ماتریس ها و تعیین کننده ها در قرن هجدهم و نوزدهم کشف شدند. در ابتدا، توسعه آنها مربوط به تبدیل اجسام هندسی و حل سیستم های معادلات خطی بود. از نظر تاریخی، تأکید اولیه بر تعیین کننده بود. در روش های مدرن پردازش جبر خطی، ابتدا ماتریس ها در نظر گرفته می شوند. ارزش این را دارد که مدتی به این سوال فکر کنید.
پاسخ از این حوزه دانش
ماتریس ها از نظر نظری و عملی راه مفیدی برای حل بسیاری از مسائل ارائه می دهند، مانند:
- سیستم معادلات خطی;
- تعادل جامدات (در فیزیک)؛
- نظریه گراف؛
- مدل اقتصادی لئونتیف؛
- جنگلداری;
- گرافیک کامپیوتری و توموگرافی;
- ژنتیک;
- رمز نگاری;
- شبکه های الکتریکی؛
- فرکتال.
در واقع، جبر ماتریسی برای "دومیت ها" تعریف ساده شده ای دارد. چنین بیان می شود: این یک حوزه علمی دانش است که در آنارزش های مورد نظر مطالعه، تجزیه و تحلیل و به طور کامل بررسی می شوند. در این بخش از جبر، عملیات مختلف بر روی ماتریس های مورد مطالعه بررسی می شود.
نحوه کار با ماتریس
این مقادیر اگر ابعاد یکسانی داشته باشند و هر عنصر یکی با عنصر متناظر دیگری برابر باشد برابر در نظر گرفته می شوند. ضرب یک ماتریس در هر ثابت امکان پذیر است. این داده شده ضرب اسکالر نامیده می شود. مثال: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
ماتریس های هم اندازه را می توان با ورودی ها اضافه و کم کرد و مقادیر اندازه های سازگار را می توان ضرب کرد. مثال: دو A و B اضافه کنید: A=[21−10]B=[1423]. این امکان پذیر است زیرا A و B هر دو ماتریس هایی با دو ردیف و تعداد ستون یکسان هستند. لازم است هر عنصر در A به عنصر مربوطه در B اضافه شود: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. ماتریس ها به همین ترتیب در جبر کم می شوند.
ضرب ماتریس کمی متفاوت عمل می کند. علاوه بر این، موارد و گزینه ها و همچنین راه حل های زیادی می تواند وجود داشته باشد. اگر ماتریس Apq و Bmn را ضرب کنیم، حاصل ضرب Ap×q+Bm×n=[AB]p×n است. ورودی در ردیف gth و ستون h AB مجموع حاصل ضرب ورودی های مربوطه در g A و h B است. تنها در صورتی می توان دو ماتریس را ضرب کرد که تعداد ستون های اول و ردیف های دوم باشد. برابر هستند. مثال: شرط A و B در نظر گرفته شده را برآورده کنید: A=[1−130]B=[2−11214]. این امکان پذیر است زیرا ماتریس اول شامل 2 ستون و دومی شامل 2 ردیف است. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[-1-27-113-1].
اطلاعات اولیه درباره ماتریس
مقادیر مورد نظر اطلاعاتی مانند متغیرها و ثابت ها را سازماندهی می کنند و آنها را در سطرها و ستون هایی که معمولاً C نامیده می شوند ذخیره می کنند. هر موقعیت در ماتریس یک عنصر نامیده می شود. مثال: C=[1234]. از دو سطر و دو ستون تشکیل شده است. عنصر 4 در ردیف 2 و ستون 2 قرار دارد. شما معمولاً می توانید یک ماتریس را بر اساس ابعاد آن نامگذاری کنید، ماتریس با نام Cmk دارای m ردیف و k ستون است.
ماتریس های گسترش یافته
ملاحظات چیزهای فوق العاده مفیدی هستند که در بسیاری از حوزه های کاربردی مختلف مطرح می شوند. ماتریس ها در اصل بر اساس سیستم های معادلات خطی بودند. با توجه به ساختار نابرابری های زیر، ماتریس تکمیل شده زیر باید در نظر گرفته شود:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
ضرایب را بنویسید و مقادیر پاسخ دهید، از جمله همه علائم منفی. اگر عنصر دارای عدد منفی باشد، برابر با "1" خواهد بود. یعنی با توجه به سیستم معادلات (خطی) می توان یک ماتریس (شبکه اعداد داخل پرانتز) را با آن مرتبط کرد. آن چیزی است که فقط شامل ضرایب سیستم خطی است. این ماتریس گسترش یافته نامیده می شود. شبکه حاوی ضرایب سمت چپ هر معادله با پاسخ های سمت راست هر معادله "پر شده" شده است.
رکوردها، یعنیمقادیر B ماتریس با مقادیر x-، y- و z در سیستم اصلی مطابقت دارد. اگر به درستی مرتب شده است، ابتدا آن را بررسی کنید. گاهی اوقات لازم است اصطلاحات را مجدداً مرتب کنید یا صفرها را به عنوان متغیرهایی در ماتریس مورد مطالعه یا مطالعه قرار دهید.
با توجه به سیستم معادلات زیر، می توانیم بلافاصله ماتریس تقویت شده مرتبط را بنویسیم:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
ابتدا، مطمئن شوید که سیستم را به صورت زیر مرتب کنید:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
سپس می توان ماتریس مرتبط را به صورت زیر نوشت: [11000113-1012]. هنگام تشکیل یک گسترده، ارزش استفاده از صفر را برای هر رکوردی که نقطه مربوطه در سیستم معادلات خطی خالی است، دارد.
جبر ماتریسی: خواص عملیات
اگر لازم باشد عناصر فقط از مقادیر ضرایب تشکیل شوند، مقدار در نظر گرفته شده به این صورت خواهد بود: [110011-101]. این ماتریس ضریب نامیده می شود.
با در نظر گرفتن جبر ماتریس توسعه یافته زیر، لازم است آن را بهبود بخشید و سیستم خطی مرتبط را اضافه کرد. همانطور که گفته شد، مهم است که به یاد داشته باشید که آنها نیاز دارند که متغیرها به خوبی مرتب و مرتب باشند. و معمولاً وقتی سه متغیر وجود دارد، از x، y و z به ترتیب استفاده کنید. بنابراین، سیستم خطی مرتبط باید:
باشد
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
اندازه ماتریس
اقلام مورد بحث اغلب با عملکردشان مورد اشاره قرار می گیرند. اندازه یک ماتریس در جبر به صورت داده شده استاندازه گیری ها، زیرا اتاق را می توان متفاوت نامید. معیارهای اندازه‌گیری شده، ردیف‌ها و ستون‌ها هستند، نه عرض و طول. به عنوان مثال، ماتریس A:
[1234]
[2345]
[3456].
از آنجایی که A دارای سه ردیف و چهار ستون است، اندازه A 3 × 4 است.
→
↓
خطوط به پهلو می روند. ستون ها بالا و پایین می روند. "ردیف" و "ستون" مشخصات هستند و قابل تعویض نیستند. اندازه های ماتریس همیشه با تعداد ردیف ها و سپس تعداد ستون ها مشخص می شود. به دنبال این کنوانسیون، B زیر:
[123]
[234] برابر با 2×3 است. اگر یک ماتریس دارای تعداد سطرهای برابر با ستون ها باشد، آن را "مربع" می نامند. به عنوان مثال، مقادیر ضرایب از بالا:
[110]
[011]
[-101] یک ماتریس مربع 3×3 است.
نمادگذاری و قالب بندی ماتریس
نکته قالب‌بندی: برای مثال، زمانی که نیاز به نوشتن یک ماتریس دارید، مهم است که از براکت استفاده کنید. میله های مقدار مطلق || استفاده نمی شوند زیرا جهت متفاوتی در این زمینه دارند. پرانتز یا پرانتز مجعد {} هرگز استفاده نمی شود. یا نماد گروه بندی دیگری، یا اصلاً هیچ، زیرا این ارائه ها هیچ معنایی ندارند. در جبر، یک ماتریس همیشه داخل پرانتز است. فقط باید از نماد صحیح استفاده شود، در غیر این صورت ممکن است پاسخ ها مخدوش در نظر گرفته شوند.
همانطور که قبلا ذکر شد، مقادیر موجود در یک ماتریس رکورد نامیده می شوند. به هر دلیلی عناصر مورد نظر معمولا نوشته می شوندحروف بزرگ، مانند A یا B، و ورودی ها با استفاده از حروف کوچک مربوطه، اما با زیرنویس مشخص می شوند. در ماتریس A، مقادیر معمولا "ai, j" نامیده می شوند، جایی که i ردیف A و j ستون A است. به عنوان مثال، a3، 2=8. ورودی برای a1، 3 3 است.
برای ماتریس های کوچکتر، آنهایی که کمتر از ده سطر و ستون دارند، کاما زیرنویس گاهی حذف می شود. به عنوان مثال، "a1, 3=3" را می توان به صورت "a13=3" نوشت. بدیهی است که این برای ماتریس های بزرگ کار نمی کند زیرا a213 مبهم خواهد بود.
انواع ماتریس
گاهی اوقات بر اساس پیکربندی رکورد آنها طبقه بندی می شود. به عنوان مثال، چنین ماتریسی که تمام ورودی‌های صفر را در زیر "مورب" مورب بالا-چپ-پایین-راست دارد، مثلث بالایی نامیده می‌شود. از جمله اینکه ممکن است انواع و اقسام دیگری نیز وجود داشته باشد، اما چندان مفید نیستند. به طور کلی، بیشتر به عنوان مثلث بالایی درک می شود. مقادیری که دارای توان غیر صفر فقط به صورت افقی هستند، مقادیر مورب نامیده می شوند. انواع مشابه دارای ورودی های غیر صفر هستند که همه آنها 1 هستند، چنین پاسخ هایی یکسان نامیده می شوند (به دلایلی که زمانی مشخص می شود که نحوه ضرب کردن مقادیر مورد نظر مشخص شود). بسیاری از شاخص های تحقیقاتی مشابه وجود دارد. هویت 3 × 3 با I3 نشان داده می شود. به طور مشابه، هویت 4 × 4 I4 است.
جبر ماتریسی و فضاهای خطی
توجه داشته باشید که ماتریس های مثلثی مربع هستند. اما قطرها مثلثی هستند. با توجه به این، آنها هستندمربع. و هویت ها مورب و در نتیجه مثلث و مربع در نظر گرفته می شوند. هنگامی که نیاز به توصیف یک ماتریس است، معمولاً به سادگی خاص‌ترین طبقه‌بندی خود را مشخص می‌کنیم، زیرا این به همه طبقه‌بندی‌های دیگر دلالت دارد. گزینه های تحقیق زیر را طبقه بندی کنید:به عنوان 3 × 4. در این مورد، آنها مربع نیستند. بنابراین، مقادیر نمی توانند چیز دیگری باشند. طبقه بندی زیر:به صورت 3 × 3 امکان پذیر است. اما یک مربع در نظر گرفته می شود و چیز خاصی در مورد آن وجود ندارد. طبقه بندی داده های زیر:به عنوان مثلث بالا 3 × 3، اما مورب نیست. درست است، در مقادیر در نظر گرفته شده ممکن است صفرهای اضافی در یا بالای فضای واقع شده و مشخص شده وجود داشته باشد. طبقه بندی مورد مطالعه بیشتر است: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]، که در آن به عنوان یک مورب نشان داده می شود و علاوه بر این، ورودی ها همه 1 هستند. سپس این یک هویت 3 × 3 است., I3.
از آنجایی که ماتریس های مشابه طبق تعریف مربع هستند، برای یافتن ابعاد آنها فقط باید از یک شاخص استفاده کنید. برای اینکه دو ماتریس برابر باشند، باید پارامتر یکسانی داشته باشند و ورودی های یکسانی در مکان های مشابه داشته باشند. به عنوان مثال، فرض کنید دو عنصر در نظر گرفته شده است: A=[1 3 0] [-2 0 0] و B=[1 3] [-2 0]. این مقادیر نمی توانند یکسان باشند زیرا اندازه آنها متفاوت است.
حتی اگر A و B باشند: A=[3 6] [2 5] [1 4] و B=[1 2 3] [4 5 6] - آنها هنوز یکسان نیستند همان چیز A و B هر کدام دارندشش ورودی و همچنین اعداد یکسانی دارند، اما این برای ماتریس ها کافی نیست. A 3×2 است و B یک ماتریس 2×3 است. A برای 3×2 2×3 نیست. فرقی نمی‌کند که A و B همان مقدار داده یا حتی اعداد مشابه رکوردها داشته باشند. اگر A و B اندازه و شکل یکسانی نداشته باشند، اما مقادیر یکسانی در مکان های مشابه داشته باشند، برابر نیستند.
عملیات مشابه در منطقه مورد بررسی
این ویژگی برابری ماتریس را می توان به وظایفی برای تحقیقات مستقل تبدیل کرد. به عنوان مثال، دو ماتریس داده می شود، و نشان می دهد که آنها برابر هستند. در این صورت، باید از این برابری برای کاوش و دریافت پاسخ مقادیر متغیرها استفاده کنید.
مثال‌ها و راه‌حل‌های ماتریس‌ها در جبر می‌توانند متفاوت باشند، به‌ویژه وقتی صحبت از برابری‌ها می‌شود. با توجه به اینکه ماتریس های زیر در نظر گرفته شده اند، یافتن مقادیر x و y ضروری است. برای اینکه A و B برابر باشند باید اندازه و شکل یکسانی داشته باشند. در واقع، آنها چنین هستند، زیرا هر یک از آنها ماتریس های 2×2 هستند. و آنها باید مقادیر یکسانی را در مکان های مشابه داشته باشند. سپس a1، 1 باید برابر با b1، 1، a1، 2 برابر b1، 2 و غیره باشد. اما واضح است که a1، 1=1 با b1، 1=x برابر نیست. برای اینکه A با B یکسان باشد، ورودی باید a1، 1=b1، 1 داشته باشد، بنابراین می تواند 1=x باشد. به طور مشابه، شاخص های a2، 2=b2، 2، بنابراین 4=y. سپس جواب این است: x=1، y=4. با توجه به اینکه زیرماتریس ها برابر هستند، شما باید مقادیر x، y و z را پیدا کنید. برای داشتن A=B، ضرایب باید همه ورودی ها برابر باشند. یعنی a1، 1=b1، 1، a1، 2=b1، 2، a2، 1=b2، 1 و غیره. به طور خاص، باید:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
همانطور که از ماتریس های انتخاب شده مشاهده می کنید: با عناصر 1، 1-، 2، 2- و 3، 1. با حل این سه معادله، به پاسخ خواهیم رسید: x=4، y=-6 و z=9. جبر ماتریسی و عملیات ماتریس با آنچه که همه به آن عادت دارند متفاوت هستند، اما قابل تکرار نیستند.
اطلاعات تکمیلی در این زمینه
جبر ماتریس خطی مطالعه مجموعه معادلات مشابه و خواص تبدیل آنهاست. این زمینه دانش به شما امکان می دهد چرخش ها را در فضا تجزیه و تحلیل کنید، حداقل مربعات را تقریبی کنید، معادلات دیفرانسیل مرتبط را حل کنید، دایره ای را که از سه نقطه داده شده می گذرد تعیین کنید و بسیاری از مسائل دیگر در ریاضیات، فیزیک و فناوری را حل کنید. جبر خطی یک ماتریس واقعاً معنای فنی کلمه استفاده شده نیست، یعنی یک فضای برداری v روی یک فیلد f و غیره.
ماتریس و دترمینان ابزارهای جبر خطی بسیار مفیدی هستند. یکی از وظایف اصلی حل معادله ماتریسی Ax=b، برای x است. اگر چه از نظر تئوری می‌توان آن را با استفاده از معکوس x=A-1b حل کرد. روش‌های دیگر، مانند حذف گاوسی، از نظر عددی قابل اعتمادتر هستند.
علاوه بر استفاده برای توصیف مطالعه مجموعه های خطی معادلات، مشخص شدهاصطلاح فوق همچنین برای توصیف نوع خاصی از جبر استفاده می شود. به طور خاص، L در یک میدان F ساختار یک حلقه با تمام بدیهیات معمول برای جمع و ضرب داخلی، همراه با قوانین توزیعی دارد. بنابراین ساختار بیشتری نسبت به حلقه به آن می دهد. جبر ماتریس خطی همچنین یک عملیات بیرونی ضرب توسط اسکالرهایی را که عناصر میدان زیرین F هستند می پذیرد. برای مثال، مجموعه تمام تبدیلات در نظر گرفته شده از یک فضای برداری V به خودش در یک میدان F بر روی F تشکیل می شود. مثال دیگری از خطی جبر مجموعه ای از همه ماتریس های مربع واقعی روی یک فیلد R اعداد واقعی است.
