فیثاغورث فیثاغورث استدلال کرد که عدد به همراه عناصر اساسی زیربنای جهان است. افلاطون معتقد بود که عدد پدیده و اسم را به هم متصل می کند و به شناخت، اندازه گیری و نتیجه گیری کمک می کند. حساب از کلمه "arithmos" می آید - یک عدد، آغاز آغاز در ریاضیات. می تواند هر شیئی را توصیف کند - از یک سیب ابتدایی تا فضاهای انتزاعی.
نیازها به عنوان عامل توسعه
در مراحل اولیه شکل گیری جامعه، نیازهای مردم به نیاز به شمارش محدود می شد - یک کیسه غلات، دو کیسه دانه و …. برای این کار اعداد طبیعی کافی بود که مجموعه آن یک دنباله مثبت بی نهایت از اعداد صحیح N.
بعداً، با توسعه ریاضیات به عنوان یک علم، نیاز به یک میدان جداگانه از اعداد صحیح Z وجود داشت - شامل مقادیر منفی و صفر است. ظاهر آن در سطح خانوار با این واقعیت تحریک شد که در حسابداری اولیه لازم بود به نحوی رفع شودبدهی ها و زیان ها در سطح علمی، اعداد منفی حل ساده ترین معادلات خطی را ممکن کرده است. در میان چیزهای دیگر، تصویر یک سیستم مختصات بی اهمیت اکنون ممکن شده است، زیرا یک نقطه مرجع ظاهر شده است.
گام بعدی نیاز به معرفی اعداد کسری بود، از آنجایی که علم ثابت نمی ماند، اکتشافات بیشتر و بیشتر به یک مبنای نظری برای انگیزه رشد جدید نیاز داشتند. اینگونه میدان اعداد گویا ظاهر شد Q.
سرانجام، عقلانیت از ارضای درخواست ها باز ماند، زیرا همه نتیجه گیری های جدید نیاز به توجیه داشتند. در آنجا میدان اعداد حقیقی R ظاهر شد، آثار اقلیدس در مورد غیرقابل مقایسه بودن مقادیر معین به دلیل غیرمنطقی بودن آنها. یعنی ریاضیدانان یونان باستان عدد را نه تنها به عنوان یک ثابت، بلکه به عنوان یک کمیت انتزاعی نیز قرار می دادند که با نسبت مقادیر غیرقابل مقایسه مشخص می شود. با توجه به این واقعیت که اعداد واقعی ظاهر می شوند، مقادیری مانند "pi" و "e" "نور را دیدند" که بدون آنها ریاضیات مدرن نمی تواند انجام شود.
نوآوری نهایی عدد مختلط C بود. به تعدادی از سؤالات پاسخ داد و فرضیات معرفی شده قبلی را رد کرد. با توجه به توسعه سریع جبر، نتیجه قابل پیش بینی بود - داشتن اعداد واقعی، حل بسیاری از مسائل غیرممکن بود. برای مثال، به لطف اعداد مختلط، نظریه ریسمان و آشوب برجسته شد و معادلات هیدرودینامیک گسترش یافت.
نظریه مجموعه ها. کانتور
مفهوم بی نهایت در همه زمان هابحث برانگیز شد، زیرا نه قابل اثبات بود و نه رد. در زمینه ریاضیات، که با فرضیه های کاملاً تأیید شده عمل می کرد، این به وضوح خود را نشان داد، به خصوص که جنبه الهیاتی هنوز در علم اهمیت داشت.
اما، به لطف کار ریاضیدان گئورگ کانتور، همه چیز به مرور زمان سر جای خودش قرار گرفت. او ثابت کرد که تعداد نامتناهی مجموعه بی نهایت وجود دارد و میدان R از میدان N بزرگتر است، حتی اگر هر دو انتهایی نداشته باشند. در اواسط قرن نوزدهم، ایده های او با صدای بلند مزخرف و جنایت علیه قوانین کلاسیک و تزلزل ناپذیر خوانده می شد، اما زمان همه چیز را در جای خود قرار داد.
ویژگی های اساسی فیلد R
اعداد واقعی نه تنها دارای ویژگی های مشابه زیرمجموعه هایی هستند که در آنها گنجانده شده است، بلکه به دلیل مقیاس عناصر آنها توسط دیگران نیز تکمیل می شوند:
- صفر وجود دارد و متعلق به فیلد R است. c + 0=c برای هر c از R.
- صفر وجود دارد و متعلق به فیلد R است. c x 0=0 برای هر c از R.
- رابطه c: d برای d ≠ 0 وجود دارد و برای هر c، d از R معتبر است.
- فیلد R مرتب شده است، یعنی اگر c ≦ d، d ≦ c، پس c=d برای هر c، d از R.
- افزودن در فیلد R جابجایی است، یعنی c + d=d + c برای هر c، d از R.
- ضرب در فیلد R جابجایی است، یعنی c x d=d x c برای هر c، d از R.
- افزودن در فیلد R انجمنی است، یعنی (c + d) + f=c + (d + f) برای هر c، d، f از R.
- ضرب در فیلد R ارتباطی است، یعنی (c x d) x f=c x (d x f) برای هر c، d، f از R.
- برای هر عدد در فیلد R، یک مقابل وجود دارد، به طوری که c + (-c)=0، که در آن c, -c از R است.
- برای هر عدد از فیلد R معکوس آن وجود دارد، به طوری که c x c-1 =1، جایی که c، c-1 از R.
- واحد وجود دارد و متعلق به R است، بنابراین c x 1=c، برای هر c از R.
- قانون توزیع معتبر است، بنابراین c x (d + f)=c x d + c x f، برای هر c، d، f از R.
- در فیلد R، صفر برابر یک نیست.
- فیلد R گذرا است: اگر c ≦ d, d ≦ f, سپس c ≦ f برای هر c, d, f از R.
- در فیلد R، ترتیب و جمع به هم مرتبط هستند: اگر c ≦ d، پس c + f ≦ d + f برای هر c، d، f از R.
- در فیلد R، ترتیب و ضرب به هم مرتبط هستند: اگر 0 ≦ c، 0 ≦ d، سپس 0 ≦ c x d برای هر c، d از R.
- هر دو اعداد حقیقی منفی و مثبت پیوسته هستند، یعنی برای هر c، d از R، یک f از R وجود دارد به طوری که c ≦ f ≦ d.
ماژول در فیلد R
اعداد واقعی شامل مدول هستند.
با |f| مشخص می شود برای هر f از R. |f|=f اگر 0 ≦ f و |f|=-f اگر 0 > f. اگر مدول را به عنوان یک کمیت هندسی در نظر بگیریم، پس مسافت طی شده است - فرقی نمی‌کند از صفر به منهای «گذر» کرده‌اید یا به مثبت جلو.
اعداد مختلط و واقعی. چه شباهت ها و چه تفاوت هایی وجود دارد؟
در کل، اعداد مختلط و حقیقی یکی هستند، با این تفاوت کهواحد خیالی i که مربع آن -1 است. عناصر فیلدهای R و C را می توان به صورت فرمول زیر نشان داد:
c=d + f x i، که در آن d، f متعلق به میدان R و i واحد خیالی است
برای به دست آوردن c از R در این مورد، f به سادگی برابر با صفر قرار می گیرد، یعنی فقط قسمت واقعی عدد باقی می ماند. با توجه به این واقعیت که فیلد اعداد مختلط دارای مجموعه ای از ویژگی های یکسان با فیلد اعداد حقیقی است، f x i=0 اگر f=0 باشد.
در مورد تفاوت های عملی، مثلاً در میدان R، معادله درجه دوم در صورت منفی بودن ممیز حل نمی شود، در حالی که میدان C به دلیل معرفی واحد خیالی i. چنین محدودیتی را اعمال نمی کند.
نتایج
«آجرهای» بدیهیات و فرضیاتی که ریاضیات بر آنها استوار است تغییر نمی کند. با توجه به افزایش اطلاعات و ارائه نظریه های جدید، بر روی برخی از آنها "آجر"های زیر قرار داده شده است که در آینده می تواند مبنایی برای مرحله بعدی شود. به عنوان مثال، اعداد طبیعی، با وجود این واقعیت که آنها زیر مجموعه ای از میدان واقعی R هستند، ارتباط خود را از دست نمی دهند. همه محاسبات ابتدایی مبتنی بر آنهاست که شناخت بشر از جهان با آنها آغاز می شود.
از نقطه نظر عملی، اعداد واقعی مانند یک خط مستقیم به نظر می رسند. روی آن می توانید جهت را انتخاب کنید، مبدا و مرحله را مشخص کنید. یک خط مستقیم از تعداد نامتناهی نقطه تشکیل شده است که هر کدام مربوط به یک عدد واقعی است، صرف نظر از اینکه منطقی باشد یا خیر. از توضیحات مشخص می شود که ما در مورد مفهومی صحبت می کنیم که هم ریاضیات به طور کلی و هم تحلیل ریاضی به طور کلی بر روی آن بنا شده است.خاص.
