوری دیگر پیدا کرده است. مثال دیگر، درک پدیده های فیزیکی بسیار دشوارتر است. ضد ماده در نوک قلم پیش بینی می شد. و تنها سال‌ها بعد، تلاش‌ها برای سنتز فیزیکی آن آغاز شد.

فکر نکنید که فقط در فیزیک چنین شرایطی وجود دارد. اکتشافات کمتر جالبی در حیات وحش، در سنتز ماکرومولکول ها، در طول مطالعه هوش مصنوعی انجام نمی شود. و این همه به لطف استگسترش آگاهی ما، دور شدن از جمع و تفریق ساده مقادیر طبیعی.