نحوه یافتن حداقل و حداکثر امتیاز یک تابع: ویژگی ها، روش ها و مثال ها

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

تابع و بررسی ویژگی های آن یکی از فصل های کلیدی در ریاضیات مدرن است. جزء اصلی هر تابع، نمودارهایی است که نه تنها ویژگی های آن، بلکه پارامترهای مشتق این تابع را نیز نشان می دهد. بیایید نگاهی به این موضوع پیچیده بیندازیم. بنابراین بهترین راه برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط یک تابع چیست؟

عملکرد: تعریف

هر متغیری که به نوعی به مقادیر یک مقدار دیگر بستگی دارد را می توان تابع نامید. برای مثال، تابع f(x²) درجه دوم است و مقادیر کل مجموعه x را تعیین می کند. فرض کنید x=9، سپس مقدار تابع ما برابر با 9^{2=81 خواهد بود.}

توابع انواع مختلفی دارند: منطقی، برداری، لگاریتمی، مثلثاتی، عددی و غیره. ذهن های برجسته ای مانند لاکروآ، لاگرانژ، لایبنیتس و برنولی درگیر مطالعه آنها بودند. نوشته های آنها به عنوان سنگری در راه های مدرن مطالعه توابع عمل می کند. قبل از یافتن حداقل امتیاز، درک معنای تابع و مشتق آن بسیار مهم است.

مشتق و نقش آن

همه توابع داخل هستندبسته به مقادیر متغیر آنها، به این معنی که آنها می توانند مقدار خود را در هر زمان تغییر دهند. در نمودار، این به عنوان یک منحنی نشان داده می‌شود که در امتداد محور y پایین می‌آید یا افزایش می‌یابد (این کل مجموعه اعداد "y" در امتداد عمودی نمودار است). و بنابراین تعریف یک نقطه حداکثر و حداقل تابع فقط با این "نوسانات" مرتبط است. اجازه دهید توضیح دهیم که این رابطه چیست.

مشتق هر تابع بر روی یک نمودار رسم می شود تا مشخصه های اصلی آن مطالعه شود و سرعت تغییر تابع محاسبه شود (یعنی مقدار آن بسته به متغیر "x" تغییر می کند. در لحظه ای که تابع افزایش می یابد، نمودار مشتق آن نیز افزایش می یابد، اما در هر ثانیه ممکن است تابع شروع به کاهش کند و سپس نمودار مشتق کاهش می یابد. به نقاطی که مشتق از منفی به مثبت می‌رود، حداقل امتیاز می‌گویند. برای اینکه بدانید چگونه حداقل امتیازها را پیدا کنید، باید مفهوم مشتق را بهتر درک کنید.

چگونه مشتق را محاسبه کنیم؟

تعریف و محاسبه مشتق یک تابع مستلزم چندین مفهوم از حساب دیفرانسیل است. به طور کلی، خود تعریف مشتق را می توان به صورت زیر بیان کرد: این مقداری است که میزان تغییر تابع را نشان می دهد.

روش ریاضی برای تعیین آن برای بسیاری از دانش آموزان پیچیده به نظر می رسد، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است. شما فقط باید دنبال کنیدطرح استاندارد برای یافتن مشتق هر تابع. در ادامه توضیح داده می شود که چگونه می توانید حداقل نقطه یک تابع را بدون اعمال قوانین تمایز و بدون به خاطر سپردن جدول مشتقات پیدا کنید.

1. می توانید مشتق یک تابع را با استفاده از نمودار محاسبه کنید. برای انجام این کار، باید خود تابع را به تصویر بکشید، سپس یک نقطه از آن بگیرید (نقطه A در شکل). در نقطه A یک نمودار مماس بر تابع رسم کنید. محور آبسیسا و مماس یک زاویه a را تشکیل می دهند. برای محاسبه مقدار سرعت افزایش تابع، باید مماس این زاویه a را محاسبه کنید.
2. مشخص می شود که مماس زاویه بین مماس و جهت محور x مشتق تابع در ناحیه کوچک با نقطه A است. این روش روشی هندسی برای تعیین مشتق در نظر گرفته می شود..

روشهای تحقیق یک تابع

در برنامه درسی مدرسه ریاضیات، حداقل نقطه یک تابع را به دو صورت می توان یافت. ما قبلاً روش اول را با استفاده از نمودار تجزیه و تحلیل کرده ایم، اما چگونه می توان مقدار عددی مشتق را تعیین کرد؟ برای انجام این کار، باید چندین فرمول را یاد بگیرید که ویژگی های مشتق را توصیف می کند و به تبدیل متغیرهایی مانند "x" به اعداد کمک می کند. روش زیر جهانی است، بنابراین می توان آن را تقریباً برای همه انواع توابع (هم هندسی و هم لگاریتمی) اعمال کرد.

1. لازم است تابع را با تابع مشتق برابر کنیم و سپس با استفاده از قوانین عبارت را ساده کنیم.تمایز.
2. تقسیم بر صفر).
3. بعد از آن، باید شکل اصلی تابع را به یک معادله ساده تبدیل کنید و کل عبارت را برابر با صفر کنید. برای مثال، اگر تابع به این شکل باشد: f(x)=2x³+38x، پس طبق قوانین تمایز، مشتق آن برابر است با f'(x)=3x ^{2 +1. سپس این عبارت را به معادله ای به شکل زیر تبدیل می کنیم: 3x}2^+1=0.
4. پس از حل معادله و یافتن نقاط "x" باید آنها را روی محور x رسم کنید و مشخص کنید که مشتق در این مناطق بین نقاط علامت گذاری شده مثبت است یا منفی. پس از تعیین، مشخص می شود که در چه نقطه ای تابع شروع به کاهش می کند، یعنی علامت منفی را به مخالف تغییر می دهد. به این ترتیب است که می توانید حداقل و حداکثر امتیاز را پیدا کنید.

قوانین تمایز

اساسی ترین بخش یادگیری یک تابع و مشتق آن، دانستن قوانین تمایز است. فقط با کمک آنها می توان عبارات دست و پا گیر و توابع پیچیده بزرگ را تبدیل کرد. بیایید با آنها آشنا شویم، تعداد آنها بسیار زیاد است، اما همه آنها به دلیل ویژگی های منظم توابع توانی و لگاریتمی بسیار ساده هستند.

1. مشتق هر ثابت صفر است (f(x)=0). یعنی مشتق f(x)=x⁵+ x - 160 به شکل زیر خواهد بود: f' (x)=5x^4+1.
2. مشتق حاصل از مجموع دو جمله: (f+w)'=f'w + fw'.
3. مشتق تابع لگاریتمی: (log_{ad)'=d/ln ad. این فرمول برای همه انواع لگاریتم اعمال می شود.}
4. مشتق درجه: (x)'=nx^n-1. برای مثال، (9x^2)'=92x=18x.
5. مشتق تابع سینوسی: (sin a)'=cos a. اگر سین زاویه a 0.5 باشد، مشتق آن √3/2 است.

امتیاز افراطی

ما قبلاً نحوه یافتن حداقل امتیازها را فهمیده‌ایم، با این حال، مفهوم حداکثر نقاط یک تابع وجود دارد. اگر مینیمم نقاطی را نشان دهد که در آنها تابع از منهای به مثبت می رود، آنگاه حداکثر نقاط آن نقاطی در محور x هستند که در آنها مشتق تابع از مثبت به مخالف - منهای تغییر می کند.

می توانید حداکثر نقاط را با استفاده از روشی که در بالا توضیح داده شد پیدا کنید، فقط باید در نظر داشت که آنها مناطقی را نشان می دهند که تابع شروع به کاهش می کند، یعنی مشتق کمتر از صفر خواهد بود.

در ریاضیات مرسوم است که هر دو مفهوم را تعمیم می دهند و عبارت "نقاط افراطی" را جایگزین آنها می کنند. هنگامی که وظیفه تعیین این نقاط را می خواهد، به این معنی است که باید مشتق این تابع را محاسبه کرد و حداقل و حداکثر امتیاز را یافت.