برای بسیاری از مردم، تجزیه و تحلیل ریاضی فقط مجموعه ای از اعداد، نمادها و تعاریف نامفهوم است که از زندگی واقعی دور هستند. با این حال، دنیایی که ما در آن زندگی می کنیم بر اساس الگوهای عددی ساخته شده است که شناسایی آنها نه تنها به یادگیری دنیای اطراف و حل مشکلات پیچیده آن کمک می کند، بلکه به ساده سازی کارهای عملی روزمره نیز کمک می کند. وقتی یک ریاضیدان می گوید یک دنباله اعداد همگرا می شود، منظورش چیست؟ این باید با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار گیرد.
بی نهایت کوچک چیست؟
بیایید عروسک های ماتریوشکا را تصور کنیم که یکی در داخل دیگری قرار می گیرد. اندازه های آنها که به صورت اعداد نوشته می شوند، از بزرگترین شروع می شوند و به کوچکترین آنها ختم می شوند، یک دنباله را تشکیل می دهند. اگر تعداد نامتناهی از چنین چهره های روشنی را تصور کنید، ردیف حاصل فوق العاده طولانی خواهد بود. این یک دنباله اعداد همگرا است. و به صفر گرایش دارد، زیرا اندازه هر عروسک لانه سازی بعدی، که به طرز فاجعه باری کاهش می یابد، به تدریج به هیچ تبدیل می شود. بنابراین آسان استمی توان توضیح داد: چه چیزی بی نهایت کوچک است.
یک مثال مشابه جاده ای است که به دوردست منتهی می شود. و ابعاد بصری ماشینی که در امتداد آن از ناظر دور می شود، به تدریج کوچک می شود، به یک نقطه بی شکل شبیه یک نقطه تبدیل می شود. بنابراین، ماشین مانند یک جسم که در جهتی نامعلوم دور می شود، بی نهایت کوچک می شود. پارامترهای بدنه مشخص شده هرگز به معنای واقعی کلمه صفر نخواهند بود، اما همیشه در حد نهایی به این مقدار تمایل دارند. بنابراین، این دنباله دوباره به صفر همگرا می شود.
همه چیز را قطره به قطر محاسبه کنید
بیایید اکنون یک وضعیت دنیوی را تصور کنیم. پزشک مصرف دارو را برای بیمار تجویز کرد و از ده قطره در روز شروع کرد و هر روز بعد دو قطره به آن اضافه کرد. و بنابراین دکتر پیشنهاد کرد تا زمانی که محتویات ویال دارو که حجم آن 190 قطره است، ادامه دهید. از مطالب فوق چنین بر می آید که تعداد اینها که بر اساس روز برنامه ریزی می شود، سری اعداد زیر خواهد بود: 10، 12، 14 و غیره.
چگونه از زمان تکمیل کل دوره و تعداد اعضای دنباله مطلع شویم؟ در اینجا، البته، می توان به روشی ابتدایی قطره ها را شمرد. اما با توجه به الگو، استفاده از فرمول برای مجموع یک پیشروی حسابی با گام d=2 بسیار ساده تر است. و با استفاده از این روش، دریابید که تعداد اعضای سری اعداد 10 است. در این مورد., a10=28. عدد آلت تناسلی نشان دهنده تعداد روزهای مصرف دارو است و 28 مربوط به تعداد قطره هایی است که بیمار باید مصرف کند.در روز آخر استفاده کنید آیا این دنباله همگرا می شود؟ خیر، زیرا با وجود اینکه از پایین به 10 و از بالا به 28 محدود می شود، چنین سری اعدادی بر خلاف نمونه های قبلی محدودیتی ندارد.
تفاوت چیست؟
اکنون سعی می کنیم روشن کنیم: وقتی سری اعداد یک دنباله همگرا است. تعریفی از این دست، همانطور که از مطالب فوق می توان نتیجه گرفت، ارتباط مستقیمی با مفهوم حد محدود دارد که وجود آن اصل موضوع را آشکار می کند. بنابراین تفاوت اساسی بین مثال های قبلی چیست؟ و چرا در آخرین آنها، عدد 28 را نمی توان حد سری اعداد X =10 + 2(n-1) در نظر گرفت؟
برای روشن شدن این سوال، دنباله دیگری را در نظر بگیرید که با فرمول زیر ارائه شده است، که در آن n به مجموعه اعداد طبیعی تعلق دارد.
این اجتماع اعضا مجموعه ای از کسرهای مشترک است که صورت آن 1 است و مخرج دائماً در حال افزایش است: 1, ½ …
علاوه بر این، هر نماینده متوالی از این سری از نظر مکان روی خط اعداد بیشتر و بیشتر به 0 نزدیک می شود و این بدان معنی است که چنین همسایگی در جایی ظاهر می شود که نقاط در اطراف صفر، که حد است، خوشه می شوند. و هرچه به آن نزدیکتر باشند، غلظت آنها روی خط اعداد بیشتر می شود. و فاصله بین آنها به طرز فاجعه آمیزی کاهش می یابد و به یک بینهایت کوچک تبدیل می شود. این نشانه همگرا شدن دنباله است.
مشابهبنابراین، مستطیل های چند رنگ نشان داده شده در شکل، هنگام دور شدن در فضا، از نظر بصری شلوغ تر هستند، در حد فرضی به ناچیز تبدیل می شوند.
دنباله های بی نهایت بزرگ
پس از تجزیه و تحلیل تعریف یک دنباله همگرا، اجازه دهید به سراغ مثال‌های متقابل برویم. بسیاری از آنها از زمان های قدیم برای بشر شناخته شده است. ساده ترین انواع دنباله های واگرا مجموعه ای از اعداد طبیعی و زوج هستند. آنها را به روش دیگری بی نهایت بزرگ می نامند، زیرا اعضای آنها که دائماً در حال افزایش هستند، به طور فزاینده ای به بی نهایت مثبت نزدیک می شوند.
نمونه‌ای از این نیز می‌تواند هر یک از پیشرفت‌های حسابی و هندسی با گام و مخرج، به ترتیب بزرگتر از صفر باشد. به علاوه سری های عددی دنباله های واگرا محسوب می شوند که اصلا محدودیتی ندارند. برای مثال، X =(-2) -1.
دنباله فیبوناچی
مزایای عملی سری اعدادی که قبلاً ذکر شد برای بشریت غیرقابل انکار است. اما نمونه های بی شمار دیگری نیز وجود دارد. یکی از آنها دنباله فیبوناچی است. هر یک از اعضای آن که با یک شروع می شود، مجموع اعضای قبلی است. دو نماینده اول آن 1 و 1 هستند. سومی 1+1=2، چهارمی 1+2=3، پنجمی 2+3=5. علاوه بر این، طبق همین منطق، اعداد 8، 13، 21 و … دنبال می شوند.
این سری از اعداد به طور نامحدود افزایش می یابد و هیچ نداردحد نهایی اما خاصیت فوق العاده دیگری نیز دارد. نسبت هر عدد قبلی به عدد بعدی از نظر مقدار به 0.618 نزدیک و نزدیکتر می شود.در اینجا می توانید تفاوت بین یک دنباله همگرا و واگرا را درک کنید، زیرا اگر یک سری از تقسیم های جزئی دریافتی را انجام دهید، سیستم عددی نشان داده شده خواهد شد. حد محدودی برابر با 0.618 دارند.
توالی نسبت های فیبوناچی
سری اعداد ذکر شده در بالا به طور گسترده برای اهداف عملی برای تجزیه و تحلیل فنی بازارها استفاده می شود. اما این به توانایی های آن محدود نمی شود، که مصری ها و یونانی ها آن را می دانستند و می توانستند در دوران باستان عملی کنند. این را اهرامی که ساخته اند و پارتنون ثابت می کند. از این گذشته ، عدد 0.618 یک ضریب ثابت از بخش طلایی است که در قدیم به خوبی شناخته شده است. بر اساس این قانون، هر بخش دلخواه را می توان به گونه ای تقسیم کرد که نسبت بین بخش های آن با نسبت بین بزرگترین بخش ها و طول کل منطبق شود.
بیایید یک سری از روابط نشان داده شده را بسازیم و سعی کنیم این دنباله را تجزیه و تحلیل کنیم. سری اعداد به شرح زیر خواهد بود: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0، 619 و غیره. با ادامه به این ترتیب می توان مطمئن شد که حد دنباله همگرا واقعاً 0.618 خواهد بود.اما لازم است به سایر خصوصیات این نظم توجه شود. در اینجا به نظر می رسد که اعداد به طور تصادفی پیش می روند و اصلاً به ترتیب صعودی یا نزولی نیستند. این بدان معنی است که این دنباله همگرا یکنواخت نیست. چرا اینطور است بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.
یکنواختی و محدودیت
اعضای سری اعداد به وضوح می توانند با افزایش عدد کاهش پیدا کنند (اگر x1>x2>x3>…>x >…) یا افزایش می یابد (اگر x1<x236323<…<x <…). در این مورد گفته می شود که دنباله به شدت یکنواخت است. الگوهای دیگری را نیز می توان مشاهده کرد، که در آن سری عددی غیر کاهشی و غیر افزایشی خواهد بود (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… یا x1≦x۲≦x 3 ≦…≦x ≦…)، سپس همگرای متوالی نیز یکنواخت است، اما نه به معنای دقیق. یک مثال خوب از اولین مورد از این گزینه ها، سری اعداد داده شده با فرمول زیر است.
با رنگ آمیزی اعداد این سری، می بینید که هر یک از اعضای آن، که به طور نامحدود به عدد 1 نزدیک شود، هرگز از این مقدار تجاوز نخواهد کرد. در این مورد، دنباله همگرا را محدود می گویند. این اتفاق زمانی می افتد که چنین عدد مثبت M وجود داشته باشد، که همیشه از هر یک از شرایط مدول سری بزرگتر است. اگر یک سری اعداد نشانه های یکنواختی داشته باشد و حدی داشته باشد و بنابراین همگرا شود، لزوماً دارای چنین خاصیتی است. و لزومی ندارد که برعکس آن درست باشد. این با قضیه کرانه برای یک دنباله همگرا اثبات می شود.
کاربرد چنین مشاهداتی در عمل بسیار مفید است. بیایید با بررسی ویژگی های دنباله X =n/n+1 و همگرایی آن را ثابت کنید. نشان دادن یکنواخت بودن آن آسان است، زیرا (x +1 – x) یک عدد مثبت است برای هر n مقدار حد دنباله برابر با عدد 1 است، یعنی تمام شرایط قضیه فوق که قضیه وایرشتراس نیز نامیده می شود، برقرار است. قضیه کرانه بودن یک دنباله همگرا بیان می کند که اگر حدی داشته باشد، در هر صورت معلوم می شود که محدود است. با این حال، بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم. سری اعداد X =(-1) از پایین با -1 و از بالا با 1 محدود می شود. اما این دنباله یکنواخت نیست، هیچ محدود است، و بنابراین همگرا نمی شود. یعنی همیشه وجود حد و همگرایی ناشی از محدودیت نیست. برای این کار، حد پایین و بالایی باید مطابق با نسبت فیبوناچی باشد.
اعداد و قوانین کیهان
ساده‌ترین گونه‌های یک دنباله همگرا و واگرا شاید سری عددی X =n و X =۱/n باشد. اولین آنها یک سری طبیعی از اعداد است. همانطور که قبلا ذکر شد، بی نهایت بزرگ است. دومین دنباله همگرا محدود است و عبارات آن از نظر قدر نزدیک به بی نهایت کوچک هستند. هر یک از این فرمول ها یکی از اضلاع کیهان چند وجهی را نشان می دهد و به شخص کمک می کند تا چیزی ناشناخته را تصور و محاسبه کند که در زبان اعداد و نشانه ها قابل دسترسی نیست.
قوانین جهان، از ناچیز تا بسیار بزرگ، همچنین نسبت طلایی 0.618 را بیان می کند.آنها معتقدند که اساس ذات اشیا است و طبیعت برای تشکیل اجزای آن استفاده می کند. روابط بین اعضای بعدی و قبلی سری فیبوناچی که قبلاً به آنها اشاره کردیم، نشان دادن خواص شگفت انگیز این سری منحصر به فرد را کامل نمی کند. اگر ضریب تقسیم جمله قبلی بر جمله بعدی را به یک در نظر بگیریم، یک سری 0.5 بدست می آوریم. 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0، 382 و غیره. جالب است که این دنباله محدود همگرا می شود، یکنواخت نیست، اما نسبت اعداد همسایه افراطی از یک عضو خاص همیشه تقریباً برابر است با 0.382 که می تواند در معماری، تحلیل فنی و سایر صنایع نیز استفاده شود.
ضرایب جالب دیگری از سری فیبوناچی وجود دارد، همه آنها در طبیعت نقش ویژه ای دارند و انسان نیز برای اهداف عملی از آنها استفاده می کند. ریاضیدانان مطمئن هستند که جهان طبق یک "مارپیچ طلایی" خاص که از ضرایب مشخص شده تشکیل شده است، توسعه می یابد. با کمک آنها می توان بسیاری از پدیده های روی زمین و فضا را محاسبه کرد، از رشد تعداد باکتری های خاص گرفته تا حرکت دنباله دارهای دور. همانطور که مشخص است، کد DNA از قوانین مشابهی پیروی می کند.
کاهش پیشرفت هندسی
قضیه ای وجود دارد که منحصر به فرد بودن حد یک دنباله همگرا را تایید می کند. این بدان معنی است که نمی تواند دو یا چند حد داشته باشد، که بدون شک برای یافتن ویژگی های ریاضی آن مهم است.
بیایید به برخی نگاه کنیمموارد هر سری عددی که از اعضای یک پیشروی حسابی تشکیل شده باشد، واگرا است، به جز موردی که دارای گام صفر است. همین امر در مورد یک تصاعد هندسی که مخرج آن بزرگتر از 1 است، صدق می کند. حدود چنین سری های عددی "بعلاوه" یا "منهای" بی نهایت است. اگر مخرج کمتر از -1 باشد، اصلاً محدودیتی وجود ندارد. گزینه های دیگر ممکن است.
سری اعداد داده شده با فرمول X =(1/4) -1 را در نظر بگیرید. در نگاه اول، به راحتی می توان فهمید که این دنباله همگرا محدود است، زیرا به شدت کاهشی است و به هیچ وجه قادر به گرفتن مقادیر منفی نیست.
بیایید تعدادی از اعضای آن را پشت سر هم بنویسیم.
معلوم می شود: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0، 00390625 و غیره. محاسبات بسیار ساده کافی است تا بفهمیم این پیشرفت هندسی با چه سرعتی از مخرج 0<q<1 کاهش می یابد. در حالی که مخرج اصطلاحات به طور نامحدود افزایش می یابد، آنها خود بی نهایت کوچک می شوند. این به این معنی است که حد سری اعداد 0 است. این مثال یک بار دیگر ماهیت محدود دنباله همگرا را نشان می دهد.
توالی های بنیادی
آگوستین لوئی کوشی، دانشمند فرانسوی، بسیاری از آثار مرتبط با تجزیه و تحلیل ریاضی را به جهانیان نشان داد. او برای مفاهیمی چون دیفرانسیل، انتگرال، حد و تداوم تعاریفی ارائه کرد. او همچنین خواص اساسی دنباله های همگرا را مطالعه کرد. برای درک اصل ایده های او،برخی از جزئیات مهم باید خلاصه شوند.
در همان ابتدای مقاله، نشان داده شد که چنین دنباله هایی وجود دارد که برای آنها محله ای وجود دارد که در آن نقاط نشان دهنده اعضای یک سری خاص در خط واقعی شروع به خوشه بندی می کنند و بیشتر و بیشتر در یک ردیف قرار می گیرند. متراکم در همان زمان، فاصله بین آنها با افزایش تعداد نماینده بعدی کاهش می یابد و به یک بی نهایت کوچک تبدیل می شود. بنابراین، معلوم می شود که در یک محله معین، تعداد نامتناهی از نمایندگان یک سری معین گروه بندی می شوند، در حالی که خارج از آن تعداد محدودی از آنها وجود دارد. چنین دنباله هایی بنیادی نامیده می شوند.
معیار معروف کوشی که توسط یک ریاضیدان فرانسوی ایجاد شده است، به وضوح نشان می دهد که وجود چنین خاصیتی برای اثبات همگرایی دنباله کافی است. عکس آن نیز صادق است.
لازم به ذکر است که این نتیجه گیری ریاضیدان فرانسوی بیشتر جنبه نظری دارد. کاربرد آن در عمل به عنوان یک موضوع نسبتاً پیچیده در نظر گرفته می شود، بنابراین، برای روشن شدن همگرایی سری ها، اثبات وجود حد محدود برای یک دنباله بسیار مهم تر است. در غیر این صورت، واگرا در نظر گرفته می شود.
هنگام حل مسائل، باید خصوصیات اساسی دنباله های همگرا را نیز در نظر گرفت. آنها در زیر نشان داده شده اند.
جمع بی نهایت
دانشمندان مشهور دوران باستان مانند ارشمیدس، اقلیدس، ادوکسوس از مجموع سری های اعداد نامتناهی برای محاسبه طول منحنی ها، حجم اجسام استفاده کردند.و مناطق ارقام به ویژه، از این طریق می توان مساحت بخش سهموی را پیدا کرد. برای این کار از مجموع سری های عددی یک پیشروی هندسی با q=1/4 استفاده شد. حجم و مساحت سایر ارقام دلبخواه به روشی مشابه یافت شد. این گزینه را روش "فرسودگی" نامیدند. ایده این بود که بدن مورد مطالعه، به شکل پیچیده، به قطعاتی تقسیم می‌شود، که ارقامی با پارامترهای به راحتی قابل اندازه‌گیری هستند. به همین دلیل محاسبه مساحت و حجم آنها کار سختی نبود و سپس جمع شدند.
به هر حال، وظایف مشابه برای دانش آموزان مدرن بسیار آشنا هستند و در وظایف USE یافت می شوند. روش منحصر به فرد، که توسط اجداد دور یافت شده است، تا حد زیادی ساده ترین راه حل است. حتی اگر فقط دو یا سه قسمت وجود داشته باشد که شکل عددی به آنها تقسیم شود، جمع مساحت آنها باز هم مجموع سری اعداد است.
بسیار دیرتر از دانشمندان یونان باستان، لایبنیتس و نیوتن، بر اساس تجربه پیشینیان خردمند خود، الگوهای محاسبه انتگرال را آموختند. آگاهی از خواص دنباله ها به حل معادلات دیفرانسیل و جبری کمک کرد. در حال حاضر، تئوری سری ها که با تلاش نسل های زیادی از دانشمندان با استعداد ایجاد شده است، فرصتی برای حل تعداد زیادی از مسائل ریاضی و عملی می دهد. و مطالعه دنباله های عددی مشکل اصلی حل شده توسط آنالیز ریاضی از زمان پیدایش آن بوده است.
