Maclaurin و گسترش برخی توابع

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

دانش آموزان ریاضی بالاتر باید توجه داشته باشند که مجموع چند سری توانی متعلق به بازه همگرایی سری داده شده به تعداد پیوسته و نامحدود تابع متمایز تبدیل می شود. این سوال مطرح می شود: آیا می توان ادعا کرد که یک تابع دلخواه f(x) مجموع چند سری توان است؟ یعنی تابع f(x) را تحت چه شرایطی می توان با یک سری توانی نمایش داد؟ اهمیت این سوال در این است که می توان تقریباً تابع f(x) را با مجموع چند جمله اول سری توان، یعنی با یک چند جمله ای جایگزین کرد. چنین جایگزینی یک تابع با یک عبارت نسبتاً ساده - یک چند جمله ای - هنگام حل برخی از مسائل آنالیز ریاضی، یعنی: هنگام حل انتگرال ها، هنگام محاسبه معادلات دیفرانسیل، و غیره نیز راحت است.

ثابت شده است که برای برخی از تابع‌های f(х) که در آن مشتقات تا مرتبه (n+1)ام، از جمله آخرین مورد، می‌توانند در همسایگی محاسبه شوند (α _{- R؛ x}0 _{+ R) از نقطه ای x=α فرمول معتبر است:}

این فرمول به افتخار دانشمند معروف بروک تیلور نامگذاری شده است. سری که از قبلی به دست می آید، سری Maclaurin نامیده می شود:

قانونی که امکان گسترش در سری Maclaurin را فراهم می کند:

تعیین مشتقات دستورات اول، دوم، سوم…
محاسبه کنید مشتقات در x=0 برابر هستند.
سری Maclaurin را برای این تابع ضبط کنید و سپس فاصله همگرایی آن را تعیین کنید.
فاصله (-R;R) را تعیین کنید که در آن باقیمانده فرمول Maclaurin

R (x) -> 0 برای n -> بی نهایت. اگر یکی وجود داشته باشد، تابع f(x) در آن باید با مجموع سری Maclaurin منطبق باشد.

اکنون سری Maclaurin را برای عملکردهای فردی در نظر بگیرید.

1. بنابراین، اولین مورد f(x)=e^x خواهد بود. البته با توجه به ویژگی‌هایش، چنین تابعی مشتقاتی از مرتبه‌های مختلف دارد و f^(k)(x)=e^x، که k برابر است با همه اعداد طبیعی بیایید x=0 را جایگزین کنیم. f^(k)(0)=e⁰=1، k=1، 2… ^{به این شکل خواهد بود:}

2. سری Maclaurin برای تابع f(x)=sin x. فوراً روشن کنید که تابع همه مجهولات مشتقاتی خواهد داشت، علاوه بر f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…، f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2)، که در آن k برابر هر عدد طبیعی است. یعنی پس از انجام محاسبات ساده می توانیم به این نتیجه برسیم که سری f(x)=sin x به این صورت خواهد بود:}

3. حالا بیایید سعی کنیم تابع f(x)=cos x را در نظر بگیریم. او برای همه ناشناخته ها استمشتقاتی از نظم دلخواه دارد و |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… مجدداً، پس از انجام محاسبات، دریافت می کنیم که سری f(x)=cos x به این صورت خواهد بود:

بنابراین، ما مهمترین توابع قابل گسترش در سری Maclaurin را فهرست کرده ایم، اما آنها با سری تیلور برای برخی از عملکردها تکمیل می شوند. اکنون آنها را فهرست می کنیم. همچنین شایان ذکر است که سری های تیلور و مکلارین بخش مهمی از تمرین حل سری در ریاضیات عالی هستند. بنابراین، سری تیلور.

1. اولین یک سری برای f-ii f(x)=ln(1+x) خواهد بود. همانطور که در مثال‌های قبلی، با f (x)=ln (1 + x)، می‌توانیم با استفاده از شکل کلی سری Maclaurin یک سری اضافه کنیم. با این حال، برای این تابع، سری Maclaurin را می توان بسیار ساده تر به دست آورد. پس از ادغام یک سری هندسی خاص، یک سری برای f(x)=ln(1+x) از این نمونه بدست می آوریم: